2025版高考数学全程一轮复习练习第七章立体几何与空间向量专题培优课与球有关的切接问题

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第七章立体几何与空间向量专题培优课与球有关的切接问题，共15页。


关键能力·题型剖析
题型一 几何体的外接球
角度一 补形法
例1 (1)[2024·山东济宁模拟]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则三棱锥A′-DEF的外接球体积为( )

A．8π B．6π
C．4π D．2π
(2)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝6，BC＝CE＝4，该四棱锥的外接球的表面积为________．
[听课记录]


题后师说
补形法的解题策略
巩固训练1
(1)在三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，|AC|＝5，|BC|＝，|PA|＝8，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是( )
A．100π B．50π
C．144π D．72π
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥BC，BC＝1，AB＝， AA1＝2，则该直三棱柱的外接球的体积为( )
A． B．
C． D．
角度二 截面法
例2 [2024·江西九江模拟]已知△ABC是边长为2的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为8π，则O到平面ABC的距离为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]

题后师说
与球截面有关的解题策略
巩固训练2
已知圆台O1O2的上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为6，圆台的体积为104π，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则＝( )
A．3 B．4
C．15 D．17
角度三 定义法
例3 (1)[2024·重庆模拟]已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是( )
A． B．8π
C．16π D．32π
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知体积为V的正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，当球O的表面积S取得最小值时，该正三棱柱的底面边长a与高h的比值为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]

题后师说
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
巩固训练3
[2024·安徽马鞍山模拟]如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为( )
A．16π B．
C． D．30π
题型二 几何体的内切球
例4 (1)[2024·河北秦皇岛模拟]如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则V1∶V2＝( )
A．2∶ B．2∶3
C．2∶ D．∶1
(2)已知正三棱锥P-ABC的高为3，底面ABC是边长为6的等边三角形，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1，然后再放入球O2，使得球O2与球O1以及三棱锥P-ABC的三个侧面相切，记球O1和球O2的半径分别为R1，R2，则＝( )
A．2 B．2
C．3 D．4
[听课记录]

题后师说
有关内切球问题的解题策略
巩固训练4
[2024·湖南岳阳模拟]已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为( )
A．12π B．14π
C．16π D．18π
1．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O - ABC的体积为( )
A． B．
C． D．
2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AD＝BC＝，AC＝BD＝2，且该四面体ABCD的外接球的表面积是( )
A．2π B．6π
C． D．4π
4．已知圆锥的底面直径为2，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
专题培优课 与球有关的切、接问题
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)依题意，A′D⊥A′E，A′E⊥A′F，A′D⊥A′F，且A′D＝4，A′E＝A′F＝2，于是四面体A′-DEF可以补形成以A′D，A′E，A′F为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体A′-DEF的外接球相同，设四面体A′-DEF的外接球的半径为R，则2R为长方体的体对角线长，即2R＝＝2，所以四面体A′-DEF的外接球体积为π×()3＝8π.故选A.
(2)如图所示，可以将四棱锥E-ABCD补成一个长方体ADFG-BCEH，故长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
即AE的中点O即为外接球球心，
所以半径R＝AE
＝＝＝，
所以外接球表面积S＝4πR2＝68π.
答案：(1)A (2)68π
巩固训练1
解析：(1)如图，将三棱锥放于一个长方体内，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P-ABC外接球的直径，∵PB＝＝10，∴外接球的表面积为4π×()2＝100π.故选A.
(2)如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球．
长方体的体对角线长为＝4，
设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，得R＝2，
所以该直三棱柱的外接球的体积V＝πR3＝.故选C.
答案：(1)A (2)C
例2 解析：
如图所示，设△ABC的中心为O1，则OO1⊥平面ABC，又O1B⊂平面ABC，故OO1⊥O1B，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以O1B＝×2＝，又因为球O的表面积为8π，所以4πR2＝8π，解得R＝，即OB＝，所以OO1＝＝ ＝，即球心O到平面ABC的距离为.故选B.
答案：B
巩固训练2
解析：轴截面如图所示，设圆台的高为h，依题意V＝(4π＋36π＋12π)h＝104π，解得h＝6.设O1O＝x，则22＋x2＝62＋(6－x)2，解得x＝，
故＝＝17.故选D.
答案：D
例3
解析：(1)如图，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在高PO1上记为O，PO＝AO＝R，PO1＝＝，OO1＝－R，在Rt△AOO1中，R2＝()2＋(－R)2，解得R＝，所以外接球的表面积等于4πR2＝8π，故选B.
(2)如图，设正三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1和O2，则O1O2的中点为O.
设球O的半径为R，则OA＝R.
设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，
则OO2＝h，O2A＝AB＝a，S△ABC＝a2.
所以正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝a2h，所以a2h＝V.
在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝＋O2A2＝h2＋a2，
球O的表面积S＝4πR2＝4π(h2＋a2)．
方法一 S＝4πR2＝4π(h2＋a2)＝＝＝12π＝，
当且仅当h2＝a2，即＝时，S取得最小值．
方法二 由V＝a2h，得a2＝V，
所以S＝4πR2＝4π(h2＋a2)＝4π(h2＋V)＝4π(h2＋V×)．
令φ(h)＝h2＋V×(h>0)，
则φ′(h)＝h－V×.
令φ′(h)＝0，得h＝h0＝，
当h∈(0，h0)时，φ′(h)<0时，φ(h)单调递减；当h∈(h0，2R)时，φ′(h)>0，φ(h)单调递增．
所以当h＝时，S取得最小值，此时a＝，所以＝＝.故选D.
答案：(1)B (2)D
巩固训练3 解析：如图所示的正四棱台ABCD-A1B1C1D1取上下两个底面的中心M，N，连接MN，A1M，AN，过点A1作底面的垂线与AN相交于点E，
因为四棱台ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线MN上，
在MN上取一点O为球心，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝R，设ON＝h，
因为AB＝2AA1＝2A1B1＝2，所以AN＝，A1M＝，
MN＝A1E＝＝＝，
所以ENMA1为正方形，故O必在MN延长线上，
在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝()2＋h2，
在Rt△OA1M中
即R2＝(＋h)2＋()2，
解得R2＝，所以S＝4πR2＝30π，故选D.
答案：D
例4 解析：(1)如题图，四边形PAP′B为该几何体的轴截面，则四边形PAP′B的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为r，由OP＝OA＝1，得r＝，则V2＝πr3＝，V1＝2×π×12×1＝，所以V1∶V2＝∶1.故选D.
(2)依题意，正△ABC的面积S△ABC＝AB2＝9，正三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝×3×9＝9，正△ABC的边心距r＝AB tan 30°＝，则正三棱锥P-ABC的斜高h′＝＝2，正三棱锥P-ABC的全面积S＝3S△PAB＋S△ABC＝3×AB×h＋9＝27，因球O1是三棱锥P-ABC内切球，于是有VP-ABC＝SR1＝9R1＝9，解得R1＝1，又球O2与球O1相切，且与三棱锥P-ABC的三个侧面相切，则球O2可视为过O2、球O1相切的切点与三棱锥P-ABC底面ABC平行的平面截三棱锥P-ABC所得小正三棱锥的内切球，显然，小正三棱锥的高为1，底面是边长为2的正三角形，同理计算可得R2＝，所以＝3.故选C.
答案：(1)D (2)C
巩固训练4
解析：依据题意，球内切于圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图所示，
过B点作CD的垂线，垂足为E，设球的半径为R，则BE＝2R，
设圆台的母线为l，即BC＝l，上、下底面的面积之比为1∶9，即＝＝，r2＝3r1，由圆的切线长定理可知，r1＋r2＝l⇒l＝4r1，
圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝＝2，即R＝，
则球的表面积S＝4πR2＝12π.故选A.
答案：A
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1．解析：
如图所示，
因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O - ABC的体积V＝×OO1＝×1×1×＝.故选A.
答案：A
2．解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
答案：A
3.
解析：将四面体ABCD放入长方体中，如图，
则四面体ABCD的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中FA＝a，FB＝b，FC＝c，则，
三式相加得2(a2＋b2＋c2)＝12，故a2＋b2＋c2＝6，
所以四面体ABCD的外接球半径为r＝＝，
故四面体ABCD的外接球表面积为4πr2＝6π.故选B.
答案：B
4.
解析：依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，因为△ABC是正三角形，所以OA＝OB，AD＝AC＝，BD＝AD＝3，设内切球半径为R，在Rt△AOD中可得，AO2＝AD2＋OD2，所以(3－R)2＝()2＋R2，解得R＝1，球的体积为V＝πR3＝π.
答案：π