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高中数学压轴题小题专项训练专题11不等式恒成立、能成立、恰好成立问题含解析答案
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这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题11不等式恒成立、能成立、恰好成立问题含解析答案，共75页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（提示：）
A．B．C．D．
6．已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数f（x）=lg2x-2lg2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若不等式有解，则实数a的最小值为（ ）
A． B．C．D．
9．已知定义在上的函数满足，且，，，．若，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
11．已知函数，设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若存在两个正数，使得不等式成立，其中， 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期函数且，当， ，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为
A．B．
C．D．
18．已知函数，，若存在，使得成立，则实数k的范围是（ ）
A．B．
C．D．
19．若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
20．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为（ ）
A．3B．4C．5D．6
27．关于的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
28．定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ）
A．B．1C．D．
29．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
30．设函数，若恒成立，则满足条件的正整数k可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
31．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．当时，仅有一个整数解
D．当时，仅有一个整数解
32．已知函数图象上的点均满足 对有成立，则（ ）
A．B．的极值点为
C．D．
33．已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（ ）
A．B．有极小值，无极大值
C．既有极小值，也有极大值D．
34．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
35．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的可能值为（ ）
A．0B．1C．D．
36．函数（a，），下列说法正确的是（ ）
A．当，不等式恒成立，则b的取值范围是
B．当，函数有两个零点，则b的取值范围是
C．当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是
D．当，函数有三个零点且，则的值为1．
37．已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
三、填空题
38．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
39．已知函数，（其中是自然对数的底数）．若对任意的，，不等式都成立，则实数a的取值范围为 ．
40．若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为 .
41．已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为 ．
42．若存在实数使得，则的值为 .
43．设函数，当时，恒成立，则的最大值是 ．
44．，不等式恒成立，求a的最小值是
45．设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为 ．
46．已知函数，且在其定义域内恒成立，则实数的取值范围是 ．
47．已知函数．当时，，则整数的最大值为 ．
48．已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为 .
49．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是 .
50．已知函数，若，则函数在处的瞬时变化率为 ，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
51．若，则实数最大值为 .
52．已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ．
53．若对于恒成立.当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 .
54．已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ．
55．已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
56．已知函数．给出下列四个结论：
①；
②存在，使得；
③对于任意的，都有；
④对于任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
57．已知函数，函数，则函数的极小值点为 ；若，恒成立，则实数的取值范围为 ．
58．已知函数的极大值点为0，则实数m的值为 ；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
59．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 .
60．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是 .
61．曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
62．设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】存在唯一解，使则函数在上单调递减，在上单调递增，故，，代换得到，代入计算得到答案.
【详解】设，则.
当时，取，根据图像知，方程有唯一解设为，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，且，
代换得到：，
易知函数在上单调递减，且，故.
，故当时，有最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查了隐零点问题，不等式恒成立求参数，设出极值点是解题的关键.
2．D
【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【详解】不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.
3．C
【详解】由题意知：的极值为，所以，因为，
所以，所以即，所以，即
3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.
4．D
【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围.
【详解】当时，，，可化为，
即存在，使得成立，
的对称轴为，
在区间单调递增，
只要，即，解得：，
又，，
当时，可化为，此时不等式恒成立，
综上所述，．
故选：
【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题.
5．B
【分析】设，由题意可知对恒成立，由可得出在上有解，令，可得，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得整数的最小值.
【详解】设，由题意可知对恒成立，
则在上有解，
即在上有解.
设，则，
设，则，则函数在区间上单调递减，
因为，所以，则在上单调递减.
因为，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，
则，即，故，
因为，所以的最小值是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立与能成立求参数，考查利用导数求得函数的最值是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
6．C
【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围.
【详解】由，
可得，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，
即当时，，单调递增，
所以当时，，
所以若不等式的解集中只含有个正整数，
即不等式的解集中只含有个正整数，
又的定义域为，且，
则，
设，则，
当时，，
所以在上单调递减，且至多有一个解，
所以若有且只有个正整数解
则需满足，解得，
现证当时，在上恒成立，
由时，，
即当时，，单调递减，
所以当时，，
综上所述，
故选：C.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
7．D
【分析】先根据对数运算化简，利用对数函数单调性，转化为恒成立问题，再利用均值定理求解.
【详解】因为，为增函数，
所以可化为，即在x∈（0，+∞）恒成立，
而，所以，即，当且仅当时，等号成立.故选D.
【点睛】本题主要考查利用均值定理求解恒成立的问题.利用均值定理求解最值时，注意定理的使用条件，“一正，二定，三相等”，特别注意等号的验证.
8．A
【分析】将有解，即有解，分离参数即得有解，构造函数，利用导数求得新函数的最值，即可求得答案.
【详解】因为，若有解，
则有解，即有解，
设，
所以得，
又令，所以，因为单调递增，
当时，，此时单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以有解，即，即a的最小值为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了导数与函数的综合性问题，当问题为不等式恒成立，或有解，再或者是方程有解等问题，求参数取值时，如果可以参变分离，首先就要选择参变分离的方法，主要将问题转化为不含有参数的函数的最值问题，这样就通过导数解决最值问题.
9．B
【分析】由得到的图象关于点对称，再由，，，得到在上单调递增，再将，转化为，从而有，即，，然后令，，用导数法求得其最大值即可.
【详解】解：由，得，故的图象关于点对称．
因为，，，．
所以在上单调递增，故在上单调递增，
因为，
所以，
所以，即，．
令，，
则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．
故选：B
10．B
【分析】将题意转化为 ，对任意恒成立，令，对求导，求出的单调性，即可求出的最小值，即可得出答案.
【详解】因为，若，且对任意的恒成立，
即 ，因为
即 ，对任意恒成立，
令，则
令 ，则
所以函数 在 上单调递增.
因为
所以方程 在上存在唯一实根 ，且满足
当 时， ，即 ，当 时， ，即
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增
所以
所以 ，因为 ，故整数 的最大值为.
故选：B.
【点睛】不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.
11．A
【分析】根据分段函数的性质，分情况建立不等式，利用二次函数与导数，求得最值，可得答案.
【详解】已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，
当时，，，
，当时，，
，当时，，则.
当时，，则，
，，当时，，函数单调递减，则；
，，当时，，函数单调递增，则，
所以.
综上，.
故选：A.
12．C
【分析】由题知存在两个正数，，令，则，进而转化为存在，使得成立，再研究函数的最小值进而得答案.
【详解】解：因为存在两个正数，使得，
所以，不等式两边同得：存在两个正数，，
故设，则，
则原问题等价于，存在，使得，
因为，所以，存在，使得成立，
设，，恒成立，
所以为增函数，
因为，
故当时,，当时,，
即当时,函数取得极小值也是最小值为：，
即，
存在，使得成立，则，解得
所以，实数的取值范围是.
故选：C
13．B
【分析】利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果.
【详解】在恒成立，在上单调递增，
由对数函数单调性知：在上单调递增；
不妨设，
由得：，
．
令，则，在上存在单调递增区间，
即在上有解，
即在上有解，，
令，则，
令，则，
，当时，单调递增，
，，即实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的关系，从而利用导数来求解．
14．C
【分析】题目主要考查了函数的性质和最值的求法，可以通过，使成立先将问题转化为，从而分别求和，又因为函数为定义在区间内的3级假周期函数且，所以可以通过图像分析出函数在的最大值，而对于函数，可以通过求导的方式求得函数的单调性，从而求出函数的最小值，并通过求得的取值范围.
【详解】根据题意，对于函数，当时，，
所以当时，，有最大值，最小值，
当时，，函数的图象关于直线对称，则此时有，
而，使成立可以转化为
又由函数是定义在区间内的3级假周期函数，且；
则当，，即，则有，
所以当时，，
则函数在区间上的最大值为；
对于函数 ，有
所以在上，，函数为减函数，
在上，，函数为增函数，
则函数在上的最小值为，
而问题转化为，即，得到范围为.
故选：C
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立和存在性的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 恒成立 ，若恒成立；
（3）若，， 成立，可转化为；
若，， 成立，可转化为；
若，， 成立，可转化为.
15．C
【分析】将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值.
【详解】令，其中，则，
当时，，则函数在上单调递增，且，
令，则，
因为函数在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，如下图所示：
由题意得，
直线恒位于的图象上方，的图象下方，
代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，
整理可得，
令，则，
，
而当时，，，
所以，，
所以当时，，则函数在上单调递增，
所以有唯一的零点，
所以，此时直线方程为，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解.
16．C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
17．D
【分析】由，令，可证明因此先减后增，，原不等式转化为 ，
利用一次函数的性质可得结果.
【详解】由，令，
，
而是上的增函数，
，
因此在上递减，在上递增，
，
原不等式转化为，可得，
构造函数或，故选D.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
18．C
【分析】不妨设，根据，的单调性，将不等式等价于，即，令，需在上单调递减，运用导函数得需，分离参数得，令，求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数k的范围.
【详解】解：，，不妨设，因为，所以在上单调递增，所以，
又在上单调递增，所以，
所以不等式等价于，即，
令，又，所以需在上单调递减，
又，所以在上，需，即，
令，则，所以在上单调递增，所以，
所以，
要使存在，使得成立，则实数k的范围是，
故选：C.
19．C
【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.
【详解】对于任意恒成立
等价于对于任意恒成立
令，则
令，则
所以在上单调递增，又
所以在有且仅有一个根，满足，即
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以
由对勾函数可知，即
因为，即，，
所以.
故选：C
20．D
【分析】解法一，利用利用导数求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.解法二，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.解法三、四，利用切线放缩来求得的取值范围.
【详解】解法1：要使在上恒成立，只需即可．
，又，易知：在上递增．
因为当趋向于0时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以，在上存在唯一的零点，满足，
所以，且在上单调递减，在上单调递增，
于是．
由得：，必有，，
两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，即，故，
于是实数m的取值范围是．
解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
令，则只需即可．
，令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增．
因为，两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，即，即．
即．
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
先证明，令，则，
于是，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号），
所以，当时，有，所以，
即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明，令，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以，所以.
∵
∴，当时，等号成立；
而在上单调递增，且，
所以存在，使得成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，解决方法有很多，可以考虑直接法，也可以考虑分离参数法，还可以考虑利用放缩法来进行求解.在利用导数研究函数的单调性、最值的过程中，如果一次求导无法求得，可以考虑多次求导来进行求解.
21．B
【分析】变形得到，当时，利用放缩得到证明，当时，利用隐零点可证明出不合要求，得到答案.
【详解】，
当时，，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故恒成立，不等式成立，
当时，令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
由零点存在性定理得，存在，使得，即，
此时，
故不合题意，舍去，
综上，，实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
22．D
【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，
令，
所以，
若，则 ， 在递增，
当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，
所以，
令，则，
所以，
当时，当时，，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值是
故选：D
【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.
23．D
【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，由仅有一个整数解，得只有一个整数解，再结合图象即可得解.
【详解】，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出的函数图象如图所示：
由仅有一个整数解，
得只有一个整数解，
设，由图象可知：
当时，在上恒成立，不符合题意，
当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，
所以，即，解得．
故选：D．
24．D
【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递减，，
，则存在，使得，
当时，，递增，当时，，递减，
函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时，令，求导得，显然在上单调递增，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
于是，
当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，
当时，，而，
存在，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，函数在取得极大值，
又，令，求导得，
函数在上单调递减，，则，
存在，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，
由，得，，
即有，令，求导得，
函数在上单调递减，而，即有，于是，
显然，令，求导得，即函数在上单调递减
因此，即，又，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
25．A
【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】令，
对任意的，，
故对任意的，，故函数的定义域为，
因为
，所以，，函数为奇函数，
令，则函数在上为增函数，
函数为增函数，所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，，
所以，，即，
令，
当时，则有，显然成立；
当时，则，
所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，此时，；
当时，则，
所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
26．BCD
【分析】根据题意，转化为恒成立，设，求得，令，求得，结合，得到函数的单调性和最大值，求得的范围，结合选项，即可求解.
【详解】因为函数，由不等式恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，可得，
令，可得，所以单调递减，
又因为，
则当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的最大值为，即，
结合选项，BCD满足题意.
故选：BCD.
27．BC
【分析】根据函数的单调性和最值综合分析即可求解.
【详解】由，可得．
记，，
令，，
则，令，
则恒成立，
所以在上单调递增且，
所以当时，，所以，
当且仅当时，等号成立．
又，．且，
所以直线为与的图象在处的公切线时
才能使原不等式恒成立，此时，，
故选:BC．
28．BD
【分析】利用阶导数的定义，求出阶导数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，则，，
，
令，得，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
故选:BD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用阶导数的定义求出阶导数，再利用分离参数法解决恒成立问题，结合导数法求函数的最值即可.
29．BCD
【分析】问题等价于，通过导数求出两个函数的最小值即可.
【详解】，若，则，则在单调递增， ；
若，则在单减，在单增，，∴.
，则在单调递增，在单调递减，，
∴.
∵，，不等式成立，
∴若，，成立；
若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.
而，，，.
故选：BCD.
【点睛】本题在求的最小值时需要对参数k进行讨论，本题对参数的讨论非常典型注意总结；当进行到这一步时，需要构造函数求出k的值，式子比较经典，一定要熟练掌握.
30．AB
【分析】将转化为，构造，再构造，利用导数推得在上存在零点，进而求得，故得，从而可得答案.
【详解】当时，恒成立，即在上恒成立，
令，则，，
再令，则，
故在上单调递增，
又因为，，
所以在上存在零点，且，
所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；
故，
因为，故，所以由得.
故选：AB.
31．ACD
【分析】求导，根据导数以及特殊点大致画出函数图像，根据函数图像分析即可.
【详解】解析：由题意， ，
故曲线在点处的切线方程为，故A正确；
令 ，得，易知当时，
单调递减，
当时，单调递增，
所以在处取得极小值，为 ，故B错误；
当 时，有整数解x=-2，作出与的大致图象如图所示，故C正确；
当时，在上，
设的图象在点处与直线相切，
所以 消去k，得，而，
函数大致图像如下图：
故若有唯一整数解，则,，故D正确．
故选：ACD．
32．AD
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B项，转化不等式再构造函数判定其单调性可判定C、D选项.
【详解】由条件知，
令，易知是奇函数且单调递增，
所以有
所以
所以，即，即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
由在时恒成立，
即
因为， 在上单调递增，所以，即，
令，
易知时，时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，故C错误；
又在上单调递增，则，所以D正确.
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：（1）将已知条件变形为，构造.
（2）同构变形，利用单调性得.
（3）同构变形 .
33．ABD
【分析】将题设条件化为，进而有，其中为常数，，根据已知求得，对函数求导判断A、B、C；问题化为上，结合特殊值可判断D.
【详解】由题设，则，
所以，故，其中为常数，，
又，则，所以，即，
所以，故，则，A对；
由且，令在上递增，
，，故使，即，
上，即，递减；
上，即，递增；
所以有极小值，无极大值，B对，C错；
由题设，上，即，
因为，
所以，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据题设条件得到，进而求得为关键.
34．BCD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D.
【详解】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，时，，时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想.
35．ACD
【分析】将转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】，对任意，都有恒成立，
即，化简得，
令，于是对任意，有，
，
令，
则.
当时，，所以在上是增函数，于是，
即，所以在上是增函数，于是，符合题意.
当时，观察易知在上是增函数，于是.
若，则，所以在上是增函数，，即，
所以在上是增函数，，符合题意.
若，令，则当时，
在上是增函数，所以，
即
，
又在上是增函数，所以存在，
使得，当时，，即在上是减函数，
当时，，即，所以在上是减函数，
，这与矛盾.
故实数的取值范围是.
故选：ACD
【点睛】利用导数研究不等式的恒成立问题，可以考虑的方法有直接法和分离参数法.在利用导数研究函数的单调性过程中，如果一次求导无法求得，可考虑利用多次求导的方法进行求解.在求解过程中，要注意原函数和对应导函数的关系.
36．BCD
【分析】构造函数，，利用导数求出其单调区间及最值，作出函数大致图象，进而可判断AB；当，，令，结合A选项，可得出与的对应关系，构造函数，作出其大致图象，结合图象进而可判断CD.
【详解】对于AB，当，，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
不等式恒成立，即恒成立，
所以，所以，
所以b的取值范围是，故A错误；
当时，，当时，且，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，所以b的取值范围是，故B正确；
对于C，当，，
令，
由上可知函数在上单调递增，在上单调递减，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，当或时，与一一对应，
当时，个对应个，
令，则，
令，则，
当或时，，当或时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，要使函数有三个不同的零点，
则函数的图象有两个交点，
其中一个在上，另一个在上，
所以，所以，故C正确；
对于D，由C选项知，函数由两个零点，，
而函数有三个零点且，
所以，
则，
而，所以，所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
37．AC
【分析】A选项，利用导函数求解单调性；B选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，作出判断；C选项，画出的图象，数形结合将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a的取值范围是；D选项，画出的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又当时，，，
故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；
由A选项分析可知：在处取得极小值，，在处取得极大值，，又时，恒成立，时，恒成立，
画出，如图：
故f（x）的值域为，B错误；
由得：或
画出的图象，如图所示：
从图象可以看出有1个根，为，
要想方程有3个不相等的实数根，
需要需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，
所以则实数a的取值范围是，C正确；
不等式在恰有两个整数解，
即在恰有两个整数解，在同一坐标系下画出的图象：当介于直线之间时，满足要求，
其中，，
则实数a的取值范围是，D错误.
故选：AC
【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程较复杂时，要转化为两个函数的交点问题，数形结合进行求解.
38．
【分析】根据题意求，构造新函数，然后求导，根据实数分类讨论，通过判断函数的单调性，求最值，即可求解.
【详解】由题意，注意到，，
设，，
所以，
令，则，
当时，，，
所以，满足题意；
当时，，
所以在上单调递增，
结合知，
从而在上单调递增，又，
所以恒成立，满足题意；
当时，，
所以在上单调递增，
结合，，
可得在上有唯一的零点，
且当时，，所以在上单调递减，
又，
所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
39．
【分析】先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后根据不等式构造两个函数，转化为函数的单调性问题，利用分离常数法求出的取值范围.
【详解】设，函数在上单调递增，即，则，
不等式，
当，且时，恒成立，
即，，在，且时恒成立，
因此函数和均在上单调递增，
令，，求导得，
在上恒成立，在上恒成立，
在上单调递减，的最大值为，于是；
设，,求导得，
则在上恒成立，即在上恒成立，
设，，，由，得，
函数在上单调递增，由，得,在上单调递减，
则当时，，因此，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
40．
【分析】将恒成立问题转化为两个函数的图象位置关系，找到临界点为两个函数相切，然后求出临界处的范围，进而求得的最小整数
【详解】设，，只需保证的图象在的上方即可
易知：在区间上单调递增，且（否则当无限趋近无穷大时，不能成立）
则存在与在某个点处相切，设切点为
可得：
化简可得：
设，易知在区间上单调递增
可得：，
可得：
则，这是与在某个点处相切的范围，当比相切时大，则会在上方，即也满足题意
故的最小整数为
故答案为：2
【点睛】对于函数 ，，常用到以下两个结论：
（1） 恒成立，等价于；
（2） 恒成立，等价于；
（3）但有时候需要利用函数的图象来求，根据原不等式构造出两个函数，利用图象的关系求得
41．
【分析】由题意可得，对求导得出它的单调性即可求出在上的最小值，再对求导由基本不等式可求出在上的最大值，则，解不等式即可求出答案.
【详解】的定义域为，
则，
当时，∵，∴，
∴当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，因为
所以，∵，∴，
∴在上为增函数．∴，
依题意有，∴，∴，
故答案为：．
42．/
【分析】由已知得，令，利用导数可得，再根据等号成立的条件可得答案.
【详解】由已知得，
令，则，当时，，单调递增，
当时， ，单调递减，所以，
可得，所以，
即，
当且仅当即等号成立，
此时的值为.
故答案为：.
43．
【分析】由已知可得，分、、三种情况讨论，结合可得出的取值范围，综合即可得解.
【详解】，
当时，，可得；
当时，，可得，；
当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
则，.
故的最大值是.
故答案为：.
44．
【分析】转化题目所给恒成立的不等式，结合构造函数以及多次求导来求得的取值范围.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，
设，
所以在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增.
所以，所以单调递增，
所以 ，即，
构造函数，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减.
所以，
所以，所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行研究，在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数的关系，不能弄混淆.求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离参数法进行求解.
45．2
【分析】将函数变形为，设，
，画出函数图像，当时取最值，得到答案.
【详解】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.
根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2
答案为2
【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.
46．
【分析】将不等式转化为在上恒成立，设，通过讨论的符号，结合函数的单调性判断出的范围即可．
【详解】对于，整理得，
要使得在上恒成立，即.
令
①当同时恒成立时，
由，即恒成立，设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
可得，即；
由，即恒成立得．
；
②当，同时恒成立时，不存在；
③当时，为增函数，为减函数，
若它们有共同零点，则恒成立，
由，，联立方程组解得：．
当时，在上不恒成立，故舍去；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
47．1
【分析】将问题转化为，利用导数求的最小值即可.
【详解】当时，，即，
因为，所以只需，
令，，所以．
，
令，在上递增，
但无法求解，
故引入隐零点：，
根据零点存在性定理，，使得，
即．
当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
所以，故；
又在递增，，
所以，又，
所以整数的最大值是1．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
48．
【分析】由赋值法可得，，进而可判断函数的奇偶性，利用单调性将问题转化为，构造函数，求导得函数的单调性，即可可得最值，即可求解.
【详解】令，则，所以；
令，则，所以；
令，，则，所以，所以为偶函数.
因为在上单调递增，所以在上单调递减.
不等式化为，
因为，，所以，取对数得，即，
由题设条件可知，
设，则，
当时，，当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则，所以，
故实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性和单调性结合起来解决恒成立或者能成立问题时，将其转化为最值问题，利用导数求函数的单调区间，判断单调性，求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
49．
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【详解】因为存在，，使得成立，
所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，
所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，
∴，
∴只需，即，
令，则.
由可知，，
∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，
∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双变量问题，导数与函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
50．
【分析】求出，求出的值，可得出在处的瞬时变化率；分、两种情况讨论，当时，直接验证；当时，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，综合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，求导可得，
则，即在处的瞬时变化率为.
当时，恒成立，当时，成立；
当时，即，
记，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数在区间上的最大值为，所以，解得.
故答案为：；.
51．
【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到，从而，，代入，得到的最大值.
【详解】， 定义域为，
则，
令，
则，在上单调递增，
且时，当时，
使得 即
当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由得①，
即，代入②得，，
整理得
，
∴，
∴，
，
故的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
52．或
【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故．综上可知：或．
故答案为：或
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
53． 1
【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.
【详解】当时，，令，则，
令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，
的图像如下所示：
由于，而点是直线与轴的交点，因为 ，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.
故答案为：1，.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
54．
【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性及极值，结合题意求得满足条件的a的范围.
【详解】由，可得，
设，则.
令 ，
则，所以在上单调递增.
由于，，所以，，
所以在单调递减：在单调递增.
要使不等式的解集中恰有两个整数，
即的解集中恰有两个整数，
必须解集中的两个整数为2和3.
所以，，，，
解得.
【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题．
55．
【分析】不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案.
【详解】不等式对恒成立，
等价于，即，
所以,
设，其中，
则，令得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又，，
所以存在使得，
所以若，则或，即或，
，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
56．②③④
【分析】对于①，借助中间值，计算即可判断；对于②，构造函数，由零点存在性定理判段即可；对于③，构造函数，，根据函数单调性判断即可；对于④，分段讨论当，，当，，再将函数，两边同时取对数化简可得，提公因式构造不等式判断可得，根据绝对值的意义判断即可.
【详解】因为，所以，，
因为，，
所以，故①错误；
若，则，即，
，即，
令，因为，
所以存在，使得，即，
所以存在，使得，故②正确，
因为，
因为在上单调递减，所以也单调递减，
所以，
，
因为在上单调递增，所以也单调递增，
所以，
即，即对于任意的，都有，故③正确；
由②可知，存在，使得，
结合③可知当，，，即，
可知当，，，即，
因为，，得，
即，
当，有，
因为，所以，所以，
所以，即，
当，有，
因为，所以，所以，
即，所以对于任意的，都有，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：解决本题②，在于构造函数，利用零点存在性定理判段；本题③，关键在于构造函数，，根据复合函数单调性判断；本题④，关键在于根据②的结论分段讨论，将函数两边同时取对数可得，结合③计算有关结论，提公因式构造不等式得，然后判断即可.
57．
【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出，构造函数，可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数，将问题转化为函数在上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解.
58． 1
【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而求出，令，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数草图，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】解：，则，则，解得，
此时，，当时，当时，
所以在上的单调递增，在上单调递减，则在处取极大值，符合题意；
令，则
构造函数，则．
因为，所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，又，
易知的图象如图所示：
不妨令，
令
∵
∴在上单调递增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上单调递减，∴
故答案为：1；
59．
【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.
【详解】，
令，则，，设，则，
当时,，且等号不同时成立，则恒成立，
当时，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，因此存在，使得，
当时，，当时,，
所以函数在上单调递减，在,上单调递增,
又，作出函数的图像如下：
函数定义域为，求导得，
①当时，，函数的单调递减区间为，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上的值域包含，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，
②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，的取值集合为，
而取值集合为，因此函数在上的值域包含，
此时函数的值域为，即，
当时，即当时，恒成立，符合题意，
当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
60．
【分析】方法一：先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围；
方法二：先得到在R上单调递增，进而得到，变形后得到在上恒成立，分和两种情况，结合函数单调性得到答案.
【详解】方法一：设，则定义域为R，
且，故为偶函数，
所以为偶函数，
定义域为R，
且
故为奇函数，
且在上单调递增，
故在R上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，
因为为偶函数，所以有在上恒成立，
满足4成功函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，
故满足，故满足在上为4成功函数，
若时，画出的图象如下：
则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在，使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是.
方法二：定义域为R，
且
故为奇函数，
由于在上单调递增，
故在R上单调递增，
由题意得，即，
故，即在上恒成立，
当时，，
由于，故，
当时，恒成立，
当时，，故，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.
61．
【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.
所以.
【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键.
62．
【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.
【详解】的导数为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
令，，
又对任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
时，，当且仅当时取得最小值2，
，，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
一、单选题
1．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（提示：）
A．B．C．D．
6．已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数f（x）=lg2x-2lg2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若不等式有解，则实数a的最小值为（ ）
A． B．C．D．
9．已知定义在上的函数满足，且，，，．若，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
11．已知函数，设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若存在两个正数，使得不等式成立，其中， 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
14．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期函数且，当， ，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为
A．B．
C．D．
18．已知函数，，若存在，使得成立，则实数k的范围是（ ）
A．B．
C．D．
19．若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
20．已知函数，（其中是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
26．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为（ ）
A．3B．4C．5D．6
27．关于的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
28．定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ）
A．B．1C．D．
29．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
30．设函数，若恒成立，则满足条件的正整数k可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
31．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数的极小值为
C．当时，仅有一个整数解
D．当时，仅有一个整数解
32．已知函数图象上的点均满足 对有成立，则（ ）
A．B．的极值点为
C．D．
33．已知定义在上的函数满足，，且实数对任意都成立（，），则（ ）
A．B．有极小值，无极大值
C．既有极小值，也有极大值D．
34．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
35．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的可能值为（ ）
A．0B．1C．D．
36．函数（a，），下列说法正确的是（ ）
A．当，不等式恒成立，则b的取值范围是
B．当，函数有两个零点，则b的取值范围是
C．当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是
D．当，函数有三个零点且，则的值为1．
37．已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
三、填空题
38．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
39．已知函数，（其中是自然对数的底数）．若对任意的，，不等式都成立，则实数a的取值范围为 ．
40．若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为 .
41．已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为 ．
42．若存在实数使得，则的值为 .
43．设函数，当时，恒成立，则的最大值是 ．
44．，不等式恒成立，求a的最小值是
45．设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为 ．
46．已知函数，且在其定义域内恒成立，则实数的取值范围是 ．
47．已知函数．当时，，则整数的最大值为 ．
48．已知是定义在上的函数，且在区间内单调递增，对，，都有.若，使得不等式成立，则实数的最大值为 .
49．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是 .
50．已知函数，若，则函数在处的瞬时变化率为 ，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
51．若，则实数最大值为 .
52．已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 ．
53．若对于恒成立.当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 .
54．已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ．
55．已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
56．已知函数．给出下列四个结论：
①；
②存在，使得；
③对于任意的，都有；
④对于任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
57．已知函数，函数，则函数的极小值点为 ；若，恒成立，则实数的取值范围为 ．
58．已知函数的极大值点为0，则实数m的值为 ；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
59．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 .
60．对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是 .
61．曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
62．设函数，则函数的最小值为 ；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】存在唯一解，使则函数在上单调递减，在上单调递增，故，，代换得到，代入计算得到答案.
【详解】设，则.
当时，取，根据图像知，方程有唯一解设为，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，且，
代换得到：，
易知函数在上单调递减，且，故.
，故当时，有最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查了隐零点问题，不等式恒成立求参数，设出极值点是解题的关键.
2．D
【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【详解】不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.
3．C
【详解】由题意知：的极值为，所以，因为，
所以，所以即，所以，即
3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.
4．D
【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围.
【详解】当时，，，可化为，
即存在，使得成立，
的对称轴为，
在区间单调递增，
只要，即，解得：，
又，，
当时，可化为，此时不等式恒成立，
综上所述，．
故选：
【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题.
5．B
【分析】设，由题意可知对恒成立，由可得出在上有解，令，可得，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得整数的最小值.
【详解】设，由题意可知对恒成立，
则在上有解，
即在上有解.
设，则，
设，则，则函数在区间上单调递减，
因为，所以，则在上单调递减.
因为，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，
则，即，故，
因为，所以的最小值是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立与能成立求参数，考查利用导数求得函数的最值是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
6．C
【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围.
【详解】由，
可得，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，
即当时，，单调递增，
所以当时，，
所以若不等式的解集中只含有个正整数，
即不等式的解集中只含有个正整数，
又的定义域为，且，
则，
设，则，
当时，，
所以在上单调递减，且至多有一个解，
所以若有且只有个正整数解
则需满足，解得，
现证当时，在上恒成立，
由时，，
即当时，，单调递减，
所以当时，，
综上所述，
故选：C.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
7．D
【分析】先根据对数运算化简，利用对数函数单调性，转化为恒成立问题，再利用均值定理求解.
【详解】因为，为增函数，
所以可化为，即在x∈（0，+∞）恒成立，
而，所以，即，当且仅当时，等号成立.故选D.
【点睛】本题主要考查利用均值定理求解恒成立的问题.利用均值定理求解最值时，注意定理的使用条件，“一正，二定，三相等”，特别注意等号的验证.
8．A
【分析】将有解，即有解，分离参数即得有解，构造函数，利用导数求得新函数的最值，即可求得答案.
【详解】因为，若有解，
则有解，即有解，
设，
所以得，
又令，所以，因为单调递增，
当时，，此时单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
所以有解，即，即a的最小值为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了导数与函数的综合性问题，当问题为不等式恒成立，或有解，再或者是方程有解等问题，求参数取值时，如果可以参变分离，首先就要选择参变分离的方法，主要将问题转化为不含有参数的函数的最值问题，这样就通过导数解决最值问题.
9．B
【分析】由得到的图象关于点对称，再由，，，得到在上单调递增，再将，转化为，从而有，即，，然后令，，用导数法求得其最大值即可.
【详解】解：由，得，故的图象关于点对称．
因为，，，．
所以在上单调递增，故在上单调递增，
因为，
所以，
所以，即，．
令，，
则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．
故选：B
10．B
【分析】将题意转化为 ，对任意恒成立，令，对求导，求出的单调性，即可求出的最小值，即可得出答案.
【详解】因为，若，且对任意的恒成立，
即 ，因为
即 ，对任意恒成立，
令，则
令 ，则
所以函数 在 上单调递增.
因为
所以方程 在上存在唯一实根 ，且满足
当 时， ，即 ，当 时， ，即
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增
所以
所以 ，因为 ，故整数 的最大值为.
故选：B.
【点睛】不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.
11．A
【分析】根据分段函数的性质，分情况建立不等式，利用二次函数与导数，求得最值，可得答案.
【详解】已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，
当时，，，
，当时，，
，当时，，则.
当时，，则，
，，当时，，函数单调递减，则；
，，当时，，函数单调递增，则，
所以.
综上，.
故选：A.
12．C
【分析】由题知存在两个正数，，令，则，进而转化为存在，使得成立，再研究函数的最小值进而得答案.
【详解】解：因为存在两个正数，使得，
所以，不等式两边同得：存在两个正数，，
故设，则，
则原问题等价于，存在，使得，
因为，所以，存在，使得成立，
设，，恒成立，
所以为增函数，
因为，
故当时,，当时,，
即当时,函数取得极小值也是最小值为：，
即，
存在，使得成立，则，解得
所以，实数的取值范围是.
故选：C
13．B
【分析】利用导数可证得在上单调递增，设，可将不等式化为，可将问题转化为在上存在单调递增区间，结合导数可进一步化为在上有解，令，可得，则，利用导数求得最大值，从而得到结果.
【详解】在恒成立，在上单调递增，
由对数函数单调性知：在上单调递增；
不妨设，
由得：，
．
令，则，在上存在单调递增区间，
即在上有解，
即在上有解，，
令，则，
令，则，
，当时，单调递增，
，，即实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键一是理解新定义并结合题中函数的性质去掉绝对值符号；二是合理对问题进行转化，并构造函数，将问题最终转化为存在性问题，利用分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的关系，从而利用导数来求解．
14．C
【分析】题目主要考查了函数的性质和最值的求法，可以通过，使成立先将问题转化为，从而分别求和，又因为函数为定义在区间内的3级假周期函数且，所以可以通过图像分析出函数在的最大值，而对于函数，可以通过求导的方式求得函数的单调性，从而求出函数的最小值，并通过求得的取值范围.
【详解】根据题意，对于函数，当时，，
所以当时，，有最大值，最小值，
当时，，函数的图象关于直线对称，则此时有，
而，使成立可以转化为
又由函数是定义在区间内的3级假周期函数，且；
则当，，即，则有，
所以当时，，
则函数在区间上的最大值为；
对于函数 ，有
所以在上，，函数为减函数，
在上，，函数为增函数，
则函数在上的最小值为，
而问题转化为，即，得到范围为.
故选：C
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立和存在性的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 恒成立 ，若恒成立；
（3）若，， 成立，可转化为；
若，， 成立，可转化为；
若，， 成立，可转化为.
15．C
【分析】将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值.
【详解】令，其中，则，
当时，，则函数在上单调递增，且，
令，则，
因为函数在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，如下图所示：
由题意得，
直线恒位于的图象上方，的图象下方，
代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小．
设切点为，则，
整理可得，
令，则，
，
而当时，，，
所以，，
所以当时，，则函数在上单调递增，
所以有唯一的零点，
所以，此时直线方程为，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解.
16．C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
17．D
【分析】由，令，可证明因此先减后增，，原不等式转化为 ，
利用一次函数的性质可得结果.
【详解】由，令，
，
而是上的增函数，
，
因此在上递减，在上递增，
，
原不等式转化为，可得，
构造函数或，故选D.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
18．C
【分析】不妨设，根据，的单调性，将不等式等价于，即，令，需在上单调递减，运用导函数得需，分离参数得，令，求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数k的范围.
【详解】解：，，不妨设，因为，所以在上单调递增，所以，
又在上单调递增，所以，
所以不等式等价于，即，
令，又，所以需在上单调递减，
又，所以在上，需，即，
令，则，所以在上单调递增，所以，
所以，
要使存在，使得成立，则实数k的范围是，
故选：C.
19．C
【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.
【详解】对于任意恒成立
等价于对于任意恒成立
令，则
令，则
所以在上单调递增，又
所以在有且仅有一个根，满足，即
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以
由对勾函数可知，即
因为，即，，
所以.
故选：C
20．D
【分析】解法一，利用利用导数求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.解法二，利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.解法三、四，利用切线放缩来求得的取值范围.
【详解】解法1：要使在上恒成立，只需即可．
，又，易知：在上递增．
因为当趋向于0时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以，在上存在唯一的零点，满足，
所以，且在上单调递减，在上单调递增，
于是．
由得：，必有，，
两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，
所以，即，故，
于是实数m的取值范围是．
解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
令，则只需即可．
，令，则，
所以在上单调递增，又，，
所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增．
因为，两边同时取自然对数，则有，即．
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，又，即，即．
即．
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
先证明，令，则，
于是，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号），
所以，当时，有，所以，
即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明，令，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以，所以.
∵
∴，当时，等号成立；
而在上单调递增，且，
所以存在，使得成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，解决方法有很多，可以考虑直接法，也可以考虑分离参数法，还可以考虑利用放缩法来进行求解.在利用导数研究函数的单调性、最值的过程中，如果一次求导无法求得，可以考虑多次求导来进行求解.
21．B
【分析】变形得到，当时，利用放缩得到证明，当时，利用隐零点可证明出不合要求，得到答案.
【详解】，
当时，，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故恒成立，不等式成立，
当时，令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
由零点存在性定理得，存在，使得，即，
此时，
故不合题意，舍去，
综上，，实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
22．D
【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，
令，
所以，
若，则 ， 在递增，
当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，
所以，
令，则，
所以，
当时，当时，，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值是
故选：D
【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.
23．D
【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，由仅有一个整数解，得只有一个整数解，再结合图象即可得解.
【详解】，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出的函数图象如图所示：
由仅有一个整数解，
得只有一个整数解，
设，由图象可知：
当时，在上恒成立，不符合题意，
当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，
所以，即，解得．
故选：D．
24．D
【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递减，，
，则存在，使得，
当时，，递增，当时，，递减，
函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时，令，求导得，显然在上单调递增，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
于是，
当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，
当时，，而，
存在，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，函数在取得极大值，
又，令，求导得，
函数在上单调递减，，则，
存在，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，
由，得，，
即有，令，求导得，
函数在上单调递减，而，即有，于是，
显然，令，求导得，即函数在上单调递减
因此，即，又，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
25．A
【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】令，
对任意的，，
故对任意的，，故函数的定义域为，
因为
，所以，，函数为奇函数，
令，则函数在上为增函数，
函数为增函数，所以，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，，
所以，，即，
令，
当时，则有，显然成立；
当时，则，
所以，函数在、上单调递减，在上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，此时，；
当时，则，
所以，函数在上单调递减，在、上单调递增，
又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
26．BCD
【分析】根据题意，转化为恒成立，设，求得，令，求得，结合，得到函数的单调性和最大值，求得的范围，结合选项，即可求解.
【详解】因为函数，由不等式恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，可得，
令，可得，所以单调递减，
又因为，
则当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的最大值为，即，
结合选项，BCD满足题意.
故选：BCD.
27．BC
【分析】根据函数的单调性和最值综合分析即可求解.
【详解】由，可得．
记，，
令，，
则，令，
则恒成立，
所以在上单调递增且，
所以当时，，所以，
当且仅当时，等号成立．
又，．且，
所以直线为与的图象在处的公切线时
才能使原不等式恒成立，此时，，
故选:BC．
28．BD
【分析】利用阶导数的定义，求出阶导数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，则，，
，
令，得，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
故选:BD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用阶导数的定义求出阶导数，再利用分离参数法解决恒成立问题，结合导数法求函数的最值即可.
29．BCD
【分析】问题等价于，通过导数求出两个函数的最小值即可.
【详解】，若，则，则在单调递增， ；
若，则在单减，在单增，，∴.
，则在单调递增，在单调递减，，
∴.
∵，，不等式成立，
∴若，，成立；
若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.
而，，，.
故选：BCD.
【点睛】本题在求的最小值时需要对参数k进行讨论，本题对参数的讨论非常典型注意总结；当进行到这一步时，需要构造函数求出k的值，式子比较经典，一定要熟练掌握.
30．AB
【分析】将转化为，构造，再构造，利用导数推得在上存在零点，进而求得，故得，从而可得答案.
【详解】当时，恒成立，即在上恒成立，
令，则，，
再令，则，
故在上单调递增，
又因为，，
所以在上存在零点，且，
所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；
故，
因为，故，所以由得.
故选：AB.
31．ACD
【分析】求导，根据导数以及特殊点大致画出函数图像，根据函数图像分析即可.
【详解】解析：由题意， ，
故曲线在点处的切线方程为，故A正确；
令 ，得，易知当时，
单调递减，
当时，单调递增，
所以在处取得极小值，为 ，故B错误；
当 时，有整数解x=-2，作出与的大致图象如图所示，故C正确；
当时，在上，
设的图象在点处与直线相切，
所以 消去k，得，而，
函数大致图像如下图：
故若有唯一整数解，则,，故D正确．
故选：ACD．
32．AD
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B项，转化不等式再构造函数判定其单调性可判定C、D选项.
【详解】由条件知，
令，易知是奇函数且单调递增，
所以有
所以
所以，即，即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
由在时恒成立，
即
因为， 在上单调递增，所以，即，
令，
易知时，时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，故C错误；
又在上单调递增，则，所以D正确.
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：（1）将已知条件变形为，构造.
（2）同构变形，利用单调性得.
（3）同构变形 .
33．ABD
【分析】将题设条件化为，进而有，其中为常数，，根据已知求得，对函数求导判断A、B、C；问题化为上，结合特殊值可判断D.
【详解】由题设，则，
所以，故，其中为常数，，
又，则，所以，即，
所以，故，则，A对；
由且，令在上递增，
，，故使，即，
上，即，递减；
上，即，递增；
所以有极小值，无极大值，B对，C错；
由题设，上，即，
因为，
所以，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据题设条件得到，进而求得为关键.
34．BCD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D.
【详解】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，时，，时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想.
35．ACD
【分析】将转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】，对任意，都有恒成立，
即，化简得，
令，于是对任意，有，
，
令，
则.
当时，，所以在上是增函数，于是，
即，所以在上是增函数，于是，符合题意.
当时，观察易知在上是增函数，于是.
若，则，所以在上是增函数，，即，
所以在上是增函数，，符合题意.
若，令，则当时，
在上是增函数，所以，
即
，
又在上是增函数，所以存在，
使得，当时，，即在上是减函数，
当时，，即，所以在上是减函数，
，这与矛盾.
故实数的取值范围是.
故选：ACD
【点睛】利用导数研究不等式的恒成立问题，可以考虑的方法有直接法和分离参数法.在利用导数研究函数的单调性过程中，如果一次求导无法求得，可考虑利用多次求导的方法进行求解.在求解过程中，要注意原函数和对应导函数的关系.
36．BCD
【分析】构造函数，，利用导数求出其单调区间及最值，作出函数大致图象，进而可判断AB；当，，令，结合A选项，可得出与的对应关系，构造函数，作出其大致图象，结合图象进而可判断CD.
【详解】对于AB，当，，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
不等式恒成立，即恒成立，
所以，所以，
所以b的取值范围是，故A错误；
当时，，当时，且，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，所以b的取值范围是，故B正确；
对于C，当，，
令，
由上可知函数在上单调递增，在上单调递减，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，当或时，与一一对应，
当时，个对应个，
令，则，
令，则，
当或时，，当或时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，要使函数有三个不同的零点，
则函数的图象有两个交点，
其中一个在上，另一个在上，
所以，所以，故C正确；
对于D，由C选项知，函数由两个零点，，
而函数有三个零点且，
所以，
则，
而，所以，所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
37．AC
【分析】A选项，利用导函数求解单调性；B选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，作出判断；C选项，画出的图象，数形结合将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a的取值范围是；D选项，画出的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又当时，，，
故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；
由A选项分析可知：在处取得极小值，，在处取得极大值，，又时，恒成立，时，恒成立，
画出，如图：
故f（x）的值域为，B错误；
由得：或
画出的图象，如图所示：
从图象可以看出有1个根，为，
要想方程有3个不相等的实数根，
需要需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，
所以则实数a的取值范围是，C正确；
不等式在恰有两个整数解，
即在恰有两个整数解，在同一坐标系下画出的图象：当介于直线之间时，满足要求，
其中，，
则实数a的取值范围是，D错误.
故选：AC
【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程较复杂时，要转化为两个函数的交点问题，数形结合进行求解.
38．
【分析】根据题意求，构造新函数，然后求导，根据实数分类讨论，通过判断函数的单调性，求最值，即可求解.
【详解】由题意，注意到，，
设，，
所以，
令，则，
当时，，，
所以，满足题意；
当时，，
所以在上单调递增，
结合知，
从而在上单调递增，又，
所以恒成立，满足题意；
当时，，
所以在上单调递增，
结合，，
可得在上有唯一的零点，
且当时，，所以在上单调递减，
又，
所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
39．
【分析】先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后根据不等式构造两个函数，转化为函数的单调性问题，利用分离常数法求出的取值范围.
【详解】设，函数在上单调递增，即，则，
不等式，
当，且时，恒成立，
即，，在，且时恒成立，
因此函数和均在上单调递增，
令，，求导得，
在上恒成立，在上恒成立，
在上单调递减，的最大值为，于是；
设，,求导得，
则在上恒成立，即在上恒成立，
设，，，由，得，
函数在上单调递增，由，得,在上单调递减，
则当时，，因此，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
40．
【分析】将恒成立问题转化为两个函数的图象位置关系，找到临界点为两个函数相切，然后求出临界处的范围，进而求得的最小整数
【详解】设，，只需保证的图象在的上方即可
易知：在区间上单调递增，且（否则当无限趋近无穷大时，不能成立）
则存在与在某个点处相切，设切点为
可得：
化简可得：
设，易知在区间上单调递增
可得：，
可得：
则，这是与在某个点处相切的范围，当比相切时大，则会在上方，即也满足题意
故的最小整数为
故答案为：2
【点睛】对于函数 ，，常用到以下两个结论：
（1） 恒成立，等价于；
（2） 恒成立，等价于；
（3）但有时候需要利用函数的图象来求，根据原不等式构造出两个函数，利用图象的关系求得
41．
【分析】由题意可得，对求导得出它的单调性即可求出在上的最小值，再对求导由基本不等式可求出在上的最大值，则，解不等式即可求出答案.
【详解】的定义域为，
则，
当时，∵，∴，
∴当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，因为
所以，∵，∴，
∴在上为增函数．∴，
依题意有，∴，∴，
故答案为：．
42．/
【分析】由已知得，令，利用导数可得，再根据等号成立的条件可得答案.
【详解】由已知得，
令，则，当时，，单调递增，
当时， ，单调递减，所以，
可得，所以，
即，
当且仅当即等号成立，
此时的值为.
故答案为：.
43．
【分析】由已知可得，分、、三种情况讨论，结合可得出的取值范围，综合即可得解.
【详解】，
当时，，可得；
当时，，可得，；
当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
则，.
故的最大值是.
故答案为：.
44．
【分析】转化题目所给恒成立的不等式，结合构造函数以及多次求导来求得的取值范围.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，
设，
所以在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增.
所以，所以单调递增，
所以 ，即，
构造函数，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减.
所以，
所以，所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行研究，在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数的关系，不能弄混淆.求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离参数法进行求解.
45．2
【分析】将函数变形为，设，
，画出函数图像，当时取最值，得到答案.
【详解】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.
根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2
答案为2
【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.
46．
【分析】将不等式转化为在上恒成立，设，通过讨论的符号，结合函数的单调性判断出的范围即可．
【详解】对于，整理得，
要使得在上恒成立，即.
令
①当同时恒成立时，
由，即恒成立，设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
可得，即；
由，即恒成立得．
；
②当，同时恒成立时，不存在；
③当时，为增函数，为减函数，
若它们有共同零点，则恒成立，
由，，联立方程组解得：．
当时，在上不恒成立，故舍去；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
47．1
【分析】将问题转化为，利用导数求的最小值即可.
【详解】当时，，即，
因为，所以只需，
令，，所以．
，
令，在上递增，
但无法求解，
故引入隐零点：，
根据零点存在性定理，，使得，
即．
当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
所以，故；
又在递增，，
所以，又，
所以整数的最大值是1．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
48．
【分析】由赋值法可得，，进而可判断函数的奇偶性，利用单调性将问题转化为，构造函数，求导得函数的单调性，即可可得最值，即可求解.
【详解】令，则，所以；
令，则，所以；
令，，则，所以，所以为偶函数.
因为在上单调递增，所以在上单调递减.
不等式化为，
因为，，所以，取对数得，即，
由题设条件可知，
设，则，
当时，，当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则，所以，
故实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性和单调性结合起来解决恒成立或者能成立问题时，将其转化为最值问题，利用导数求函数的单调区间，判断单调性，求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
49．
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【详解】因为存在，，使得成立，
所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，
所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，
∴，
∴只需，即，
令，则.
由可知，，
∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，
∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双变量问题，导数与函数的单调性和最值，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
50．
【分析】求出，求出的值，可得出在处的瞬时变化率；分、两种情况讨论，当时，直接验证；当时，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，综合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，求导可得，
则，即在处的瞬时变化率为.
当时，恒成立，当时，成立；
当时，即，
记，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数在区间上的最大值为，所以，解得.
故答案为：；.
51．
【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到，从而，，代入，得到的最大值.
【详解】， 定义域为，
则，
令，
则，在上单调递增，
且时，当时，
使得 即
当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由得①，
即，代入②得，，
整理得
，
∴，
∴，
，
故的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
52．或
【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案.
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故．综上可知：或．
故答案为：或
【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号.
53． 1
【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.
【详解】当时，，令，则，
令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，
的图像如下所示：
由于，而点是直线与轴的交点，因为 ，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.
故答案为：1，.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
54．
【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性及极值，结合题意求得满足条件的a的范围.
【详解】由，可得，
设，则.
令 ，
则，所以在上单调递增.
由于，，所以，，
所以在单调递减：在单调递增.
要使不等式的解集中恰有两个整数，
即的解集中恰有两个整数，
必须解集中的两个整数为2和3.
所以，，，，
解得.
【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题．
55．
【分析】不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案.
【详解】不等式对恒成立，
等价于，即，
所以,
设，其中，
则，令得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又，，
所以存在使得，
所以若，则或，即或，
，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
56．②③④
【分析】对于①，借助中间值，计算即可判断；对于②，构造函数，由零点存在性定理判段即可；对于③，构造函数，，根据函数单调性判断即可；对于④，分段讨论当，，当，，再将函数，两边同时取对数化简可得，提公因式构造不等式判断可得，根据绝对值的意义判断即可.
【详解】因为，所以，，
因为，，
所以，故①错误；
若，则，即，
，即，
令，因为，
所以存在，使得，即，
所以存在，使得，故②正确，
因为，
因为在上单调递减，所以也单调递减，
所以，
，
因为在上单调递增，所以也单调递增，
所以，
即，即对于任意的，都有，故③正确；
由②可知，存在，使得，
结合③可知当，，，即，
可知当，，，即，
因为，，得，
即，
当，有，
因为，所以，所以，
所以，即，
当，有，
因为，所以，所以，
即，所以对于任意的，都有，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：解决本题②，在于构造函数，利用零点存在性定理判段；本题③，关键在于构造函数，，根据复合函数单调性判断；本题④，关键在于根据②的结论分段讨论，将函数两边同时取对数可得，结合③计算有关结论，提公因式构造不等式得，然后判断即可.
57．
【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出，构造函数，可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数，将问题转化为函数在上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解.
58． 1
【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而求出，令，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数草图，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；
【详解】解：，则，则，解得，
此时，，当时，当时，
所以在上的单调递增，在上单调递减，则在处取极大值，符合题意；
令，则
构造函数，则．
因为，所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，又，
易知的图象如图所示：
不妨令，
令
∵
∴在上单调递增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上单调递减，∴
故答案为：1；
59．
【分析】将不等式等价转化，构造函数，并探讨其性质，再利用导数分类讨论的值域即可求解作答.
【详解】，
令，则，，设，则，
当时,，且等号不同时成立，则恒成立，
当时，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，因此存在，使得，
当时，，当时,，
所以函数在上单调递减，在,上单调递增,
又，作出函数的图像如下：
函数定义域为，求导得，
①当时，，函数的单调递减区间为，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上的值域包含，
当时，的取值集合为，而取值集合为，
因此函数在上无最小值，从而函数的值域为R，即，，不合题意，
②当时，由得，由得，函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，的取值集合为，
而取值集合为，因此函数在上的值域包含，
此时函数的值域为，即，
当时，即当时，恒成立，符合题意，
当时，即当时，，结合图象可知，，不合题意，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.
60．
【分析】方法一：先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围；
方法二：先得到在R上单调递增，进而得到，变形后得到在上恒成立，分和两种情况，结合函数单调性得到答案.
【详解】方法一：设，则定义域为R，
且，故为偶函数，
所以为偶函数，
定义域为R，
且
故为奇函数，
且在上单调递增，
故在R上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，
因为为偶函数，所以有在上恒成立，
满足4成功函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，
故满足，故满足在上为4成功函数，
若时，画出的图象如下：
则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在，使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是.
方法二：定义域为R，
且
故为奇函数，
由于在上单调递增，
故在R上单调递增，
由题意得，即，
故，即在上恒成立，
当时，，
由于，故，
当时，恒成立，
当时，，故，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.
61．
【分析】根据导数的几何意义可求出；将此公切线恒在函数的图象上方，转化为恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】由得，
设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
由于该切线过点，所以，
设该切线与曲线切于，因为，所以，所以该切线的斜率为，
所以切线方程为，将代入得，得，
所以，所以，所以，所以.
由以上可知该公切线方程为，即，
若此公切线恒在函数的图象上方，
则，即恒成立，
令，则，
令，得，得，
令，得，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为时，，所以当时，取得最小值.
所以.
【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键.
62．
【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.
【详解】的导数为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
令，，
又对任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
时，，当且仅当时取得最小值2，
，，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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