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高中数学压轴题小题专项训练专题13函数中的隐圆、隐距离问题含解析答案
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这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题13函数中的隐圆、隐距离问题含解析答案，共41页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数，则的最小值为
A．B．C．D．
5．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．若的最小值与（）的最大值相等，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
7．若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．实数x，y满足，若恒成立，则整数k的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
9．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
10．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．对函数作的代换，则不改变函数值域的代换是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
12．若，则
A．0B．1C．D．2
13．函数的值域是
A．B．C．D．
14．方程的实根个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是
A．B．C．D．
16．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．设（x＞0），则f（x）的值域为（ ）
A．B．
C．D．
18．设是函数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
19．函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
20．已知函数，若将其图象绕原点逆时针旋转角后，所得图象仍是某函数的图象，则当角取最大值时，
A．B．C．D．
二、填空题
21．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角）,若所得曲线仍是一个函数的图象,则θ的范围是 ．
22．函数的最小值为 .
23．已知.则二元函数的最小值为 .
24．函数的最大值为 ．
25．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为 ．
26．已知函数的值域为，则实数的值为 ．
27．若函数的最大值为，最小值为，则的值为 .
28．函数的值域为 .
29．已知实数满足，则的最大值是 ．
30．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是 ；若有一个交点，则的取值范围是 ；若有两交点，则的取值范围是 ．
31．函数的值域为 .
32．已知，则的最小值为
33．已知实数满足，则的最小值等于 ．
34．函数的值域为 ．
35．函数的值域是 ．
36．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ．
37．不等式的解集为 .
38．偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是 .
39．将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为 .
40．若，其中，则 ．
41．已知点不在直线上，则点P到直线l的距离；类比有：当点在函数图象上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是 ．
42．若函数存在零点，则实数的取值范围是 .
43．已知实数、满足关系式，则的最小值为
44．函数的最大值为 .
45．函数的值域为 ．
46．函数的值域为 .
47．将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为 （结果用反三角函数表示）．
48．已知为直线上的一点，则的最小值为 ．
49．函数的最大值为 .
50．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
51．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为 .
52．函数的值域是 ．
53．若实数满足，则的最大值是 ．
54．函数有零点，则的最小值为 ．
55．函数的值域为 .
56．已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 .
57．函数 的最小值为 .
58．设函数，函数，若，，，则的取值范围为 ．
三、解答题
59．已知函数，求的最大值及相应的值．
参考答案：
1．A
【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设，，则，
则函数等价于，，
∵在上是增函数，．
∴函数的最小值是3．
故选：A．
2．D
【分析】参变分离可得对恒成立，令，则，根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为，不等式恒成立，
所以对恒成立，
令，则，，
所以，
所以当时取得最大值，
即当时取得最大值，
即，所以.
故选：D
3．B
【分析】先画出函数的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可．
【详解】解：由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.
4．A
【分析】法一：根据题意可排除CD，令其中一个式子取最小值，再利用特殊值法计算可取的最小值与选项对比，可以得到结果.
法二：可化，看成单位圆上的点到三个点的距离之和的最小值，再通过讨论点的位置关系可得最小值.
【详解】法一：根据题意，可排除CD，令其中一个式子为最小值，再结合特殊值对比选项取值，
令，则，
取，
则，
综合四个选项，选A.
法二：
=
设 , 如图：
直线AB与圆相切于D点，点C在OD的延长线上，P为圆上的动点，
∴ ，
当且仅当点P与点D重合时取最小值为，故选A.
【点睛】本题考查转化思想，解题的关键在于函数转化为直角坐标系中的几何关系，属于中等题.
5．B
【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】令，，则，
∵，∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】由在递增，可得为最小值，由在递增，可得取得最大值，解方程可得的值．
【详解】在定义域上是增函数，所以的最小值，又在定义域上是减函数，的最大值，所以
故选C．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．解答本题的关键是正确求出函数与的定义域，并正确判断其单调性.
7．C
【分析】画出函数图像，直线过定点，根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得到答案.
【详解】的图象由圆的下半部分与圆的上半部分组成
直线过定点.
当直线与圆的上半部分相切时，
解得或（舍去）
当直线经过点时，.
数形结合可得：.
故选
【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键.
8．B
【分析】根据题意，可对进行配方，然后利用三角换元，将实数x，y用三角函数的形式表示出来，然后利用辅助角公式合并即可完成求解.
【详解】，即．
令，，则．
∴，
∴，又，，则，
因此整数k的最小值为2.
故选：B．
9．B
【分析】由题意：表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，利用抛物线的定义将到F的距离转到到准线的距离即可求解.
【详解】由题意知：= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求.
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题．
10．C
【分析】根据二次函数的性质判断函数的单调性，求出过点切线斜率，得出切线的倾斜角，即可求解.
【详解】设，根据二次函数的单调性，可得函数在上为增函数，在上为减函数．
函数，则函数图象所在圆心坐标为，半径为2.
设过点切线斜率为，则，解得，
所以切线的倾斜角为，
所以要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为，
即最大旋转角为，即θ的最大值为.
故选：C．
11．C
【分析】求出函数的定义域，运用换元法后依次求出各项的值域判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，且不是周期函数，
当时，其：，
对于A项，当时，，即，这与不符合，故A项不成立；
对于B项，当时，，即，这与不符合，故B项不成立；
对于C项，当时，，即，故C成立；
对于D项，当时，，即，这与不符合，故D项不成立；
故选：C．
12．D
【分析】由题意构造函数f（t）=)，利用f（t）的单调性及奇偶性，可得，进而得到结果.
【详解】令f（t）=)，则f（-t）=ln(，
f（t） f（-t）=1=0，
f（t）=)为奇函数，
又令=g（t），g′（t）=1+=，
,>0，所以g′（t）>0，g（t）在R上是增函数，
又y=lnx是单调递增的，且=g（t）恒大于0，所以f（t）在R上是增函数，
又，
即
x-1=t，y-1=--t，
，x+y=2.
故选D.
【点睛】本题考查了构造函数求等式中的参数的问题，考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于难题.
13．A
【详解】由，知，解得
令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.
当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.
当直线过点A(4,0)时，，解得.
所以，即.
故选A.
14．D
【分析】解法一：令，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理可知在上有一个零点，即可求解；解法二：令，将原方程转化为，解出方程的解即可.
【详解】解法一：令，定义域为，
，
时，，，∴在上存在极大值，
而当时，，，∴，∴的极大值小于0，
从而在上恒小于0，当时，，
所函数在上单调递增，而，，
∴函数在上有一个零点即方程的实根个数为1.
故选：D．
解法二：令，则，
方程可以转化为，即，，
平方可得，故此方程有仅有一解，且.
故选：D．
15．A
【分析】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点，对选项逐个进行判断即可.
【详解】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点.
A中函数的图象为双曲线的上半部分，其渐近线方程为，所以函数与直线的图象最多有一个交点，符合题意；
B中函数与直线有两个交点，不符合题意，
C中函数与直线有两个交点，不符合题意，
D中函数与直线有两个交点，不符合题意，
故选：A.
16．B
【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，则．
即函数在原点的切线的斜率，所以．
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，
旋转所得的图象与轴就会存在两个交点，
此时曲线不是函数的图象，故的最大值是．
故选：B．
17．A
【分析】把函数变形为，然后换元设，求出的范围，再由新函数的单调性可得．
【详解】由题意，
设，则，当且仅当，即时取等号．
∴，
，易知函数在上是增函数，
∴时，，．
所以．即值域为．
故选：A.
【点睛】本题考查求函数的值域，解题关键是函数式的变形，变形的用换元法化简函数．
18．B
【分析】理解新定义函数对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当是的倍数时，绕坐标原点逆时针旋转到时，此时与关于轴对称，不符合函数定义，当不是的倍数时，绕坐标原点逆时针旋转时，6个点相互都不关于轴对称，符合函数定义，根据此判断各项即可.
【详解】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
∵的图象绕原点逆时针旋转后原图重合，
∴旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
对于B项，当时，即，，
将点绕坐标原点逆时针旋转得到圆上的点仍在函数图像上，
如图所示，
从函数角度看，此点的横坐标为，即，这与函数的定义相矛盾，故B项错误；
对于A项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故A项成立；
对于C项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故C项成立；
对于D项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故D项成立.
故选：B.
19．C
【详解】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.
点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
20．B
【分析】根据题意当点处的切线旋转成的时候，即为的最大值，利用导数求解切线的斜率即可求出倾斜角，即可得解.
【详解】如下图所示
对于题目所给的函数来说，当该函数旋转到已经不是一个函数的时候，
那么其图象上必然存在一个切线垂直于轴的点.
我们也很容易知道，当这一点是异于的一点时，此时的图象已经不是一个函数，
唯有当该点恰在上时，此时才为函数，再旋转就不再是函数，
所以当点处的切线旋转成的时候，即为的最大值.
又，则，所以，
则旋转前处切线的倾斜角为，所以，所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是分析函数图象变换的过程，然后利用导数的几何意义求出斜率，即可求解.
21．
【分析】函数的图象是圆在轴及其上方的部分. 设出并解出圆在点处的切线，再根据的最大值为切线逆时针旋转到与轴重合时所转过的角，即可得到答案.
【详解】函数的图象是圆在轴及其上方的部分,
设圆在点处的切线为，则，故，从而该切线的倾斜角为.
而的最大值为切线逆时针旋转到与轴重合时所转过的角，即.
所以的范围是．
故答案为：．
22．
【分析】令，根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为，再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解.
【详解】令，
则，
它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示），
由图象得当与半圆相切时，函数取最小值，
此时,,，
，
即的最小值为.
故答案为：.
23．
【详解】设.
则.
当时，上式等号成立.
24．
【分析】的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，结合求解即可.
【详解】表示点，分别到，的距离差，
即在函数的图象上求点，使得取得最大值，
如图所示，
易知，当且仅当点位于的延长线与的交点，
所以.
故函数的最大值为.
故答案为：.
25．/
【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．
【详解】令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，
∴最小值为 ．
故答案为：.
26．13
【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
27．/
【分析】求出定义域，对原式平方，根据二次函数的性质，可计算最大值和最大值，从而求出比值.
【详解】解：要使函数有意义，则，解得，
，
，
即，
，
当时，有最大值，即，
当或时，有最小值，即，
，
故答案为：.
28．
【分析】把看作常数，用表示，再把转化为等式，利用正弦（正弦型）函数的有界性构造不等式求解即可.
【详解】， ，设，
得：，
即，化得：，
即，（其中）.
化得：，解此不等式得：.
故答案为：
29．
【分析】表示直线上的点到点与的距离之差，求出点关于直线的对称点为，再根据即可得解.
【详解】
表示直线上的点到点与的距离之差，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
30．
【分析】把的函数图象画出来是一个半圆，然后利用数形结合思想，很容易判断动直线与半圆的交点情况,得出的取值范围.
【详解】
曲线代表半圆，图象如图所示．
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
解得，（舍去）；
当直线过时，把代入直线方程中解得；
当直线过时，把代入直线方程中解得．
根据图象可知直线与圆有交点时，的取值范围是：；
当有一个交点时，的取值范围为：；
当有两个交点时，的取值范围是：．
故答案为：；；．
31．
【分析】根据两点斜率公式，结合圆与直线的位置关系，即可结合图形求解.
【详解】设，则有，，
其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率．
如图：,则，
设过点A的直线为，
整理为，由点到直线的距离公式可得
，化简得或（舍），
所以，
故答案为:
32．
【分析】由两点距离公式可将转化为
到，的距离和，先求得关于直线的对称点，
则即为距离和的最小值，由距离公式求即可.
【详解】，
设在直线上，点，，
则，，
则,
如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以，
故答案为：
33．
【详解】试题分析：的几何意义表示的是直线上的点到原点的距离，所以最小值为原点到直线的距离，即.
考点：原点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法. 的几何意义表示的是直线上的点到原点的距离，所以最小值为原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式，有最小值为.类似的，若求，也即是求直线上的点和点两点连线的斜率问题，和线性规划问题很类似.
34．
【详解】函数
令，则.
得.
当时，函数有最大值.
所以值域为.
故答案为.
点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择
35．．
【分析】先求出，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解.
【详解】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是．
故答案为：
36．
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.
【详解】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
37．
【详解】原不等式即为.
令，不等式可化为
由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线的两支之间的区域内，
因此，原不等式与不等式组同解.
所以，原不等式的解集为.
38．
【分析】先根据函数的对称性得函数的周期是2，作出函数和直线的图象，根据直线与圆相切求得切线斜率，数形结合求解即可.
【详解】由，得到函数关于对称，
因为是偶函数，所以，
即，所以函数的周期是2，
由，得，，
作出函数和直线的图象，
当与相切时，，
解得（负根舍去），
当与相切时，，
解得（负根舍去），
要使直线与函数的图象有且仅有三个交点，
则由图象可知：.
故答案为：
39．
【分析】作出函数图象，图象是一个圆弧AB，圆心为，如图所示，由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，由此得最大值即为，求出正切值即得．
【详解】由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象，
这是一个圆弧AB，圆心为，如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故答案为：．
40．2
【分析】根据反函数的图像特征转为点到直线距离最小值2倍，再结合导数切线求解即得.
【详解】观察可知其几何意义为，两点间距离的平方，
且在上，在上，两个函数互为反函数，
进而转化为图像上的点到直线的最小距离的2倍的平方,
图像上的点到直线的最小距离，可转化为斜率为1的切线到直线y=x距离，即是切点到直线的距离.
因为，令
可得，切点为，
，
易得.
故答案为：2.
41．/
【分析】令，由于，进而将问题转化为半圆上的点到直线的距离的最小值问题，进而根据圆的知识求解即可.
【详解】解：由于，
令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，
依题表示该半圆上的点到直线的距离，转化为圆心到直线之距，
由数形结合可知的最小值是，故的最小值为
故答案为：
42．
【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解.
【详解】由题意得，
；
表示了点与点的距离，
表示了点与点的距离，
如图，
结合图象可得，，
即，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
43．
【分析】易得点在直线上,再根据的几何意义求解即可.
【详解】易得点在直线上,且的几何意义为点到的距离. 故的最小值为点到直线的距离.
即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点到点的距离公式以及点到直线的距离公式的运用,属于基础题型.
44．/
【分析】利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则，所以，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以函数在单调递增，在上单调递减.
所以当，即时，
取得最大值为.
故答案为：.
45．
【分析】构造一个与原函数定义域一致，在定义域上单调，且与原函数平方和为定常数的函数，即可利用所构造函数的值域求出的值域.
【详解】由已知得，，，
构造函数，则在上单调递增，
即可得
因为，
所以，
所以
故答案为：
46．
【分析】设且，问题转化为求的范围，再由对数函数性质求值域.
【详解】由得：，
所以函数的定义域是，
设，
，
所以,
故答案为：.
47．
【分析】作出函数图像，数形结合，确定当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线将不是一个函数的图像，由此求得答案.
【详解】先画出函数的图像,如图：
，
函数图像是一个圆弧，圆心为，与轴分别交于，
设此时过原点和圆弧相切的直线为l,
由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，
此时l将逆时针旋转越过y轴，y轴将与旋转后的圆弧有两交点，
此时曲线将不是一个函数的图像，故的最大值为，
因为，故,
故答案为：
48．
【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可.
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，
即．
设关于直线对称的点为，
则解之得即．
易得，当三点共线时，取到最小值，
且最小值为．
故答案为：.
49．5
【详解】，令，
则P在抛物线上，所以
50．
【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果.
【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，
如图，
当时，要满足条件，则，∴；
类似，当时，；
综上，实数的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化为曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.
51．
【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a2+b2；从而解得．
【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即，
所以a2+b2，
∵x﹣2在[3，4]是减函数，
∴2x﹣21+5；
即x﹣26；
故；
当x＝3，a，b时取等号，
故a2+b2的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0是难点，属于较难题．
52．
【分析】由，得，令，把原函数转化为关于的三角函数求解．
【详解】：由，得．
令，
则函数化为．
，
，则
故答案为
【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题，求函数值域的基本方法：①观察法；②利用常见函数的值域，一次函数的值域为，反比例函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为；③分离常数法；④换元法；⑤配方法；⑥数形结合法；⑦单调性法；⑧基本不等式法；⑨判别式法；⑩有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．．
53．/
【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.
【详解】设点，由实数满足可得：
点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
设点，则的几何意义为动点到定点的距离，
由，则点在圆外，
结合图形可知，.
的最大值是.
故答案为：.
54．/0.8
【分析】原问题等价于有解，设，则，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，从而即可求解.
【详解】解：因为函数有零点，
所以方程有解，即方程有解，
设，则，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以，
令，则，
因为，所以，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，
所以，
所以的最小值为.
55．[，]
【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=csθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x﹣2=csθ 且θ∈[0，π]
∴
=，表示两点（﹣3，﹣3）和（csθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
56．
【分析】利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.
【详解】解：利用运动是相对的，
函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，
故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，
则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，
故的最大值为，
故答案为：
57．
【分析】将改写成，结合几何意义转化为求半圆上的点到直线距离之和的倍，看图分析即可.
【详解】令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
如图所示，
∴目标式几何意义：上半圆上的点到直线：与上半圆上的点到直线：的距离之和的倍，
∴最小值为.
故答案为：.
58．
【分析】利用函数性质首先求出的值域，然后将问题转化为的值域，再利用指数型函数的单调性求的值域，最后利用集合间的关系求解即可.
【详解】由题令，且，
①由一次函数和二次函数性质可知，在上单调递增，
故时，；
②当时，令，此时，
当时，显然无解，不合题意，从而，
因为，所以由，解得，
综上所述，的值域为；
不妨设在上的值域为，
因为，，，
所以，
③当时，显然在上的值域为，满足题意；
④当时，在上单调递增，
因为，，
从而，
故或，即或；
⑤当时，在上单调递减，
因为，，
从而，
故或，显然不等式组无解.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
59．最大值为，
【分析】由，则为点到点的距离与点到点的距离之差，结合三角形边长性质可得的最大值，借助直线方程可得此时值.
【详解】，
记，，，则点在轴上，点、在轴上方，
∵，
∴，
三点、、共线时，取最大值．
由，，得直线的方程，
令，得．∴的最大值为，此时．
一、单选题
1．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数，则的最小值为
A．B．C．D．
5．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．若的最小值与（）的最大值相等，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
7．若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．实数x，y满足，若恒成立，则整数k的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
9．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
10．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．对函数作的代换，则不改变函数值域的代换是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
12．若，则
A．0B．1C．D．2
13．函数的值域是
A．B．C．D．
14．方程的实根个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是
A．B．C．D．
16．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．设（x＞0），则f（x）的值域为（ ）
A．B．
C．D．
18．设是函数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
19．函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
20．已知函数，若将其图象绕原点逆时针旋转角后，所得图象仍是某函数的图象，则当角取最大值时，
A．B．C．D．
二、填空题
21．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角）,若所得曲线仍是一个函数的图象,则θ的范围是 ．
22．函数的最小值为 .
23．已知.则二元函数的最小值为 .
24．函数的最大值为 ．
25．已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为 ．
26．已知函数的值域为，则实数的值为 ．
27．若函数的最大值为，最小值为，则的值为 .
28．函数的值域为 .
29．已知实数满足，则的最大值是 ．
30．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是 ；若有一个交点，则的取值范围是 ；若有两交点，则的取值范围是 ．
31．函数的值域为 .
32．已知，则的最小值为
33．已知实数满足，则的最小值等于 ．
34．函数的值域为 ．
35．函数的值域是 ．
36．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ．
37．不等式的解集为 .
38．偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是 .
39．将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为 .
40．若，其中，则 ．
41．已知点不在直线上，则点P到直线l的距离；类比有：当点在函数图象上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是 ．
42．若函数存在零点，则实数的取值范围是 .
43．已知实数、满足关系式，则的最小值为
44．函数的最大值为 .
45．函数的值域为 ．
46．函数的值域为 .
47．将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为 （结果用反三角函数表示）．
48．已知为直线上的一点，则的最小值为 ．
49．函数的最大值为 .
50．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
51．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为 .
52．函数的值域是 ．
53．若实数满足，则的最大值是 ．
54．函数有零点，则的最小值为 ．
55．函数的值域为 .
56．已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 .
57．函数 的最小值为 .
58．设函数，函数，若，，，则的取值范围为 ．
三、解答题
59．已知函数，求的最大值及相应的值．
参考答案：
1．A
【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设，，则，
则函数等价于，，
∵在上是增函数，．
∴函数的最小值是3．
故选：A．
2．D
【分析】参变分离可得对恒成立，令，则，根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为，不等式恒成立，
所以对恒成立，
令，则，，
所以，
所以当时取得最大值，
即当时取得最大值，
即，所以.
故选：D
3．B
【分析】先画出函数的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可．
【详解】解：由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.
4．A
【分析】法一：根据题意可排除CD，令其中一个式子取最小值，再利用特殊值法计算可取的最小值与选项对比，可以得到结果.
法二：可化，看成单位圆上的点到三个点的距离之和的最小值，再通过讨论点的位置关系可得最小值.
【详解】法一：根据题意，可排除CD，令其中一个式子为最小值，再结合特殊值对比选项取值，
令，则，
取，
则，
综合四个选项，选A.
法二：
=
设 , 如图：
直线AB与圆相切于D点，点C在OD的延长线上，P为圆上的动点，
∴ ，
当且仅当点P与点D重合时取最小值为，故选A.
【点睛】本题考查转化思想，解题的关键在于函数转化为直角坐标系中的几何关系，属于中等题.
5．B
【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】令，，则，
∵，∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】由在递增，可得为最小值，由在递增，可得取得最大值，解方程可得的值．
【详解】在定义域上是增函数，所以的最小值，又在定义域上是减函数，的最大值，所以
故选C．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．解答本题的关键是正确求出函数与的定义域，并正确判断其单调性.
7．C
【分析】画出函数图像，直线过定点，根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得到答案.
【详解】的图象由圆的下半部分与圆的上半部分组成
直线过定点.
当直线与圆的上半部分相切时，
解得或（舍去）
当直线经过点时，.
数形结合可得：.
故选
【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键.
8．B
【分析】根据题意，可对进行配方，然后利用三角换元，将实数x，y用三角函数的形式表示出来，然后利用辅助角公式合并即可完成求解.
【详解】，即．
令，，则．
∴，
∴，又，，则，
因此整数k的最小值为2.
故选：B．
9．B
【分析】由题意：表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，利用抛物线的定义将到F的距离转到到准线的距离即可求解.
【详解】由题意知：= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求.
故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题．
10．C
【分析】根据二次函数的性质判断函数的单调性，求出过点切线斜率，得出切线的倾斜角，即可求解.
【详解】设，根据二次函数的单调性，可得函数在上为增函数，在上为减函数．
函数，则函数图象所在圆心坐标为，半径为2.
设过点切线斜率为，则，解得，
所以切线的倾斜角为，
所以要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为，
即最大旋转角为，即θ的最大值为.
故选：C．
11．C
【分析】求出函数的定义域，运用换元法后依次求出各项的值域判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，且不是周期函数，
当时，其：，
对于A项，当时，，即，这与不符合，故A项不成立；
对于B项，当时，，即，这与不符合，故B项不成立；
对于C项，当时，，即，故C成立；
对于D项，当时，，即，这与不符合，故D项不成立；
故选：C．
12．D
【分析】由题意构造函数f（t）=)，利用f（t）的单调性及奇偶性，可得，进而得到结果.
【详解】令f（t）=)，则f（-t）=ln(，
f（t） f（-t）=1=0，
f（t）=)为奇函数，
又令=g（t），g′（t）=1+=，
,>0，所以g′（t）>0，g（t）在R上是增函数，
又y=lnx是单调递增的，且=g（t）恒大于0，所以f（t）在R上是增函数，
又，
即
x-1=t，y-1=--t，
，x+y=2.
故选D.
【点睛】本题考查了构造函数求等式中的参数的问题，考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于难题.
13．A
【详解】由，知，解得
令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：
由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大.
当直线和半圆相切时，，解得，由图可知.
当直线过点A(4,0)时，，解得.
所以，即.
故选A.
14．D
【分析】解法一：令，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理可知在上有一个零点，即可求解；解法二：令，将原方程转化为，解出方程的解即可.
【详解】解法一：令，定义域为，
，
时，，，∴在上存在极大值，
而当时，，，∴，∴的极大值小于0，
从而在上恒小于0，当时，，
所函数在上单调递增，而，，
∴函数在上有一个零点即方程的实根个数为1.
故选：D．
解法二：令，则，
方程可以转化为，即，，
平方可得，故此方程有仅有一解，且.
故选：D．
15．A
【分析】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点，对选项逐个进行判断即可.
【详解】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点.
A中函数的图象为双曲线的上半部分，其渐近线方程为，所以函数与直线的图象最多有一个交点，符合题意；
B中函数与直线有两个交点，不符合题意，
C中函数与直线有两个交点，不符合题意，
D中函数与直线有两个交点，不符合题意，
故选：A.
16．B
【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，则．
即函数在原点的切线的斜率，所以．
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角大于时，
旋转所得的图象与轴就会存在两个交点，
此时曲线不是函数的图象，故的最大值是．
故选：B．
17．A
【分析】把函数变形为，然后换元设，求出的范围，再由新函数的单调性可得．
【详解】由题意，
设，则，当且仅当，即时取等号．
∴，
，易知函数在上是增函数，
∴时，，．
所以．即值域为．
故选：A.
【点睛】本题考查求函数的值域，解题关键是函数式的变形，变形的用换元法化简函数．
18．B
【分析】理解新定义函数对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当是的倍数时，绕坐标原点逆时针旋转到时，此时与关于轴对称，不符合函数定义，当不是的倍数时，绕坐标原点逆时针旋转时，6个点相互都不关于轴对称，符合函数定义，根据此判断各项即可.
【详解】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
∵的图象绕原点逆时针旋转后原图重合，
∴旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
对于B项，当时，即，，
将点绕坐标原点逆时针旋转得到圆上的点仍在函数图像上，
如图所示，
从函数角度看，此点的横坐标为，即，这与函数的定义相矛盾，故B项错误；
对于A项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故A项成立；
对于C项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故C项成立；
对于D项，当时，即，，与旋转角不存在倍数关系，可以取到，故D项成立.
故选：B.
19．C
【详解】令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.
点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
20．B
【分析】根据题意当点处的切线旋转成的时候，即为的最大值，利用导数求解切线的斜率即可求出倾斜角，即可得解.
【详解】如下图所示
对于题目所给的函数来说，当该函数旋转到已经不是一个函数的时候，
那么其图象上必然存在一个切线垂直于轴的点.
我们也很容易知道，当这一点是异于的一点时，此时的图象已经不是一个函数，
唯有当该点恰在上时，此时才为函数，再旋转就不再是函数，
所以当点处的切线旋转成的时候，即为的最大值.
又，则，所以，
则旋转前处切线的倾斜角为，所以，所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是分析函数图象变换的过程，然后利用导数的几何意义求出斜率，即可求解.
21．
【分析】函数的图象是圆在轴及其上方的部分. 设出并解出圆在点处的切线，再根据的最大值为切线逆时针旋转到与轴重合时所转过的角，即可得到答案.
【详解】函数的图象是圆在轴及其上方的部分,
设圆在点处的切线为，则，故，从而该切线的倾斜角为.
而的最大值为切线逆时针旋转到与轴重合时所转过的角，即.
所以的范围是．
故答案为：．
22．
【分析】令，根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为，再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解.
【详解】令，
则，
它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示），
由图象得当与半圆相切时，函数取最小值，
此时,,，
，
即的最小值为.
故答案为：.
23．
【详解】设.
则.
当时，上式等号成立.
24．
【分析】的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，结合求解即可.
【详解】表示点，分别到，的距离差，
即在函数的图象上求点，使得取得最大值，
如图所示，
易知，当且仅当点位于的延长线与的交点，
所以.
故函数的最大值为.
故答案为：.
25．/
【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．
【详解】令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，
∴最小值为 ．
故答案为：.
26．13
【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
27．/
【分析】求出定义域，对原式平方，根据二次函数的性质，可计算最大值和最大值，从而求出比值.
【详解】解：要使函数有意义，则，解得，
，
，
即，
，
当时，有最大值，即，
当或时，有最小值，即，
，
故答案为：.
28．
【分析】把看作常数，用表示，再把转化为等式，利用正弦（正弦型）函数的有界性构造不等式求解即可.
【详解】， ，设，
得：，
即，化得：，
即，（其中）.
化得：，解此不等式得：.
故答案为：
29．
【分析】表示直线上的点到点与的距离之差，求出点关于直线的对称点为，再根据即可得解.
【详解】
表示直线上的点到点与的距离之差，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
30．
【分析】把的函数图象画出来是一个半圆，然后利用数形结合思想，很容易判断动直线与半圆的交点情况,得出的取值范围.
【详解】
曲线代表半圆，图象如图所示．
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
解得，（舍去）；
当直线过时，把代入直线方程中解得；
当直线过时，把代入直线方程中解得．
根据图象可知直线与圆有交点时，的取值范围是：；
当有一个交点时，的取值范围为：；
当有两个交点时，的取值范围是：．
故答案为：；；．
31．
【分析】根据两点斜率公式，结合圆与直线的位置关系，即可结合图形求解.
【详解】设，则有，，
其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率．
如图：,则，
设过点A的直线为，
整理为，由点到直线的距离公式可得
，化简得或（舍），
所以，
故答案为:
32．
【分析】由两点距离公式可将转化为
到，的距离和，先求得关于直线的对称点，
则即为距离和的最小值，由距离公式求即可.
【详解】，
设在直线上，点，，
则，，
则,
如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长，
设，则，解得，即，
故，
所以，
故答案为：
33．
【详解】试题分析：的几何意义表示的是直线上的点到原点的距离，所以最小值为原点到直线的距离，即.
考点：原点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法. 的几何意义表示的是直线上的点到原点的距离，所以最小值为原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式，有最小值为.类似的，若求，也即是求直线上的点和点两点连线的斜率问题，和线性规划问题很类似.
34．
【详解】函数
令，则.
得.
当时，函数有最大值.
所以值域为.
故答案为.
点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择
35．．
【分析】先求出，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解.
【详解】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是．
故答案为：
36．
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.
【详解】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
37．
【详解】原不等式即为.
令，不等式可化为
由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线的两支之间的区域内，
因此，原不等式与不等式组同解.
所以，原不等式的解集为.
38．
【分析】先根据函数的对称性得函数的周期是2，作出函数和直线的图象，根据直线与圆相切求得切线斜率，数形结合求解即可.
【详解】由，得到函数关于对称，
因为是偶函数，所以，
即，所以函数的周期是2，
由，得，，
作出函数和直线的图象，
当与相切时，，
解得（负根舍去），
当与相切时，，
解得（负根舍去），
要使直线与函数的图象有且仅有三个交点，
则由图象可知：.
故答案为：
39．
【分析】作出函数图象，图象是一个圆弧AB，圆心为，如图所示，由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，由此得最大值即为，求出正切值即得．
【详解】由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象，
这是一个圆弧AB，圆心为，如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故答案为：．
40．2
【分析】根据反函数的图像特征转为点到直线距离最小值2倍，再结合导数切线求解即得.
【详解】观察可知其几何意义为，两点间距离的平方，
且在上，在上，两个函数互为反函数，
进而转化为图像上的点到直线的最小距离的2倍的平方,
图像上的点到直线的最小距离，可转化为斜率为1的切线到直线y=x距离，即是切点到直线的距离.
因为，令
可得，切点为，
，
易得.
故答案为：2.
41．/
【分析】令，由于，进而将问题转化为半圆上的点到直线的距离的最小值问题，进而根据圆的知识求解即可.
【详解】解：由于，
令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，
依题表示该半圆上的点到直线的距离，转化为圆心到直线之距，
由数形结合可知的最小值是，故的最小值为
故答案为：
42．
【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解.
【详解】由题意得，
；
表示了点与点的距离，
表示了点与点的距离，
如图，
结合图象可得，，
即，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
43．
【分析】易得点在直线上,再根据的几何意义求解即可.
【详解】易得点在直线上,且的几何意义为点到的距离. 故的最小值为点到直线的距离.
即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点到点的距离公式以及点到直线的距离公式的运用,属于基础题型.
44．/
【分析】利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】令，则，所以，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以函数在单调递增，在上单调递减.
所以当，即时，
取得最大值为.
故答案为：.
45．
【分析】构造一个与原函数定义域一致，在定义域上单调，且与原函数平方和为定常数的函数，即可利用所构造函数的值域求出的值域.
【详解】由已知得，，，
构造函数，则在上单调递增，
即可得
因为，
所以，
所以
故答案为：
46．
【分析】设且，问题转化为求的范围，再由对数函数性质求值域.
【详解】由得：，
所以函数的定义域是，
设，
，
所以,
故答案为：.
47．
【分析】作出函数图像，数形结合，确定当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线将不是一个函数的图像，由此求得答案.
【详解】先画出函数的图像,如图：
，
函数图像是一个圆弧，圆心为，与轴分别交于，
设此时过原点和圆弧相切的直线为l,
由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，
此时l将逆时针旋转越过y轴，y轴将与旋转后的圆弧有两交点，
此时曲线将不是一个函数的图像，故的最大值为，
因为，故,
故答案为：
48．
【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可.
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，
即．
设关于直线对称的点为，
则解之得即．
易得，当三点共线时，取到最小值，
且最小值为．
故答案为：.
49．5
【详解】，令，
则P在抛物线上，所以
50．
【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果.
【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，
如图，
当时，要满足条件，则，∴；
类似，当时，；
综上，实数的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化为曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.
51．
【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a2+b2；从而解得．
【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即，
所以a2+b2，
∵x﹣2在[3，4]是减函数，
∴2x﹣21+5；
即x﹣26；
故；
当x＝3，a，b时取等号，
故a2+b2的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x2﹣1）a+2xb+x﹣2＝0是难点，属于较难题．
52．
【分析】由，得，令，把原函数转化为关于的三角函数求解．
【详解】：由，得．
令，
则函数化为．
，
，则
故答案为
【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题，求函数值域的基本方法：①观察法；②利用常见函数的值域，一次函数的值域为，反比例函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为；③分离常数法；④换元法；⑤配方法；⑥数形结合法；⑦单调性法；⑧基本不等式法；⑨判别式法；⑩有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．．
53．/
【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.
【详解】设点，由实数满足可得：
点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
设点，则的几何意义为动点到定点的距离，
由，则点在圆外，
结合图形可知，.
的最大值是.
故答案为：.
54．/0.8
【分析】原问题等价于有解，设，则，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，从而即可求解.
【详解】解：因为函数有零点，
所以方程有解，即方程有解，
设，则，
将关于的方程看成关于的直线方程，
则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，
所以，
令，则，
因为，所以，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，
所以，
所以的最小值为.
55．[，]
【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=csθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x﹣2=csθ 且θ∈[0，π]
∴
=，表示两点（﹣3，﹣3）和（csθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
56．
【分析】利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解.
【详解】解：利用运动是相对的，
函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应，
即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为，
故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转，
则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转，
故的最大值为，
故答案为：
57．
【分析】将改写成，结合几何意义转化为求半圆上的点到直线距离之和的倍，看图分析即可.
【详解】令，，
∴表示函数图象上的点到直线的距离，
表示函数图象上的点到直线的距离，
如图所示，
∴目标式几何意义：上半圆上的点到直线：与上半圆上的点到直线：的距离之和的倍，
∴最小值为.
故答案为：.
58．
【分析】利用函数性质首先求出的值域，然后将问题转化为的值域，再利用指数型函数的单调性求的值域，最后利用集合间的关系求解即可.
【详解】由题令，且，
①由一次函数和二次函数性质可知，在上单调递增，
故时，；
②当时，令，此时，
当时，显然无解，不合题意，从而，
因为，所以由，解得，
综上所述，的值域为；
不妨设在上的值域为，
因为，，，
所以，
③当时，显然在上的值域为，满足题意；
④当时，在上单调递增，
因为，，
从而，
故或，即或；
⑤当时，在上单调递减，
因为，，
从而，
故或，显然不等式组无解.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
59．最大值为，
【分析】由，则为点到点的距离与点到点的距离之差，结合三角形边长性质可得的最大值，借助直线方程可得此时值.
【详解】，
记，，，则点在轴上，点、在轴上方，
∵，
∴，
三点、、共线时，取最大值．
由，，得直线的方程，
令，得．∴的最大值为，此时．
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