高中数学压轴题小题专项训练专题9式子大小判断问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题9式子大小判断问题含解析答案，共53页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A．B．
C．D．
3．设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
4．设，，．则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正实数，，满足，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．三个数，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
10．，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
11．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A．B．C．D．
12．，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
13．设，则（ ）
A．B．C．D．
14．已知，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
15．设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．设，则（ ）
A．B．
C．D．
17．已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ）
A．B．C．D．
20．若，则满足的大小关系式是（ ）
A．B．C．D．
21．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
22．下列正确结论的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
23．雅各布·伯努利（Jakb Bernulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
24．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
25．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
26．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
27．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
28．已知，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
29．已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
30．下列大小关系正确的是．（ ）
A．B．
C．D．
31．下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
32．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
33．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
34．已知正实数a，b，c满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
35．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
36．已知，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
37．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
38．设，，若a，b，c互不相等，则（ ）
A．B．C．D．
39．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
40．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
41．已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
三、填空题
42．若，，则与的大小关系为 .（用“”连接）
43．已知是偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“<”连接）
44．定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为 .（从大到小排列）
45．若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 .
46．已知，，，比较a，b，c的大小： （用“<”连接）
47．设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排）
48．两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
49．已知，则大小关系是 ．
50．已知函数满足，且，则与的大小关系为 .
51．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个．
52．以下条件，①；②；③；④；⑤，；⑥，.能够使得：成立的有 .
参考答案：
1．B
【分析】利用作商法比较与b，利用作差法比较a与b，结合三角函数的图像与性质可得结论.
【详解】，，
因为当时，，
所以，则，
，
因为，所以，即，，
综上，.
故选：B.
2．D
【分析】由常见的不等式可比较和的大小；利用幂函数和指数函数的单调性及中间量可比较，和的大小，进而得出答案.
【详解】由三角函数线可得：不等式，
则，
又函数为增函数，为减函数，
则，
所以，
综上所述：，
故选D．
【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数值的大小.解题关键在于利用三角函数线得到不等式，进而比较和的大小；再利用幂函数和指数函数的单调性及中间量，比较，和的大小.
3．D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，，
又因为在上单调递增，所以，即，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
综上：.
故选：D.
4．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
5．C
【分析】利用指数、对数函数的性质与函数图像进行判断即可.
【详解】令，可知在单调递增，
由，
得所以，
由题，，，
令则，所以有，
在平面直角坐标系中分别作出，，，，
由图像可得，则A错误；
对于B，则，即，
由图像可知，所以，B错误；
对于C，，即，因为，
所以，则，故C正确；
对于D，因为，
即且，所以，D错误；
故选：C
6．B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以
所以根据幂函数的性质可得，
因为都是正数，
，
，
因为是递增函数，又因为，
作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以

故，
故选：B
【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果.
7．C
【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出.
【详解】，
∵，而在上单调递增，
∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，
，
，
，
，
.
8．A
【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性可得，即可判断大小关系；估计实数与的大小关系及大致倍数关系，构造函数，利用导数确定单调性可得，从而结合正弦函数的单调性可比较大小，即可得结论．
【详解】解：设，则，
设，则恒成立，所以在上单调递增，
所以恒成立，则在上单调递增，
故，即，所以；
因为，，则，
设，则，又设，
故恒成立，所以在上单调递增，
所以恒成立，则在上单调递减，
则，
又，则，
即；
综上，.
故选：A．
9．D
【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.
【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.
故选：D
10．A
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，
∴，.
若有两个解，则，，
即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
11．A
【分析】利用诱导公式化简，再构造函法，结合导数探讨函数的单调性比较大小即得.
【详解】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，
所以.
故选：A
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
12．C
【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.
故选：C
13．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
14．D
【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.
【详解】解：因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于较复杂的对数、指数式的大小比较，通常构造函数，利用所构造函数的单调性即可解答问题.
15．D
【分析】构造，利用导数研究其单调性判定大小即可.
【详解】设，则，
易知，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
【点睛】思路点睛：比大小问题通常利用常用的切线放缩，通过构造函数利用导数研究其单调性计算即可.常用的函数切线放缩有，要注意取等条件.
16．D
【分析】构造，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案.
【详解】设，
设0，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
根据已知得，
可设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
综上，.
故选：D.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
17．B
【分析】由可得，结合可判断b的范围，再由可得，结合可判断a，c大小关系，进而可得答案.
【详解】由题得，，
由，得，即，所以．
由，得，
因为，，所以，
又，所以，所以．
由，得，即．
易知，所以，所以，故．
又，所以，所以，
所以，所以，所以．
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：
（1）同构函数，利用单调性比较；
（2）取中间值进行比较；
（3）利用基本不等式比较大小；
（4）利用作差法比较大小.
18．B
【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.
【详解】，
，
设函数，
则，
设，则，
所以在上单调递减，且，即，
所以在上单调递减，
则，即，所以.
设，则，
所以在上单调递增，且，
即，
得，所以，即，解得.
综上，.
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
19．A
【分析】首先得出的对称性以及单调性，进一步只需比较离对称轴的距离大小即可，结合指数函数单调性、对数函数单调性以及三角函数单调性即可得出结论.
【详解】因为，所以的图象关于成轴对称，
注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数，
故在上为增函数，
所以距离越远值越大，
因为，
距离最远的为，故最大，
而，
且，
所以，
综上所述，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得到距离越远值越大，由此即可顺利得解.
20．A
【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案.
【详解】由于，所以.
设，
在上单调递增，
所以，所以当时，，
则，即.
设，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
而，所以，所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域；
（2）计算导数；
（3）求出的根；
（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
21．C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
22．D
【分析】本题以判断不等式是否成立为切入点设题，根据不等式的结构特征转化不等式，构造函数，借助导数判断函数的单调性判断大小，从而判断出不等式的正误.
【详解】对于①：，构造函数，
则，令，
则恒成立，所以在上单调递减，所以，
故当时，，所以，
所以在上单调递减，所以，故①正确；
对于②：，
由①知，故②正确；
对于③：，由①知，故③正确；
对于④：令，则，，
注意到当，，故④正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查了函数值的大小比较，解答时要注意根据函数值的特征，构造适当的函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
23．B
【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解.
【详解】，，
令，两函数图象如图所示，
因为均单调递增，且，
结合图象可知当时，，即，
故，故；
如图，单位圆A中，于，设，，
则的长度，，，
则由图易得，，即，
所以，故；
综上，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：
（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；
（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度.
24．D
【分析】首先比较与的大小，即可得到，再比较与的大小，即可得到，从而得到，即可判断.
【详解】因为，，
所以，则，即，
因为，，
所以，所以，则，即，
又，所以，
所以.
故选：D
25．A
【分析】利用函数的单调性即可得到，再利用指数函数、对数函数的单调性得到，，则得到三者大小关系.
【详解】令，根据为上的单调减函数，
则在上单调递减，
且，，
所以函数在上存在唯一的零点，故；
又因为，所以，
所以，即，所以，
所以，即，所以;
因为，所以，所以，
即，所以，
综上可得：.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数的单调性和零点存在定理得到，最后再结合指数函数、对数函数的性质即可比较大小.
26．A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.
【详解】因为，，构造函数，
则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,
令，则，
故在上单增,所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故
所以.
综上所述：.
故选：A
【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：
（1）比较幂指数、对数值的大小；
（2）比较抽象函数的函数值的大小；
（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.
27．B
【分析】令，构造，一次求导就能判定单调性，结合零点存在性定理可得；令，构造函数，由二次求导得到单调性，结合隐零点和零点存在性定理得到；令，构造函数，一次求导就可得到其单调性，结合零点存在性定理得到，最后比较出大小．
【详解】令，，，构造函数，
则在上恒成立，
故在上单调递增，且，
，所以函数的零点
即满足成立的，解得：，
令，构造函数，，则，
再令，则，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，，，
由零点存在性定理可得，存在，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
又，故，
又，，
所以函数的零点，
令，构造函数，
则，当时，，
故在上单调递增，
又∵，，
所以函数的零点，
综上，．
故选：B．
28．C
【分析】变形得到，，，构造函数，，求导得到函数单调性，若，不妨设，构成差函数，得到，令，故，从而得到，而，故，从而得到答案.
【详解】，，，
构造函数，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值，
若，不妨设，
设，，则，
，
当时，，故在上单调递增，
故，即，
又，故，
因为，所以，
而在上单调递减，
故，则，
由于，令，
而，
而在上单调递减，
，即，
，而，故，即，
综上，.
故选：C
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，，从而达到构造出适当函数的目的.
29．BC
【分析】构造函数，，求导得到其单调性，进而判断出，进而得到，得到正确答案.
【详解】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，
故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.
故选：BC
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中要比较出的大小关系，观察出三个式子的特征，构造出，，从而求出答案.
.
30．ABD
【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当时，，即可判断C，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，因为，
即，显然，，
所以，故A正确；
对于B，，所以，又，所以，故B正确；
对于C，当时，函数与函数有个交点，，
作出和的图象，如图所示，

结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误；
对于D，设，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即，化简得，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是构造函数，利用导数说明函数的单调性，从而比较函数值的大小.
31．AD
【分析】利用二项式定理近似计算判断A；若，两边取对数作等价变形，构造函数借助导数比较判断B；若，两边取对数作等价变形，构造函数借助导数比较判断C；求出函数在处的切线方程，构造函数借助导数比较判断D作答.
【详解】由
，则有，A正确；
假定，有，
令，求导得，在上单调递增，
则，即当时，，，，
令，求导得，在上单调递减，
则，即当时，，，，
，
因成立，则成立，所以成立，B不正确；
假定，有，
令，，则在上单调递增，
而，则，所以成立，C不正确；
令，求导得，，
曲线在处切线方程为，
令，求导得，即在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：AD
【点睛】思路点睛：某些数（式）大小关系问题，探求被比较的数（式）的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.
32．BC
【分析】构造函数，则有、，可得C、D，利用极值点偏移可得，构造函数及，可得.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
，有，故，
又，，
故，故有，
故，即C正确，，即，故D错误，
下证：恒成立.
即证：，即证，
设，
则，
因为，，故，
故在上为减函数，故，
即在成立，
故恒成立.
因为，则，
若，则；
若，则，
而故即，故A错误；
令，有，
则，
当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
有，又，故，
令，
则，
由，故，即，
故在上单调递增，又，故恒成立，
即，由，即有，
又，即有，有，，
又在上单调递减，故，即，故B正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数，结合函数性质，从而得到、、、的大小关系，即可得C、D，利用极值点偏移可得、与的关系.
33．ABD
【分析】构造函数，分析函数在上的单调性，可判断A选项；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合三角函数的有界性可判断C选项；利用导数证明出，结合对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，即，A对；
对于B选项，令，其中，
则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
则，故函数在上为增函数，
所以，，即，B对；
对于C选项，因为，则，
所以，，C错；
对于D选项，令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
令，其中，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，所以，，即，
所以，，即，故，D对.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
34．AB
【分析】根据，可得，进而判断出，A正确；
构造，得到单调性，从而求出，B正确；CD选项可以举出反例.
【详解】由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
【点睛】对于指数，对数比较大小问题，属于高频考点，难点在于部分题目需要构造函数进行比较，本题中要结合不等式的特点构造，利用导函数求出其单调性，根据函数单调性比较大小
35．AC
【分析】利用零点存在定理判断得，利用换底公式与对数函数的性质判断得，利用基本不等式判断得，从而检验各选项即可得解.
【详解】令，易知在上单调递增，
又，，
所以在在存在唯一零点，
因为，所以是的零点，则；
因为，所以，即，则，
又，所以；
因为，又，等号不成立，
所以；
综上：，故AC正确，BD错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题值范围限定的关键是利用换底公式求得，从而得解.
36．ABD
【分析】利用数形结合的方法，即分别作出以及的图象，即可判断A，C；利用中间变量，结合函数单调性，比较大小，可判断B，D.
【详解】对于A，函数均为R上的增函数，
且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9，
作出函数的图象如图：

由图可知当时，，即，A正确；
对于B，时，，
由于，故，故，B正确；
对于C，作出函数的图象如图，

由图象可知当时，，即，C错误；
对于D，，则，，，
由于，故，即，D正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：（1）比较一次函数值与指数函数、对数函数值的大小关系，可采用数形结合的方法，即作出函数图象，可比较函数值大小关系；
（2）比较指数幂以及对数值的大小关系，可寻找中间量，结合函数单调性，进行大小比较.
37．BD
【分析】根据换底公式判断A，找中间量，分别与之比较判断B，作差后换底公式化简判断CD.
【详解】，
又，，所以，即，故A错误；
因为，所以，即，
又，，所以，即，故B正确；
因为
而，，所以，即，故C错误；
由，所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的难点在于B选项思路的探求，关键在于找到合适的中间量，分别比较大小，在比较大小的时候，采用对数、指数的性质运算，技巧性很强，不好处理.
38．ABD
【分析】由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点，可判断C，D.
【详解】由，可得，因为，所以，故A正确；
当时，，若，则，
故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确，
因为，，
可将看成函数与图象的交点横坐标，
当时，图象如下图，
可得：，此时.
当时，图象如下图，
可得：，此时，所以C不正确，D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题关键点是将看成函数与图象的交点横坐标，作出函数与图象，讨论的取值即可比较的大小.
39．BC
【分析】对于A，利用三角函数的性质判断出，，即可判断；对于B，判断出，即可判断；对于C，令，，利用导数判断单调性即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断出，即可判断，
【详解】对于A，∵，
，
∴，故A错误；
对于B，记，，则，
记，，则，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
而，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，，所以，
所以，，，故，故B正确；
对于C，记，则，
令，得；令，得；
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以对任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
对于函数，，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，即，所以，
因为，
所以，故C正确，
对于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上单调递减；上单调递增，所以，
记，因为，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，
所以，则，故D错.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：比较大小类题目解题方法：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
40．AB
【分析】A根据函数对称性得到，由单调性得到，从而得到；B令，，求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到，结合的单调性得到；C由对称性得到，，故，构造函数得到，从而得到，由的单调性得到；D数形结合得到，，作商得到，由及正切函数单调性得到，从而得到.
【详解】A，令，解得，故在上单调递减，
令，解得，故的一条对称轴为，故，
因为，，所以，即，A正确；
B，，，
令，，则，
当时，，，故恒成立，
故在上单调递增，故，所以，故，
由于在上单调递减，所以，B正确；
C，的一条对称轴为，故，
其中，故，故，
而，故，所以，
关于中心对称，故，
其中，则，
其中，，
下面证明，
令，，则，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
故在上单调递增，故，故，
所以，则，两边取对数得，
故，故，
又在上单调递减，故，故，C错误；
D，，故，，
因为，所以，故，
而，故，则，
其中，，故，则，
由于在上单调递增，故，
故，故，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对变形为，与均用含的式子来进行表达，从而达到构造出适当函数的目的.
41．ABC
【分析】由原方程可得，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A；令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD.
【详解】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
42．
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
【详解】
，
因为，，则，，
所以.
故答案为：.
43．
【分析】利用导数探讨函数在上的单调性，再结合偶函数的性质比较大小作答.
【详解】当时，，求导得，则函数在上单调递增，
又是偶函数，则，，
，于是，
所以.
故答案为：
44．
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及指数函数、对数函数等知识求得正确答案.
【详解】因为函数满足，
所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，
则，即，所以在上单调递增，
则在上单调递减，
由，由，
根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则，则有.
由函数在上单调递减可知.
故答案为：
【点睛】判断函数单调性的方法，可以通过函数单调性的定义，由，计算的符号来进行判断.比较对数式或指数式的大小，主要是通过对数函数、指数函数的单调性来进行判断.
45．
【分析】由已知用表示出然后作差比较大小．
【详解】由，得，
，时，，时，，
，所以．
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查比较两个实数的大小，解题方法是作差法．
46．
【分析】通过构造函数，利用其单调性得到，再通过作差与零进行比较，得出与的大小关系，再通过与进行比较，判断出，进而得到结果.
【详解】令，恒成立，当且仅当取等号，所是增函数，
当时，，即，所以，
又，又因为，所以，故由的单调性知，，所以，从而，
又易知，又由函数的单调性知，，所以.
故答案为：
47．
【分析】方法一：构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记，则，当时，，故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩得，因此.
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
48．乙
【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可.
【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元，
则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为，
所以，即，
所以乙种购物策略比较经济.
故答案为：乙.
49．
【分析】设，得，，，然后作商法比较和大小解决即可.
【详解】因为，设，
所以，，，
因为，
所以，，，
因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为：．
50．
【分析】利用题意得到，，可知在单调递减，在单调递增，然后分，，三种情况进行讨论，即可得到答案
【详解】因为满足，所以关于对称，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即；
当时，，所以，即，
综上所述，
故答案为：
51．2
【分析】由作差法比较大小后判断
【详解】不妨设，，
记为①式，为②式，以此类推，
由，故①>②，
，故②>③，
，故①>④，
同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，
综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，
最多有②④或③⑥两项可同时取150，
令，
得其一组解为，
故答案为：2
52．①③⑥
【解析】先逐项根据的大小判断的大小，进而得出的大小，再根据不等式的性质以及，得出的大小，由换底公式即可判断的大小.
【详解】解： 对①，；
即，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故①正确；
对②，；
即，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故②错误；
对③，，
即，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故③正确；
对④，，
即，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故④错误；
对⑤，，，
，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故⑤错误；
对⑥，，，
，
即，
又，
，
由换底公式可得：，故⑥正确.
故答案为：①③⑥.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是先求出的大小，再利用换底公式得出的大小.