2023-2024学年吉林市四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林市四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 12C. 6D. 12
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 2× 3= 6D. 10÷ 5=2
3.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 1.5，2.5，3D. 1， 2， 3
5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
6.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于的不等式x+bA. x>2
B. x>0
C. x>1
D. x<1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.比较大小： 11______2 3.
8.使1 x−1在实数范围内有意义的x应满足的条件是______.
9.在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第______象限．
10.如图，在▱ABCD中，∠B=60∘，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.AB=6.CF=2，则CE=______.
11.数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为______.
12.如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处.若∠DAB=56∘，则∠AEB′的度数为______ ∘.
13.如图，直线y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为______.
14.如图，在四边形中ABCD，∠ABC=∠ADC=90∘，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF.若AC=6，BD=4，则EF的最小值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.计算： 48÷ 3+ 12× 12− 24.
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，过点D作DE⊥BC于E.
求证：四边形ACED是矩形.
17.(本小题5分)
若函数y=(2m−1)x+m+3的图象平行于直线y=3x−3.
(1)求函数解析式；
(2)将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点的横坐标为______.
18.(本小题5分)
如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
19.(本小题7分)
近日，某中学举行了国家安全知识竞赛.现从七、八年级中各趟机抽取20名学生的竞赛成块进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分为四个等级：A.60≤x<≤x<80，C.80≤x<≤x≤100).下面给出了部分信息.
七年级20名学生的竞赛成绩是：62，68，75，80，82，85，86，88，89，90，90，95，96，98，99，99，99，99，100，100.
八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含的所有数据为：82，84，85，86，88，89.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：上述图表中a=______，b=______，c=______；
(2)根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生竞要成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七、八年练共2400名学生参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩为D等级的学生人数是多少？
20.(本小题7分)
如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A，B均在格点上.仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示，请按步骤完成下列问题.
(1)直接写出的AB长为______；
(2)在格点上找一点C，连接BC，使AB⊥BC；
(3)画线段AB的中点D；
(4)在格点上找一点E，连接DE，使DE//BC.
21.(本小题7分)
如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.
(1)求证：BD=EC；
(2)若∠E=50∘，求∠BAO的大小．
22.(本小题7分)
如图，直线l1：y=x+b与x轴相交于点A，直线l2:y=−23x+43与x轴相交于点B，直线l1和l2相交于点C(m,2).
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积.
23.(本小题8分)
“五一”长假小明一家由爸爸驾车到某景区进行游玩，汽车出发前油箱内有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(单位：L)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示，请你根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶______ h后加油，加油______ L；
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数解析式；
(3)已知加油前后汽车都以60km/h的速度匀速行驶且路况相同，如果加油站距景区还有240km，请你判断油箱中的油是否够用？请说明理由.
24.(本小题8分)
【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容.
【问题解决】如图①，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，点B′恰好在AD上.求证：四边形ABEB′是正方形；
【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EB′上的点C′处，DM为折痕.若AB=5，AD=8，求EM的长.
25.(本小题10分)
提出问题：如图①，在正方形ABCD中，点P，F分别在边BC、AB上，若AP⊥DF于点H，则AP=DF.类比探究：
(1)如图②，在正方形ABCD中，点P、F.、G分别在边BC、AB、AD上，若GP⊥DF于点H，探究线段GP与DF的数量关系，并说明理由；
(2)如图③，在正方形ABCD中，点P、F、G分别在边BC、AB、AD上，GP⊥DF于点H，将线段PG绕点P逆时针旋转90∘得到线段PE，连结EF，若四边形DFEP为菱形，探究DG和PC的数量关系，并说明理由．
26.(本小题10分)
如图①，正方形ABCD的边长为4，连接AC.动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，过点P作PE⊥AB交AC于点E.以PE为一边向右作正方形PEFG.设点P的运动时间为t秒.正方形PEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S.
(1)当点F落在BC上时，t=______秒；
(2)如图②，当t=3时，重叠部分图形的面积S=______；
(3)在点P运动的过程中，求出S与t之间的关系式；(用含t的式子表示S)
(4)连接CF，当△CEF是等腰三角形时，直接写出t的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C.
最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】
解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、原式=2 2，故B不符合题意；
C、原式= 6，故C符合题意；
D、原式= 2，故D不符合题意．
故选：C.
3.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
丁的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：丁．
故选：D.
根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、32+22≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、1.52+2.52≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+( 2)2=( 3)2，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】B
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B.
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，
∴关于的不等式x+b故选：D.
直接利用图象得出不等式x+b此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．
7.【答案】<
【解析】解：∵2 3= 12，
∴ 11<2 3.
故答案为：<.
直接利用二次根式的性质进而比较得出答案．
此题主要考查了实数比较大小，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8.【答案】x>1
【解析】解：由题意得：x−1>0，
解得：x>1.
故答案为：x>1.
根据二次根式有意义的条件可得x−1>0，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9.【答案】三
【解析】解：∵一次函数y=kx+2，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵当x=0时，y=2，
过点(0,2)，
∴函数的图象过一、二、四象限，
故答案为：三
先根据一次函数y=kx+2中y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出该一次函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．
本题主要考查对一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键．
10.【答案】5
【解析】解：在▱ABCD中，CD=AB=6，∠D=∠B=60∘，
∵CF=2，
∴DF=CD−CF=6−2=4，
∵AF⊥CD，
∴∠DAF=90∘−60∘=30∘，
∴BC=AD=2DF=8，
∵AE⊥BC，∠B=60∘，
∴∠BAE=30∘，
∵AB=6，
∴BE=12AB=3，
∴CE=BC−BE=8−3=5.
故答案为：5.
由平行四边形的性质可求得DF=4，再利用含30∘角的直角三角形的性质求解AD，BC，BE的长，进而可求解CE的长，
本题主要考查平行四边形的性质，含30∘角的直角三角形的性质，求解BC，CE的长是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴较长直角边长为 102−62=8，
∴小正方形的边长为8−6=2，面积为2×2=4.
故答案为：4.
根据勾股定理求得直角三角形较长的直角边，两直角边的长的差即为小正方形的边长，从而可得答案．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12.【答案】96
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56∘，
∴∠B=124∘，∠ACB=28∘，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处．
∴∠B′CE=∠ECB=14∘，
∴∠CEB=180∘−124∘−14∘=42∘，
∴∠B′EB=84∘，
∴∠AEB′=180∘−84∘=96∘，
故答案为：96.
根据菱形的性质得出∠DAB=∠DCB=56∘，∠B=124∘，再利用翻折的性质和平角的定义解答即可．
本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
13.【答案】(2−2 2,0)
【解析】解：当x=0时，y=−x+2=2，
∴点B的坐标为(0,2)，OB=2；
当y=0时，−x+2=0，
解得x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，OA=2.
∴AB= OA2+OB2=2 2.
∴点C的坐标为(2−2 2,0).
故答案为：(2−2 2,0).
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再结合点A的坐标即可找出点C的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标是解题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：连接BE，DE，如图所示：
∵∠ABC=∠ADC=90∘，E是对角线AC的中点，
∴BE=12AC，DE=12AC，
∵AC=6，
∴BE=DE=3，
过点E作EF′⊥BD于点F′，
则点F′是线段BD的中点，
∵BD=4，
∴BF′=2，
根据勾股定理，得EF′= 32−22= 5，
∴线段EF的最小值为 5，
故答案为： 5.
连接BE，DE，根据直角三角形斜边的中线的性质可得BE=DE，过点E作EF′⊥BD于点F′，可知BF′的长度，根据勾股定理求出EF′的长，即可确定EF的最小值．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等，熟练掌握直角三角形斜边的中线的性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式= 48÷3+ 12×12−2 6
=4+ 6−2 6
=4− 6.
【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴AD//CE，
∵AC⊥BC，DE⊥BC，
∴AC//DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠E=90∘，
∴四边形ACED是矩形．
【解析】由平行四边形的性质得AD//BC，则AD//CE，由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC//DE，即可根据平行四边形的定义证明四边形ACED是平行四边形，而∠E=90∘，则四边形ACED是矩形．
此题重点考查平行四边形的判定、在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行、矩形的判定等知识，证明AC//DE是解题的关键．
17.【答案】−23
【解析】解：(1)∵函数y=(2m−1)x+m+3的图象平行于直线y=3x−3，
∴2m−1=3，
解得 m=2，
∴所求函数解析式为y=3x+5；
(2)将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的解析式为：y=3x+5−3，
即y=3x+2，
令y=0，得3x+2=0，
解得：x=−23，
故平移后的图象与x轴的交点的横坐标为−23，
故答案为：−23.
(1)根据两直线平行的问题，得到2m−1=3，求出m，即可得解；
(2)根据平移规则，上加下减，得到平移后的解析式，继而得解．
本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，也考查了一次函数的性质以及两直线平行的问题．
18.【答案】解：设AB=x米，则AC=(x+1)米，
由图可得，∠ABC=90∘，BC=5米，
所以Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(x+1)2，
解得x=12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【解析】设AB=x米，则AC=(x+1)米，依据勾股定理即可得到方程x2+52=(x+1)2，进而得出风筝距离地面的高度AB.
本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
19.【答案】40 87 99
【解析】解：(1)八年级20名学生的竞赛成绩中C等级包含6个分数，
C等级所占百分比为620=30%，a%=1−20%−10%−30%=40%，
∴a=40，
八年级中位数位于C等级，第10个和第11个数分别是86和88，故b=86+882=87，
七年级成绩是众数是c=99，
故答案为：40，87，99；
(2)七年级竞赛成绩较好，理由为：七年级的中位数高于八年级(答案不唯一)；
(3)七年级D等级人数是11人，八年级D等级人数是20×40%=8人，
2400×11+840=1140(人)，
答：估计竞赛成绩为D等级的学生人数是1140人．
(1)根据八年级C等级有6个学生可得a，根据扇形统计图可得八年级中位数b，根据七年级的成绩可得众数c；
(2)比较平均数、中位数和众数可得结论；
(3)求出七、八年级学生竞赛成绩为D等级的百分比可得答案．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确求解的前提．
20.【答案】解：(1) 10；
(2)如图，线段BC即为所求；
(3)如图，点D即为所求；
(4)如图，线段DE即为所求．
【解析】(1)AB= 12+32= 10，
故答案为 10.
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案.
(1)利用勾股定理计算即可．
(2)利用数形结合的思想解决问题即可．
(3)取格点M，N，连接MN交AB于点D，点D即为所求．
(4)取格点点E，连接DE，线段DE即为所求．
本题考查作图-应用与设计，平行线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵菱形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC；
(2)解：∵平行四边形BECD，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50∘，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO=90∘−∠ABO=40∘.
【解析】(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
(2)根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)把C(m,2)代入y=−23x+43，得：2=−23m+43，
解得：m=−1，
∴C(−1,2)，
把C(−1,2)代入l1：y=x+b得：
2=−1+b，
解得：b=3.
(2)把y=0代入y=x+3得：0=x+3，
解得：x=−3，
∴A(−3,0)，
把y=0代入y=−23x+43得0=−23x+43，
解得：x=2，
∴B(2,0)，
∴AB=2−(−3)=5，
∴S△ABC=12×5×2=5.
【解析】(1)把C(m,2)代入l2:y=−23x+43求出m的值，得出点C的坐标，把点C的坐标代入l1：y=x+b求出b的值即可；
(2)先求出A(−3,0)，B(2,0)，得出AB=2−(−3)=5，根据S△ABC=12×5×2=5求出结果即可．
本题主要考查了求一次函数解析式，直线所围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，求出点C的坐标．
23.【答案】3 31
【解析】解：(1)从图象可以看出，汽车行驶3小时后加油，中途加油45−14=31升；
故答案为：3；31.
(2)∵设第一段函数解析式为y=kt+b，将(0,50)和(3,14)代入，
b=503k+b=14，解得，k=−12b=50，
∴解析式为y=−12t+50；
(3)油箱中的油不够用．
∵汽车加油前行驶了3小时，行驶了3×60=180km，用去50−14=36升油，而目的地距加油站还有240km，
∴要到达目的地还需要240×36180=48升油，而中途加油31升后有油45升，
∴要到达目的地油箱中油不够用．
(1)根据图象中(3,14)和(3,45)两点即可求出答案；
(2)设解析式为y=kt+b，将(0,50)和(3,14)代入，解关于k，b的二元一次方程组求出k，b，即可得到解析式；
(3)由图象第一段求出每千米耗油量，再算出200km需要油量30升，根据(3,45)可知加油后油箱有油量45升，判断是否够用．
本题考查了一次函数的应用，重点是读懂题目并准确识图，观察出油箱中油量的变化时解题关键．
24.【答案】解：【问题解决】由折叠的性质可知：AB=AB′，BE=B′E，∠BAE=∠B′AE，
又∵∠BAD=90∘，
∴∠BAE=∠B′AE=12∠BAD=45∘，
∴∠ABE=45∘=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AB=BE=AB′=B′E，
∴四边形ABEB′是菱形，
又∵∠BAD=90∘，
∴四边形ABEB′是正方形；
【教材延伸】∵矩形ABCD中，AB=5，AD=8，
∴CD=AB=5，BC=AD=8，∠ADC=∠C=90∘，
由(1)知：四边形ABEB′是正方形，
∴B′E=BE=AB=5，∠MEC′=90∘，
∴CE=CD−BE=AD−BE=3，四边形CDB′E是矩形，
∴B′D=CE=3，B′E=CD=5，∠C′B′D=90∘，
由折叠的性质可知：C′D=CD=5，MC=MC′，
∴B′C′= C′D2−B′D2=4，
∴EC′=EB′−C′B′=1，
在Rt△MEC′中，∠C′EM=90∘，C′E=1，C′M=CM=CE−EM=3−EM，
∴C′M2=C′E2+EM2，即(3−EM)2=1+EM2，
解得EM=43.
【解析】【问题解决】根据折叠的性质，三角形内角和可证明∠ABE=45∘=∠BAE，利用等边对等角可得AB=BE，结合折叠性质得出AB=BE=AB′=B′E，从而证明四边形ABEB′是菱形，再结合正方形的判定即可证明；
【教材延伸】先证明四边形CDB′E是矩形，可求出CE=B′D=3，B′E=CD=5，利用折叠和勾股定理可求出B′C′，C′E，然后在Rt△EC′M中，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题．
25.【答案】解：(1)GP=DF.理由如下：
如答图1，过点A作AM⊥DF交BC于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=90∘，
∴∠BAM=∠ADF，
在△BAM与△ADF中，
∠B=∠DAF=90∘AB=DA∠BAM=∠ADF，
∴△BAM≌△ADF(ASA)，
∴AM=DF
又∵四边形AMPG为平行四边形，
∴AM=GP，即GP=DF；
(2)DG=2PC.理由如下：
如答图2，过点P作FN⊥AD与点N.
若四边形DFEP为菱形，则DP=DF，
∵DP=DF，
∴DP=GP，即DG=2DN.
∵四边形DNPC为矩形，
∴PC=DN，
∴DG=2PC.
【解析】(1)如答图1，过点A作AM⊥DF交BC于点M.通过证明△BAM≌△ADF得到其对应边相等：AM=DF，则又由平行四边形的性质推知AM=GP，则GP=DF；
(2)如答图2，过点P作FN⊥AD与点N.根据菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”的性质推知DG=2DN，然后结合矩形DNPC的性质得到：DG=2PC.
本题考查了四边形综合题，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．
26.【答案】2 3
【解析】解：(1)由题意得，当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，如图2：
∵△AEP是等腰直角三角形，四边形PEFG是正方形，
∴PA=PE=PB=t.
∴AB=PA+PB=2t=4，
∴t=2，
故答案为：2；
(2)当t=3时，如图2：
由题意得：四边形PEMB是矩形，PE=AP=x=3，
∴PB=AB−AP=1，
∴S=S矩形PEMB=3×1=3；
故答案为：3；
(3)如图4，当0∴S=S矩形PEFG=t2；
如图5，当2∴PB=AB−AP=4−t，
∴S=S矩形PEMB=t(4−t)=4t−t2；
综上所述，S与t之间的关系式为S=t2(0(4)①当EF=CF时，∠CEF=45∘，
∴∠ECF=∠CEF=45∘，
∴∠CFE=90∘，
∴△CEF是等腰直角三角形，即此时点F落在BC上，
由(2)得，此时t=2；
②当CE=CF时，如图6，
∵∠CEF=45∘，
∴∠CEF=∠CFE=45∘，
∴∠FCE=90∘，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵PA=PE=EF=t，
在Rt△AEP中，AE= PA2+PE2= t2+t2= 2t，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即2CE2=t2，
∴CE= 22t，
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 42+42=4 2，
∴AC=AE+CE= 2t+ 22t=4 2，
解得t=83；
③当CE=EF时，如图7，
∵PA=PE=EF=t，
∵AE= PA2+PE2= t2+t2= 2t，CE=EF=t，
∴AC=AE+CE= 2t+t=4 2，
解得t=8−4 2.
综上，当△CEF是等腰三角形时，x的值为2或83或8−4 2.
(1)当点F落在BC上时，点G恰好与点B重合，此时点P在AB的中点处，即可求得t的值；
(2)当t=3时，正方形PEFG与△ABC重叠部分图形是边长分别为1和3的矩形，即可求出S=的值；
(3)分为当0(4)当△CEF是等腰三角形时，进行分类讨论，当EF=CF时，当CE=CF时，△CEP都是等腰直角三角形，再讨论CE=EF，画图列式求t的值即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，求函数关系式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．年级
七年级
八年级
平均数
89
89
中位数
90
b
众数
c
100
在一张矩形纸片的一端，利用如图③所示的方法折出一个正方形.