2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习73二项式定理（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习73二项式定理（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·黑龙江佳木斯模拟]二项式(eq \r(3,x)＋eq \f(1,2x))8的展开式的常数项是( )
A．4 B．5C．6 D．7
2．[2024·河北沧州模拟]在(x＋y＋2)5的展开式中，xy3的系数是( )
A．24 B．32C．36 D．40
3．[2024·河南焦作模拟]若(x＋eq \f(4,x2))n的展开式中常数项为240，则正整数n的值为( )
A．6 B．7C．8 D．9
4．[2024·河南安阳模拟](1＋eq \f(x,y))(x＋2y)6的展开式中x2y4的系数为( )
A．192 B．240C．432 D．256
5．[2024·山东日照模拟]已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝( )
A．－54 B．－52C．－50 D．－48
6．[2024·山东省实验中学模拟]设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则a2＝( )
A．84 B．56C．36 D．28
7．[2024·山西怀仁模拟]在(x＋eq \f(2,x))6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为( )
A．20 B．160C．180 D．240
8．[2024·河北唐山模拟]已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝( )
A．1 B．－1C．2 D．－2
9．(素养提升)(2x＋eq \f(a,x))(2x－eq \f(1,x))5的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为( )
A．40 B．160C．0 D．320
10．(素养提升)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－23 B．－3C．3 D．15
二、多项选择题
11．[2024·山东烟台模拟]在(eq \f(2,x)－x)6的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
12．(素养提升)[2024·山西晋中模拟](1＋ax)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，若a1＝－6069，则下列结论正确的有( )
A．a＝3
B．a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－22023
C．eq \f(a1,3)＋eq \f(a2,32)＋…＋eq \f(a2023,32023)＝－1
D．(1＋ax)2023的展开式中第1012项的系数最大
三、填空题
13．[2024·安徽蚌埠模拟](eq \f(2,x)－x)6的展开式中x2的系数为________．
14．[2024·河北邯郸模拟](eq \r(3,x)＋eq \f(1,\r(x)))8的展开式中，有理项是________．(用关于x的式子表示)
15．[2024·河北秦皇岛模拟](x2－ax＋y)5的展开式中，x3y2的系数为10，则a＝________．
优生选做题
16．[2024·江西南昌模拟]若(2x2－eq \f(1,x))n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是( )
A．第二项B．第三项
C．第四项D．第五项
17．[2024·山东菏泽模拟]设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1C．11 D．12
课后定时检测案73 二项式定理
1．解析：二项式(eq \r(3,x)＋eq \f(1,2x))8＝(xeq \f(1,3)＋eq \f(1,2)x－1)8展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ×(xeq \f(1,3))8－k×(eq \f(1,2)x－1)k＝(eq \f(1,2))k×C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ×xeq \f(8,3)－eq \f(4,3)k，令eq \f(8,3)－eq \f(4,3)k＝0得k＝2，所以常数项为(eq \f(1,2))2×C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝eq \f(1,4)×eq \f(8×7,2×1)＝7.故选D.
答案：D
2．解析：根据题意，xy3的项为C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(5)) x·C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) y3·C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(1)) ×2＝40xy3，所以xy3的系数是40.故选D.
答案：D
3．解析：二项式(x＋eq \f(4,x2))n展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) xn－k(eq \f(4,x2))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) xn－3k·4k，所以n－3k＝0且C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) ·4k＝240，显然0≤k≤n且为整数，即n为3的倍数，故排除B、C；又4k为240的因数，所以k＝1或k＝2，当k＝1时n＝3，此时C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(3)) ·41＝12≠240，不符合题意；当k＝2时n＝6，此时C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(6)) ·42＝240符合题意．故选A.
答案：A
4．解析：原式即(1＋eq \f(x,y))(x＋2y)6，化简得(1＋xy－1)(x＋2y)6，展开式中x2y4项为C eq \\al(\s\up11(5),\s\d4(6)) ·(xy－1)·x·(2y)5＋C eq \\al(\s\up11(4),\s\d4(6)) x2·(2y)4＝432x2y4，系数为432.故选C.
答案：C
5．解析：(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；
令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28；
由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，
所以a0＋a2＋a4＝－54.故选A.
答案：A
6．解析：依题意，a2＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(3)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(4)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝…＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(8)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(9)) ＝84.故选A.
答案：A
7．解析：(x＋eq \f(2,x))6展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·x6－k·(eq \f(2,x))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·2k·x6－2k，k＝0，1，2，…，6，二项式系数为C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ，k＝0，1，2，…，6，当k＝3时，二项式系数最大，则该项的系数为C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(6)) ·23＝160.故选B.
答案：B
8．解析：二项式(2x－1)6的通项公式为：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) (2x)6－k·(－1)k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·26－k·(－1)k·x6－k，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(6)) 24×(－1)2＋1×C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(6)) 25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A.
答案：A
9．解析：(2x＋eq \f(a,x))(2x－eq \f(1,x))5的展开式中各项系数之和为3，令x＝1，可知2＋a＝3，a＝1，故(2x＋eq \f(1,x))(2x－eq \f(1,x))5＝2x(2x－eq \f(1,x))5＋eq \f(1,x)(2x－eq \f(1,x))5，(2x－eq \f(1,x))5展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(5)) ·(2x)5－k·(－eq \f(1,x))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(5)) ·25－k·(－1)kx5－2k，分别取k＝3和k＝2得到常数项为：2×C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(5)) ·25－3·(－1)3＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(5)) ·25－2·(－1)2＝0，故选C.
答案：C
10．解析：由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A.
答案：A
11．解析：展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) (eq \f(2,x))6－k(－x)k＝26－k(－1)kC eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23(－1)3C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(6)) ＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；由通项公式可得k为偶数时，系数才有可能取到最大值，由T1＝64x－6，T3＝240x－2，T5＝60x2，T7＝x6，可知第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(2－1)6＝1，所有项的系数和为1，D错误．故选BC.
答案：BC
12．解析：对于A，a1＝C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·a＝2023a＝－6069，可得a＝－3，故A错误；对于B，因为(1－3x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(1－3)2023＝－22023，故B正确；对于C，令x＝0，则a0＝1，令x＝eq \f(1,3)，则eq \f(a1,3)＋eq \f(a2,32)＋…＋eq \f(a2023,32023)＝(1－3×eq \f(1,3))2023－a0＝－a0＝－1，故C正确；对于D，由展开式知，a2n>0，a2n－1<0，故第1012项的系数a1011<0，不会是展开式中系数最大的项，故D错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：(eq \f(2,x)－x)6的展开式的通项为：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) (eq \f(2,x))6－k(－x)k＝(－1)k·26－k·C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) x2k－6，k＝0，1，2，…，6，令k＝4，则T5＝(－1)4·22·C eq \\al(\s\up11(4),\s\d4(6)) x2＝60x2，∴(eq \f(2,x)－x)6的展开式中x2的系数为60.
答案：60
14．解析：由题知，记(eq \r(3,x)＋eq \f(1,\r(x)))8展开式的通项为Tk＋1，
则Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) (eq \r(3,x))8－k(eq \f(1,\r(x)))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ·xeq \s\up6(\f(16－5k,6))(0≤k≤8)，
由eq \f(16－5k,6)∈Z，得k＝2或8，
所以T2＋1＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ·xeq \s\up6(\f(16－10,6))＝28x，T8＋1＝C eq \\al(\s\up11(8),\s\d4(8)) ·xeq \s\up6(\f(16－40,6))＝x－4，
故有理项是28x和x－4.
答案：28x和x－4
15．解析：(x2－ax＋y)5＝[(x2－ax)＋y]5，其展开式的通项公式为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(5)) ·(x2－ax)5－k·yk，0≤k≤5，k∈N，令k＝2得T3＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(5)) ·x3(x－a)3·y2＝10x3y2(x3－3ax2＋3a2x－a3)，因为x3y2的系数为10，则－10a3＝10，解得a＝－1.
答案：－1
16．解析：因为(2x2－eq \f(1,x))n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以eq \f(n,2)＋1＝5，解得n＝8，则(2x2－eq \f(1,x))8的展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) (2x2)8－k(－eq \f(1,x))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ×28－k×(－1)k×x16－3k(k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8)，当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k为偶数，由展开式通项可知T1＝C eq \\al(\s\up11(0),\s\d4(8)) 28x16＝256x16，T3＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) 26x10＝1792x10，T5＝C eq \\al(\s\up11(4),\s\d4(8)) 24x4＝1120x4，T7＝C eq \\al(\s\up11(6),\s\d4(8)) 22x－2＝112x－2，T9＝C eq \\al(\s\up11(8),\s\d4(8)) 20x－8＝x－8，所以展开式中系数最大的是第三项，故选B.
答案：B
17．解析：512023＋a＝(52－1)2023＋a＝522023－C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·522022＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2023)) ·522021－C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2023)) ·522020＋…＋C eq \\al(\s\up11(2022),\s\d4(2023)) ·52－C eq \\al(\s\up11(2023),\s\d4(2023)) ＋a＝52(522022－C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·522021＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2023)) ·522020－C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2023)) ·522019＋…＋C eq \\al(\s\up11(2022),\s\d4(2023)) )－1＋a，而522022－C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·522021＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2023)) ·522020－C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2023)) ·522019＋…＋C eq \\al(\s\up11(2022),\s\d4(2023)) 是整数，52是13的倍数，即52(522022－C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·522021＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2023)) ·522020－C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2023)) ·522019＋…＋C eq \\al(\s\up11(2022),\s\d4(2023)) )能被13整除，因此a－1能被13整除，而a∈Z，0≤a≤13，即－1≤a－1≤12，所以a－1＝0，即a＝1.故选B.
答案：B