2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习79概率统计与其他知识的交汇问题（Word版附解析）

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1．[2024·河北保定模拟]在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为eq \f(1,2)，甲胜丙、乙胜丁的概率均为eq \f(3,5)，甲胜丁的概率为eq \f(2,3).
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
2．[2024·河北张家口模拟]甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若Pi(i＝0，1，…，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1.证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0，1，2，…，5)为等比数列．
课后定时检测案79 概率统计与其他知识的交汇问题
1．解析：(1)由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以X的可能取值为1，2，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2)) ·(eq \f(1,2))2·[(eq \f(3,5))2＋(eq \f(2,5))2]＋C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2)) ·(eq \f(1,2))2×(eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2))＝eq \f(13,50)＋eq \f(1,4)＝eq \f(51,100)，
则P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝eq \f(49,100)，
所以X的数学期望E(X)＝1×eq \f(49,100)＋2×eq \f(51,100)＝eq \f(151,100).
(2)设在第n轮中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为cn，
易知n≥2，a1＝1，b1＝c1＝0，
且bn＋1＝[(eq \f(1,2))2＋(eq \f(1,2))2]an＋(eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2))cn＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2)cn，
又an＋bn＋cn＝1，
所以bn＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2)cn＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)bn，
整理得bn＋1－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,2)(bn－eq \f(1,3))，
则数列{bn－eq \f(1,3)}是以b1－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)为首项，
以－eq \f(1,2)为公比的等比数列，
即bn－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)×(－eq \f(1,2))n－1，
所以bn＝eq \f(1,3)－eq \f(1,3)×(－eq \f(1,2))n－1，
则b10＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,2))9，
故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,2))9＝eq \f(513,1536)＝eq \f(171,512).
2．解析：(1)X的所有可能取值为2，3，4，
P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.5，P(X＝4)＝0.3，
则X的分布列为：
E(X)＝2×0.2＋3×0.5＋4×0.3＝3.1.
(2)当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为：C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ·0.32·0.5·0.3＝0.0405.
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为：C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ·0.22·0.5·0.2＝0.012，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405＋0.012＝0.0525.
(3)因为Pi(i＝0，1，2，3，4，5，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，
在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，
在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，
在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，
根据全概率公式得P1＝0.3P2＋0.5P1＋0.2P0，
变形得0.3(P2－P1)＝0.2(P1－P0)，
因为P1－P0>0，所以eq \f(P2－P1,P1－P0)＝eq \f(2,3)，
同理可得eq \f(P3－P2,P2－P1)＝eq \f(P4－P3,P3－P2)＝eq \f(P5－P4,P4－P3)＝eq \f(P6－P5,P5－P4)＝eq \f(2,3)，
所以{Pi＋1－Pi}(i＝0，1，2，…，5)为等比数列．X
2
3
4
P
0.2
0.5
0.3