新高中数学压轴题二轮专题专题4导数中的隐零点问题试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题4导数中的隐零点问题试题含解析答案，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。


一、解答题
1．已知，a为函数的极值点，直线l过点，
(1)求的解析式及单调区间：
(2)证明：直线l与曲线交于另一点C：
(3)若，求n.（参考数据：，）
2．设函数，．
(1)若是的极值点，求a的值，并讨论的单调性．
(2)已知函数，若在区间内有零点，求a的取值范围．
(3)设有两个极值点，，试讨论过两点，的直线能否过点，若能，求a的值；若不能，说明理由．
3．已知函数．
(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；
(2)若函数的最小值为，求的值．
4．已知函数有两个零点.求a的取值范围；
5．已知有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
6．已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．
7．设，若曲线上存在点使得，求a的取值范围.
8．已知函数，，若，求的取值范围.
9．设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
10．设函数，是正整数.当时，恒成立.求的最大值.
11．已知函数，，为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数的极小值大于零，求实数的取值范围．
12．已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
13．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
14．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
15．已知函数．
(1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，若，求的最小值．
16．设
(1)若，讨论的单调性;
(2)若，求的最大值(用表示);
(3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围.
参考答案：
1．(1)，在，单调递增，在单调递减
(2)证明见解析
(3)4
【分析】（1）根据极值点是导数对应方程的根列式求出，判断导数正负求出单调区间；
（2）求出直线的方程，与联立，可得关于的方程，解方程即可得证；
（3）由（2）得，即，由，可得，代入可得.设，利用导数可得的取值范围，进而求得的值.
【详解】（1）因为，
依题意有是方程的两根，
则，
解得，所以.
当与时，；当时，；
所以在，单调递增，在单调递减.
（2）直线的方程为，即.
由，得，①，显然和为方程的①解.
设，则，令得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
因为，，,
所以有且仅有2个零点，其中，
即直线AB与曲线交于另一点C，且C的横坐标为.
（3）由（2）得，即，
设，则，所以，代入可得.
设，则，令得.
当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
因为，，，
所以存在唯一的，使得.
所以，此时
.
因此，，所以.
【点睛】思路点睛：第三问，根据（2）可得，即，设，根据在直线上，横坐标分别为，可得，解得，代入可得.令，求导判断单调性，求出的范围，即，求得.
2．(1)，单调性见解析
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）借助导数与极值点定义计算即可得a的值，即可得其单调性；
（2）借助导数对分类讨论研究其单调性后，结合零点的存在性定理即可得；
（3）借助导数与极值点定义可求出存在两个极值点时的a的范围，再求出过点、、的直线，即可得解.
【详解】（1）由，求导得．
由，得．∴．
令，得，．
∴当时，，）单调递增；
当时，，单调递减；
（2）由，
求得，
①当，时，恒成立，单调递增，
又，∴在区间内没有零点，
②当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，此时若在区间内有零点，则必有，
由，得，得，无解，
③当时，当时，恒成立，单调递减，
此时欲使在区间内有零点，必有，得，
综上，a的取值范围为；
（3）不能．原因如下：
设有两个极值点，，则导函数有两个不同的零点，
∴，即，解得，且，为方程的两根，
由，得，
∴
，
同理，
由此可知过两点，的直线方程为，
若直线过点，则，解得，
若有两个极值点，则，显然不合题意．
综上，过两点，的直线不能过点．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先求出存在两个极值点时的a的范围，再计算存在满足过两点，且过的点的直线时的a的值，从而验证是否满足题意.
3．(1)或；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线方程，再根据三角形面积，即可求得结果；
（2）通过二次求导，求得的最小值，结合的隐零点，即可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
则，又，
所以函数在处的切线方程为．
由题意，显然，令得，令得，
所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，
所以，解得或．
（2）由（1）知，令，
所以，当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
因为，所以当时，，
又
所以在上必存在唯一零点，使得．
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增．
所以在处取得最小值，
即，且，即，
所以．
设，所以，
当时，单调递增，，
当时，，单调递减，，
又，所以函数在上存在唯一的，使得成立，
所以，所以，即．
【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是能够通过二次求导，求得的隐零点，从而判断的单调性，进而求得最小值.
4．
【详解】．
（i）设,则,只有一个零点．
（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点．
（iii）设,由得或．
若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
综上,的取值范围为．
5．
【分析】由题意可知，，要使有两个零点，则必有，即．再对和两种情况进行分类讨论．
【详解】因为，的定义域是，，令，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故．
要使有两个零点，则必有，即．
因此，对和两种情况进行分类讨论：
①当，时，，故在区间内无零点，而在区间内至多有一个零点．
②当时，．
因为，∴，即．
故（实质可视为一次函数）．
所以，（当均符合）．
由函数的图象在区间上连续及，，可知函数在区间上有且仅有两个零点．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：将缩小，由于，表示某个符合需要的函数，以代替x从而变为，再代入进行放缩．由此可见，对于这些不等式只要掌握好前面提到的4个注意点以及一些基本的放缩形式（如，，a通常取1，2，等值）即可．
6．（I）见解析；（II）或或
【详解】（I），
当时，，当且仅当时，，
所以是上增函数；
当时，的两个根为，
，，
，
综上所述，当时，单调递增区间是；
当时，单调递增区间是，
单调递减区间是；
（II）由题设知，是方程的两个根，
故有，，
因此
，
同理，
因此直线的方程为，
设直线与轴的交点为，得，
，
由题设知，点在曲线上，故，
解得或或
所以的值为.
【点睛】本试题考查了导数在研究函数中的运用．第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间．另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用．
7．
【分析】先根据三角函数的值域得，再由的单调性判定，转化为方程有解的问题，参变分离求解即可.
【详解】由已知易得，且单调递增，
∵，，
∴，
若，则与矛盾，
同理也不成立，所以，即在上有解，
即，
令，
设，
令，令，
即在上单调递减，在上单调递增，
故
所以在上单调递增，故，即．
【点睛】本题关键在于利用函数的单调性判定转化为方程在定区间有解的问题，参变分离结合导数计算即可.
8．
【分析】构造函数，则，转化为，进而利用导数可得，，再证，进而可得的取值范围.
【详解】记，
由题意可知，，求导得，，
令，则
则在上单调递增，又，，
则，使得，即成立，
则当，，单调递减；当 ，，单调递增，
，
由，，
于是得，
当时，，
因为，所以在上单调递减，
因为在上单调递减，
于是得函数在上单调递减，
则当时，，不合题意；
当且时，设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
故，，
从而
，
由得，因此满足，
又，在上单调递增，
则有，，
所以实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探索求函数单调性、最值是解决问题的关键.
9．（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
10．3
【详解】因为，所以，恒成立.
令.
则.
再令.
显然，.
若，则，且. ①
又（因），则在单调递增.
当时，，即，则在区间递减；
当时，，即，则在区间递增.
于是，当时， .
由式①及上式得.
由题设知，即.
而，是正整数，故的最大值为3.
11．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，对其中及其分类讨论，即可得出的单调性；
（2）根据函数的极小值大于零知和，通过构造函数得，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1），，
①当时，，在递增；
②当时，令，即且．
令两根，
则上，上，
所以在递减，在递增．
综上：当时，函数在递增，
当时，函数在递减，在递增；
（2），由（1）知，为的极小值点，
则，即，解得，
令且，则恒成立，单调递增，
又，结合，即，故，
所以，即.
12．(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析
【详解】(1)．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．
所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．
当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．
当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
13．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
14．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；
(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1），
令则.
当时，，∴函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
即的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
，易知单调递增，
又，，
∴在上存在一个，
使得：，即：，且，
当，有单调递减；
当，有单调递增.
∴，
∴，
∴函数的图象在x轴上方.
【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）已知当时，不满足；进而讨论当 时，存在唯一零点，当 时，单调递增，当 时， 单调递减，故，解得 ，最后利用求解；
（2）由题知，再令 得，故研究函数 性质得 在上有唯一的零点 ，且满足，进而得答案.
【详解】（1）解：当时，，不满足对任意实数，都有恒成立；
当时，，
令，则
所以函数单调递减，
由于，，
所以存在唯一零点，使得 ，
所以当时，单调递增，当 时，单调递减，
所以
令， ，
故在定义域内是的单调函数，
由于，
所以的解集为 ，
所以，即实数a的取值范围是
（2）解：当时，，
由，
所以，
所以，
令，则，即 ，
令
令
所以时，， 单调递减，时， ， 单调递增，
由于，
所以在上有唯一的零点 ，且满足 ，
所以，
所以，当且仅当 时等号成立.
【点睛】“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）
16．(1)在单调递增，在单调递减；
(2)
(3)
【分析】（1）求出的导数，讨论其符号可得其单调性；
（2）求出函数的导数，利用隐零点及同构方法得到且，化简后可得最大值；
（3）由题设可得的导数有三个不同的变号零点，从而得到，有三个不同的变号零点，设，就、分类讨论可得参数的取值范围.
【详解】（1）时，，故，
令，则，
故在上为减函数，而，
故在上，即，在上，即.
故的单调增区间为，单调减区间为.
（2），
设，，
则，故在为减函数，
而时，，而，
故在上存在唯一的使得，
且当时，即，当时，即
故在上为增函数，在为减函数，
故，其中，
即即，
设，则，故为上的增函数，
而，故，，故，
故.
（3）结合（2）可知，
且，有三个不同的变号零点，
而即，
令，，
则，
故当或时，，
当或时，，
故在，上递增；
在，上递减，
而，故，
若，则，
而当时，，
故在上恒成立即在上恒成立，
所以在上为减函数，故至多有一个零点，不合题意.
若即即，
此时，
因，故，
而当时，，
故在上有且只有两个零点，
设它们分别为，且，
故当时，即，
当时，即，
故在为减函数，在上为增函数，
因为，故，故，
，
令，则，
故在上为增函数，故，故，
故，故.
，
设，，则，
故在为增函数，故，所以，
又时，，时，，
故此时有三个不同的零点，
综上，.
【点睛】关键点点睛：对于导数背景下的函数零点问题，注意下面几个关键点：
（1）利用导数讨论函数的单调性；
（2）必要时利用隐零点讨论，甚至利用同构转化得到零点满足的性质；
（3）利用零点存在定理结合图象趋势讨论零点个数.