高中数学压轴题小题专项训练专题8函数新定义问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题8函数新定义问题含解析答案，共63页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
2．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①；②；
③；④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
3．已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①函数可能是奇函数；
②函数可能是周期函数；
③存在，使得；
④对任意，都有.
A．①③④B．②③④C．②④D．②③
4．高斯是德国著名数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数，则下列4个命题中，真命题的个数为（ ）．
①函数是周期函数 ②函数的值域是
③函数的图象关于对称 ④方程只有一个实数根
A．1B．2C．3D．4
5．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且p，q为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最大值为
B．若，则
C．存在大于1的实数，使方程有实数根
D．，
6．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A．B．C．D．
7．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（ ）
A．B．C．D．
8．在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意．关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
9．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有( )
A．3对B．5对C．7对D．14对
10．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时， .若数列 ，则下列结论:①的函数图像关于直线对称；②；③；④ ；⑤.其中正确的是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
11．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
13．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为（ ）
A．B．C．D．
15．雅各布·伯努利（Jakb Bernulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数的定义域为R，为奇函数，且当时，，则以下结论：
①的图象关于点对称；
②当时，；
③有4个零点；
④若曲线上不同两点的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，则曲线过点的切线为的自公切线.
其中正确的为（ ）
A．②③B．①②C．①③④D．①②④
17．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
18．已知点在函数的图像上，若过点A的切线与函数的图像有n个公共点（含切点），称a是的“n关键点”．研究归纳得到了下面的命题：
①全体“1关键点”构成的集合是．
②集合中的元素都是2关键点．
③若是“关键点”，则也是“关键点”
④若，则一定是“关键点”．（其中表示不超过x的最大整数）
其中，真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论：
①在区间上优于；
②当时，在区间上优于．
那么（ ）
A．①、②均正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①、②均错误
二、多选题
20．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
21．欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A．的定义域为，其值域也是
B．在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在，使得方程有无数解
D．，当且仅当n是素数时等号成立
22．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
23．对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．对D．对中至少有两个元素
24．函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数
B．图像上两点与的横坐标分别为1，2，则“曲率”
C．图像上任意两点之间的“曲率”
D．设是曲线上不同两点，且，若 恒成立，则实数的取值范围是
25．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数在上满足阶李普希兹条件.
B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为2.
C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解.
D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，使得.
26．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ）
A．存在旋转函数
B．旋转函数一定是旋转函数
C．若为旋转函数，则
D．若为旋转函数，则
27．已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（ ）
A．若满足性质，且，则
B．若，则不满足性质
C．若满足性质，则
D．若满足性质，且时，，则当时，
28．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A．
B．的图象关于轴对称
C．的图象关于轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上
29．当我们将导数的概念及定义推广至方程时，有时会无法解出.为此，数学家提出了一种新的方法，使得对于任意方程，都能够对其中一个变量求导.例如，对于方程，对求导：将视作的函数，两边同时对求导，得：，即.从而解得下列说法正确的是（ ）
A．对于方程
B．对于方程
C．对于方程
D．对于方程
30．记，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，且恒成立，则
D．若，则
31．形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值
D．是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值
32．已知函数（）有两个不同的零点，，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围为
B．a的取值范围为
C．
D．若，则a的取值范围为
三、填空题
33．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数，与函数，为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的命题的序号是 ．
①(表示不超过x的最大整数，例如）
②
③
④
34．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数（），（），且与具有关系，则m的取值范围为 ．
35．水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上.

（1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为 ；
（2）在内，A位于的“大距点”的次数最多有 次
36．若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ．
①；
②；
③；
④，是正整数．
37．若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 .
38．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
39．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为 ；以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于 ．
40．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 层住宅.
（参考公式及数据：，，，）
41．1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
42．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 .
43．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为 ；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为 .
44．给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 .
45．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.给出下列四个结论：
①函数是偶函数，且最小值为2；
②函数是奇函数，且在上单调递增；
③函数在上单调递增，且值域为；
④若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，则.
其中所有正确结论的序号是 .
46．设函数的定义域为，且满足如下性质：（i）若将的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于轴对称，（ii）若将图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中所有正确结论的序号是 .
47．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为 ；正弦曲线曲率K的平方的最大值为 ．

48．记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则 ．
49．随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是 .
50．若曲线上的点P与曲线上的点Q关于坐标原点对称，则称P，Q是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是 .
51．已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为 ；当时，满足条件的所有值的和 .
t
0
5
10
c
参考答案：
1．A
【分析】根据给定信息，利用函数的相关概念逐项判断即得.
【详解】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角股运算均无法得到1，记，得无最大值，B正确；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
对任意正整数，每次除以2，最后得到1的次数为，因此，
由，知是假命题，D正确.
故选：A
2．C
【分析】根据“倍值区间”的定义，分别对四个函数研究，从而可确定存在“倍值区间”的函数.
【详解】对于①，假设函数存在“倍值区间”，
因为函数为单调递增函数，
所以，所以，解得，
所以存在“倍值区间”;
对于②，假设函数存在“倍值区间”，因为为递增函数，
所以，所以，
构造函数，则，
所以由得，单调递增;
由得，单调递减，
所以在时取得最小值，最小值为，
所以恒成立，所以无解，
故不存在“倍值区间”;
对于③，假设函数存在“倍值区间”，因为，
所以.
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
假设，
则函数在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以函数存在“倍值区间”.
对于④，.不妨设，
则函数在定义域内为单调增函数，
若存在“倍值区间”，则，必有，
必有，是方程的两个根，
必有，是方程的两个根，
由于，，则，
则存在两个不等正根，根据指数函数的性质知一定有解，故存在“倍值区间”;
综上所述：函数中存在“倍值区间”的有:①③④.
故选：C.
3．B
【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解.
【详解】解：对①：若为奇函数，则.令，由（2）知，
而与（1）矛盾，所以①错误.
对②：若为周期函数，则(其中为非零常数)，
当（比如）值域时，令，
则（1）成立；（2）也成立，故②正确.
对③：由②可知，存在，使为任意非零常数，所以可使，故③正确.
对④：令，则由（1）知，从而，所以，
所以④正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.
4．B
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；
所以函数的值域是，故选项②正确；
由，
所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；
对于方程，
当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项④正确.
故选：B.
5．C
【分析】根据题意得到，或或时上的无理数，由的值域为，可判定A正确；若，设，，得到；若有一个为0，得到，可判定B正确；由，且的最大值为，可判定C错误；由，设，得到，可判定D正确.
【详解】设，（，且为互质的正整数），
或或时上的无理数，
对于A中，由题意，的值域为，其中p是大于等于2的正整数，
所以A正确；
对于B中，①若，设，（互质，互质），，则；
②若有一个为0，则，所以B正确；
对于C中：若为大于1的正数，则，而的最大值为，
所以该方程不可能有实根，所以C错误；
对于D中：和内的无理数，则，，，若为内的有理数，设（为正整数，为最简真分数），
则，所以D正确.
故选：C.
6．A
【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝csx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
7．D
【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.
【详解】因为，所以，，
所以，，
所以.
故选：D.
8．C
【分析】令，可得，则可化简，根据奇偶性定义可判断②，又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值可判断①，求导分析单调性可判断③．
【详解】在（3）中，令，可得，则，
易知函数是非奇非偶函数，故②错；
又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值，故①错；
又，由可得函数单调递增区间为，故③对．
故选：C.
9．C
【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，
即函数与的图象的交点个数，
作出函数与的图象，如图所示:

可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.
故选:C．
10．D
【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且 是既约的真分数，则，并且 是互质的 ， ，
也是真分数，若 不是既约分数，则 与 必定存在公约数 ，
不妨假设 ，则有 ，即 存在大于1的公约数，与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，
故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ， ，但当 时 ，故③错误；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即 当 时 ，
， ，
当 时， ， ， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故选：D.
11．C
【分析】因为拋物线与直线只有一个交点得， 可化为，求出，因为点在第一象限、，可得，，利用抛物线的性质可得答案.
【详解】因为拋物线与直线只有一个交点，
所以只有一个解，消去得，
所以，，因为，所以，
可化为，即，
所以，，因为点在第一象限，所以，，
因为，所以，可得，
所以，
因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查点的坐标，解得本题的关键点是明确题意，理解定义，求出相应的点的坐标.，转化为二次函数的性质求解.
12．D
【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.
【详解】,故①正确；
由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；
, ,，故③错误，故B错误；
对于，显然不是方程的解，可化为，
考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.
故选：D
【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.
13．D
【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.
【详解】函数在上单调递增，，则，即，
由，得，即，
又函数在上单调递增，因此，于是函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，因此或，
解，当时，，，此时不等式组无解，
当时，，，不等式组的解为，
当时，，，则有，解得，即，
因此不等式组的解为，
解，由，得，则，不等式组无解，
所以“立冬函数”的x的取值范围是.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.
14．C
【分析】根据题意知建立方程组分别求出，，从而可求解.
【详解】由题意得：当时，，
当时，，
当时，，
由得，
由得，
由得，所以，
由得，解得，
所以当时，，
故C正确.
故选：C.
15．B
【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解.
【详解】，，
令，两函数图象如图所示，
因为均单调递增，且，
结合图象可知当时，，即，
故，故；
如图，单位圆A中，于，设，，
则的长度，，，
则由图易得，，即，
所以，故；
综上，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：
（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；
（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度.
16．D
【分析】根据奇函数的性质判断①，根据对称性求解函数解析式判断②，利用导数判断单调性，再结合零点存在性定理及对称性确定零点个数判断③，根据导数的几何意义及自公切线的定义判断④.
【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，①正确；
令，则，，
又，
所以当时，；②正确；
当时，，令得，令得，
则在上单调递减，在上单调递增，
且，，，故在上有2个零点，
又的图象关于点对称，根据对称性可知在上有2个零点，且，
所以有5个零点，③错误；
当时，设切点为，
则曲线在点A处的切线方程为，
将及点（1，0）代入整理得，所以当时，切点为，，
又曲线关于对称，所以当时，切点为，
当时，，，
所以，故切线斜率相等，
所以曲线过点的切线为的自公切线，④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的零点个数：先分析给定区间的单调性，然后结合零点的存在性定理说明零点存在情况，注意有时需要对定义域进行分类.
17．C
【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证.
【详解】当时，
，此时，
，此时，
，此时，
故存在，使为常数列；①正确；
设，则有个零点，
则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点，
因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点，
同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点，
故，所以是公差为的等差数列，故②正确.
故选：C.
18．D
【分析】求得全体“1关键点”构成的集合判断①；验证法判断②；利用正弦曲线的性质判断③；利用导数和正弦曲线的性质判断④.
【详解】① “1关键点”指的是过点的切线与函数的图像有
1个公共点（含切点），则称a是“1关键点”.因此点A是函数
与x轴的交点，因此全体“1关键点”构成的集合是.判断正确；
②作出过点的切线，
则该切线与有2个公共点（含切点），
因此2是的2关键点“2关键点”.
由正弦函数的周期为，对称轴为，则集合中的
元素都是2关键点．判断正确；
③若是“关键点”，由为奇函数可得，也是“关键点”，
又的最小正周期为，且每个周期内都有两条对称轴，
则也是“关键点”.判断正确；
④当，
若，则，符合要求，
过点的切线与函数的图像有
1个公共点（含切点），则0是“1关键点”.
此时，判断正确；
若，则为第一或第三象限角，
位于的图像的递增区间，且，

由，可得，则处切线斜率为，
又，则,
则切线斜率与过与原点两点的斜率相等，则该切线过原点，
则该切线与的公共点的个数为，
（其中表示不超过x的最大整数）.
同理可得时，判断正确.
故 一定是“关键点”．（其中表示不超过x的最大整数）.
故选：D
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与函数，解析几何相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)考查数形结合思想的应用．
19．B
【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解.
【详解】①：当时，；当时，，
所以函数图象都经过点，
则直线的方程为，即，
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可知，，
即存在使得在区间上恒成立，
所以在区间上优于，故①正确；
②：当时，
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可得，，即，
所以直线的方程为，即.
设曲线在处且平行于直线的切线为，
由，，得，解得，
则切点，
所以，即，
由，
所以此时切线位于直线的下方，则当时存在实数使得.
所以当时，在区间上不一定优于，故②错误；
故选：B
【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题.
20．AC
【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可.
【详解】由于，
对于选项A，设任意，则，；
设任意，则，；
总之，对于任意实数，恒成立，A正确；
对于选项B，的值域为，，B错误；
对于选项C，当，则，；
当，则，；C正确；
对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，解题的关键是将文化情景转化为数学模型即可，属于中档题.
21．ACD
【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项.
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为，其值域也是，所以A正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如，所以B错误;
对于C，由于的值域为，所以不存在，使方程有无数解,故C正确;
对于D，因为的素因数都是大于1，，所以，当且仅当时素数时等号成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
22．BCD
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，故B正确；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，故D正确.
故选：BCD.
23．AC
【分析】对于A：根据定义，直接求出，即可判断；
对于B：根据定义，直接求出的值域为，即可判断；
对于C：求出，即可判断；
对于D：求出k=10时，的值域为，即可否定结论.
【详解】对于A：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正确.
对于B：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
规定．记，，
所以，令，，则，
因为
，
所以
所以的值域为.故B错误.
对于C：因为，所以，所以对.故C正确；
对于D：
由C的推导可知：.
因为，，
所以，令，，则，
因为
，
所以

，
，
即k=10时，的值域为.故D错误.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
24．AC
【分析】结合一次函数的性质，可判定A正确；求得的坐标，得到的值，可判断B错误；求得，运用不等式的性质，得到，可判定C正确；求得，运用新定义求得，结合恒成立，求得的范围，可判定D错误
【详解】若函数时，可得，此时曲率为，是常数，故A是正确的；
当时，，函数的导数为，
可得，
所以，所以B是错误的；
因为，可得，所以，
则，
所以，
所以C正确；
由函数，可得，
又由为曲线上的两点，且，
因为，，
可得，
又因为恒成立，可得，
由于，可得，所以D是错误的.
故选：AC．
25．ABC
【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项，再利用反证法判断C选项，通过分类讨论可判断D选项.
【详解】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；
B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项正确；
C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；
D选项：不妨设，当时，，当时，，故对，，不存在使，D选项错误；
故选：ABC.
26．ACD
【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.
【详解】对A，如满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；
对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.
又，故，即恒成立.
即图象在上方，故，即.
当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.
故选：ACD
27．ACD
【分析】利用定义直接计算可判定A，利用诱导公式可判定B，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定C，利用定义递推函数关系可判定D.
【详解】对于A，若满足性质，且，则恒成立，
所以，故A正确；
对于B，若，显然，
即，此时满足性质，故B错误；
对于C，若满足性质，
即，
易知，所以，故C正确；
对于D，若满足性质，且时，，
由题意
，
则当时，，则，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题首先审清题意，然后根据定义结合三角函数、指数函数的性质以及函数的递推关系计算即可.
28．BCD
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.
【详解】对于A，当，时，，，，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
若是无理数，则是无理数，所以，；
若是有理数，则是有理数，所以，；
所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，B正确；
对于C，由B可知，，所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，C正确；
对于D，设， ，，
则，所以是等边三角形，
又因为，，，所以的顶点均在的图象上，D正确.
故选：BCD
29．BCD
【分析】根据新定义导数运算、复合函数求导的知识求得正确答案.
【详解】A选项，由，
得，A选项错误.
B选项，由，
得，B选项正确.
C选项，由，得，
所以，


，所以C选项正确.
D选项，由得，
所以，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】新定义题型的问题求解过程可以参考如下几个步骤：1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名册和符号；2.对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，寻求相近知识点；3.对新定义中提取的知识进行转换，将新问题转换为“旧问题”来进行求解.
30．ABD
【分析】对于A，由的导数一直是它本身即可判断；对于B，由诱导公式以及三角函数的导数公式即可判断；对于C，通过归纳即可判断；对于D，由C选项结论即可判断.
【详解】由题知，则当时，，A正确；
由，，
，，所以，B正确；
，则，
若，则恒成立，，C错误；
，由C知，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于递推类函数定义，可以用归纳的方法结合求导公式去验证即可顺利得解.
31．ABD
【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.
【详解】因为是双曲线，由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交，
故渐近线为和，故A正确；
因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为，
由二倍角公式可得，
整理得，解得或（舍去），
故，
另一条直线的斜率为，故B正确；
设，所以，
故，故C错误；
因为，
设，则处切线的斜率，
所以切线方程为，
令，可得，即，则；
令，可得，即，则；
故面积为（定值），故D正确．
故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
（1）已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程．
（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程．
32．BD
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求a的取值范围，由此判断A，B，结合零点存在性定理判断C，D.
【详解】函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾，
当时，由可得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
因为函数有两个不同的零点，可得
所以，所以，
所以，B对，
不妨设，
因为，，所以，，
当时，，则，
当时，则
所以，当时，，
此时，，C错，
因为，
若则，，，
所以，，，
所以，
所以，
若，则，，，且
所以，，
所以，
所以，
又，所以，所以，故满足条件的不存在，
所以a的取值范围为，D对，
故选：BD.
【点睛】函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式.
33．①④
【分析】由题得能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调，再判断函数的单调性即得解.
【详解】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调；
对于①，，定义域为，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故①可以构造“同值函数”；
对于②，，为定义在[－1，＋∞）上的增函数，故②不可以构造“同值函数”；
对于③，，为定义在（0，＋∞）上的减函数，故③不可以构造“同值函数”；
对于④，，所以，
所以函数不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故④可以构造“同值函数”．
故答案为：①④
34．
【分析】先根据题意求出函数的值域为，由题意得到的值域，再将函数进行换元，，由对称轴进行分类讨论，得到的值域，从而得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得对任意的，存在，使得，
又，故的值域，
因为，，
令，则，
设，
①若对称轴，即时，，
则，解得，与求交集，结果为；
②若，即时，，
则，解得，与取交集，结果为，
③若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
④若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为．
综上，或．
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念．
35． 6
【分析】根据题意可得，，可得，结合倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题，结合图象分析求解.
【详解】（1）当时，经过时间，，，
当A位于的“大距点”时，与小圆相切，
此时为直角三角形，所以，
因为，所以，
因为A是第一次位于的“大距点”，可知，则，
所以，，
即A的坐标为；
（2）经过时间，，，
对于任意，当A位于的“大距点”时，
A，两点坐标满足，即，
当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题.
若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，
共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点.
又当时，
如图所示，与有6个交点，故A最多有6次位于的“大距点”.
故答案为：；6.

【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个．
36．①③
【分析】利用欧拉函数定义求解判断；
【详解】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
∴，故①正确；
∵当时，，故②不正确；
∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
，，，，，，，，，，，，共有个，
∴，故③正确；
∵当时，，故④不正确．
故答案为：①③
37．
【分析】由题意，建立方程，利用分类讨论思想，结合一元二次方程有解问题，可得答案.
【详解】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”，
即在上有解，则有，
即有解，
当时，，满足题意；
当时，对于任意的实数，，
变形可得，解可得：，
由，故.
故答案为：.
38．①②
【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.
【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），
设导数在取最大值，结合的图象可知，
且当时，为增函数，在上为减函数，
对于①，任意，取，则有，故①成立.
对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，
此时平移后的直线与图象相切，且，取，
故，故②正确.
对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，
交的图象于，由函数的图象特征可得，
取，则，故③不成立.
对于④，取（为①中最大值点），
则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，
否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.
39．
【分析】由曲线C的方程可得，该曲线关于轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C的最短距离即可得其内切圆半径；当，时，曲线可为函数的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.
【详解】设点在曲线上，
则、、亦在曲线上，
故曲线关于轴、轴、原点对称，
故只需研究第一象限内部分，
当，时，由曲线上，
故有，即有，
则可设，，，
即，，
则
，
由，则，则，
即曲线C的内切圆半径为；
当，时，可化为，
，
则曲线上的点的切线方程为：，
令，则有
，
令，则有，
则.
即曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点曲线上，可设，，，从而计算出点到曲线的最短距离即可得曲线C的内切圆半径，当，时，曲线可为函数的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.
40．10
【分析】由题意可得，且，；，，从而可求出和，则，方法一：作商比较的大小可得结论，方法二：构造函数，利用导数求其最大值即可》
【详解】依题意，，且，，
所以
，
由题意得，，
所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以.
故小王对第k层住宅的购买满意度.
方法一：
由.即解得，
所以，
同理有，小王最想购买第10层住宅.
方法二：
设，，则，
故时，故在上为增函数，
时，故在上为减函数.
由于，，
故最大，小王最想购买第10层住宅.
故答案为：10
【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查累加法求数列的通项公式，考查导数应用，解题的关键是根据题意得，，由此可求出和，从而可求出，考查计算能力，属于难题.
41．
【分析】分离参数得，设，利用导数求最值.
【详解】由题意，知，即．
因为，所以在上有解，只需．
设，对函数求导，
得，
所以函数在上单调递增，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
42．
【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解.
【详解】，
由越来越大时，会无限趋近于，
故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近，
又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于，
故会无限趋近于.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将转化为，通过越来越大，会无限趋近于，可得越来越大，亦会无限趋近于.
43． 1
【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；
（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.
【详解】（1）由题意得，，则，，
则.
（2）由题意得，，，∴，
令，则，令，则，
显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.
故答案为：，1.
44．3
【分析】首先设点，再根据题意可得点，再根据题意可知，点在安全活动区域，以及点也在函数的图象上，且，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意设，则一次操作后该机器人落点为，
即在安全区域内，所以且.
由，可知，
所以，即能成立.
又因为，且等号当且仅当，即时成立，
综上，.
故答案为：3
45．②③④
【分析】利用奇偶函数定义，指数的运算及基本不等式可对①、②判断；由，可求其值域，即可对③判断；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来对④判断.
【详解】对①：，定义域为，，所以为偶函数，
因为，，所以，当且仅当，即时取等号，故①错误；
对②：，定义域为，，所以为奇函数，
因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，故②正确；
对③：由，又因为，所以，所以，
所以的值域为，故③正确；
对④：由①，②知是偶函数且最小值为，是奇函数且在上单调递增，
所以函数与和的图象共有三个交点，则得，
由双曲余弦函数为偶函数，得，则得，所以，
即，得，则，所以，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：根据函数的奇偶性的定义可求得双曲余弦函数为偶函数，双曲正弦函数为奇函数，再根据指数函数的单调性从而求得双曲正弦函数为增函数，结合两者的奇偶性，单调性即可对④求解.
46．①③④
【分析】利用函数的对称性、奇偶性与周期性即可判断各结论是否正确.
【详解】由（i）可得，即有关于对称；
由（ii）可得，即，
用代替，有，即关于对称；
由关于对称，故，即①正确；
由关于对称的直线为，
故关于对称，则不一定等于，故②不正确；
对，令，则有，
对，令，则有，
故，故③正确；
对，即有，
对，即有，
即，即，
则，即有，
故周期为，则，
对，令，则，
即，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由题意去得到函数的对称性，并根据对称性去推导函数的奇偶性与周期性，遇到此类问题一般采用赋值法对等式左右进行变形，从而得到函数的其它性质.
47．
【分析】先对求导，根据曲率定义求处曲率；对求导，结合曲率定义可得，结合三角函数性质、换元法，并应用导数求其最大值.
【详解】由，，则，
所以在处的曲率为，
由，，则
所以，令，则，
令，则，即递增，
所以，即的最大值为1.
故答案为：1；1
48．2
【分析】根据题意，由，设为变量，可通过分类讨论求出，再求出当时的最小值；或由在时的最大值只可能在或或处取得，结合图象可得原式的最小值．
【详解】由，设为变量，
，
令，当时，，当时，，当时，，
最大值只可能在或或处取得，
所以的最大值为，
所以，
当时，原式的最小值为2．
或者由在时的最大值只可能在或
或处取得，令，当时，，当时，，
当时，，结合图象可得原式的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：读懂题意，分析，最大值只可能在或或处取得，所以的最大值为.
49．①③④
【分析】对于①：根据单调性的性质分析判断；对于②：根据题意结合指数运算以及指数函数单调性分析判断；对于③④：整理可得，构建，利用导数求的单调性和值域，进而逐项分析判断.
【详解】对于①：因为的定义域为，
且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确；
对于②：因为对任意恒成立，
则，
令，整理得，
且是上的增函数，则，即无解，
所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；
对于③④：因为是上的增函数，则，即，
则，
令，
则，
令，则在上单调递增，且，
当时，，即，可知在上单调递减；
当时，，即，可知在上单调递增；
则，
且当x趋近于或时，趋近于0，
所以的值域为，
所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；
因为在上单调递减，则，
且，即对任意恒成立，
所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确；
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：1.充分理解新定义的含义，根据定义分析判断；
2.再处理问题③④时，可以通过构建函数求单调性和值域，进而分析判断.
50．
【分析】由已知“奇点”的定义，可得方程只有一个实数根，函数与图象只有一个公共点，结合函数的图象性质，利用导数求解即可.
【详解】令，，
由题知有且仅有一个使得，
即方程有且仅有一个实数根，
即曲线与仅有一个公共点，
当，即时，由指数函数的图象性质可知，
曲线与直线只有一个交点，符合题意，
当，即时，显然符合题意，
当且，即且时，显然时无公共点，
当时，令，得，令，
则，当时，，
所以在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以，
又当，时，，
当时，，且时，，
所以由题知，即，所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合应用，根据新定义得到方程，将方程的根转化为两函数图象有交点求解范围.
51．
【分析】由的最小公倍数为，得只需在这个范围内讨论即可，再结合等差数列得前项和公式即可得解.
【详解】由题意，当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
所以的最小值为，
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
当时，，
则，解得，
当时，，故舍去，
因为的最小公倍数为，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
所以数列和是满足条件的所有值，
令，解得，
令，解得，
则当时，满足条件的所有值的和
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：由的最小公倍数为，可得只需在这个范围内讨论，求出这个范围内的的值，是解决本题的关键.