2023-2024学年北京市房山区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市房山区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，列入国家级非物质文化遗产名录下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.一次函数y=x+b的图象经过点1,3，该一次函数的表达式为( )
A. y=x+2B. y=x+3C. y=2x+1D. y=x−2
3.若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.在平面直角坐标系中，点A1,2关于y轴对称的点的坐标是( )
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2
5.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM，若AC=6，BD=8，则OM的长为( )
A. 4B. 3C. 52D. 32
6.用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0时，此方程可变形为( )
A. x−22=19B. x−42=7C. x−22=4D. x−22=7
7.在一次数学测验中，某年级人数相同(均为35人)的两个班的成绩统计如下表：
小亮同学对此做出如下评估：
①这次数学测验成绩两个班的平均水平相同；
②致远班学生中成绩优秀(85分及以上)的多；
③飞翔班学生的成绩比较整齐，波动较小
上述评估，正确的是( )
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
8.关于函数y1=2x−1和函数y2=−x+mm>0，有以下结论：
①当0②y2随x的增大而增大；
③函数y1的图象与函数y2的图象的交点一定在第一象限；
④若点a,−2在函数y1的图象上，点b,12在函数y2的图象上，则a上述结论正确的是( )
A. ①④B. ②③C. ③④D. ①②
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是__________.
10.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=__________.
11.请写出一个与y轴交于点(0,1)的一次函数的表达式__________.
12.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________.
13.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若BC=7，DE=3，则CD的长为__________.
14.已知点P−2,y1，Q1,y2在一次函数y=kx+1k≠0的图象上，且y1>y2，则k的取值范围是__________.
15.随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：__________.
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，点A的坐标为5,0.若直线l1:y=−x+b1和直线l2:y=−x+b2b1≠b2被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，请写出一组满足条件的b1与b2的值__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程：
(1)x2−25=0；
(2)3x2+x=0；
(3)x2−4x−1=0.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
一个一次函数的图象经过0,2和4,−2两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)作出该一次函数的图象；
(3)结合图象回答：当y<0时，x的取值范围是________.
19.(本小题8分)
如图，B，D是▱AECF对角线EF上两点，BE=DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x−2的图象与y轴交于点A，若该函数图象上存在点B使△AOB的面积是1，求点B的坐标．
21.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O，BE//AC，BE=12AC，连接AE.
(1)求证：四边形AEBO是矩形；
(2)若BC=10，∠BCD=60∘，求矩形AEBO的面积．
23.(本小题8分)
汉字是世界上唯一延续至今且仍在使用的自源性文字符号系统，是中华文明的源头所在、根脉所系，某校为了解八年级学生汉字书写情况，从中随机抽取50名学生进行书写测试，获得了他们的成绩(满分50分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息(数据分成5组).

根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中a，b，c的值；
(2)请你把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，假设该校八年级240名学生都参加测试，估计该校八年级测试成绩优秀的人数．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx−2k≠0的图象与函数y=3x的图象交于点Pm,3.
(1)求k和m的值；
(2)已知点An,0，过点A作x轴的垂线，交函数y=kx−2k≠0的图象于点B，交函数y=3x的图象于点C.
①当AC=AB时，求n的值；
②当AC25.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上(与点B，C不重合)，连接AE过点E作AE的垂线，交DC于点M，延长EM到点F，使EF=AE，连接FC.
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段BE与CF的数量关系，并证明．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形G给出如下定义：将图形G上的任意点Pa,b变为点P′a−b,a+b，称P′为点P的关联点，图形G上所有的点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形G的关联图形．
(1)点1,0的关联点的坐标为________；
(2)直线y=x+1的关联图形上任意一点的横坐标为________；
(3)如图，点A1,0，B1,1，C0,1，若四边形OABC的关联图形与过点4,3的直线y=kx+nk≠0有公共点，直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，如果把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，但不中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D.
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，牢记待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
将给定点的坐标代入一次函数的表达式中，可得出关于b的一元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：将1,3代入y=x+b得：3=1+b，
解得：b=2，
∴一次函数的表达式为y=x+2.
故选：A.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．设多边形的边数为n，根据题意得出方程(n−2)×180∘=360∘，求出即可．
【解答】
解：设多边形的边数为n，
则(n−2)×180∘=360∘，
解得：n=4，
则这个多边形的边数为4.
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
直接利用关于y轴对称点的性质“横坐标变为相反数，纵坐标不变”得出答案．
【解答】
解：点A1,2关于y轴对称的点的坐标是−1,2，
故选：C.
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、中位线，熟练掌握菱形的性质和中位线的性质是解题的关键，利用菱形的性质：对角线相互垂直，中位线的性质：平行且等于底边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BOC=90∘，OB=12BD=4，OC=12AC=3，
∴BC= OB2+OC2=5，
∵点M为AB的中点，点O为AC的中点，
∴OM=12BC=52.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法解已知方程时，首先将−3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方4，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子．
【解答】
解：x2−4x−3=0，
移项得：x2−4x=3，
两边都加上4得：x2−4x+4=3+4，
即x−22=7，
则用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0时，方程变形正确的是x−22=7.
故选D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了平均数、中位数和方差，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答即可得出答案．
【详解】
解：①∵致远班的平均成绩是82.5分，飞翔班的平均成绩是82.5分，
∴这次数学测试成绩中，致远班和飞翔班两个班的平均水平相同；故①正确；
②致远班：中位数为85分；飞翔班：中位数为80分；
故致远班学生中成绩优秀(85分及以上)的多，故②正确；
③∵致远班的方差是40.25分，飞翔班的方差是35.06分，
∴致远班的方差大于飞翔班的方差，
∴飞翔班学生的数学成绩比较整齐，波动较小；故③正确；
上述评估中，正确的是①②③；
故选：D.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提．
根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可．
【解答】
解：①当x=0时，y1=−1，当x=1时，y1=1，而一次函数y1=2x−1，y随x的增大而增大，所以−1②一次函数y2=−x+mm>0，y随x的增大而减小，因此②不正确；
③联立y=2x−1y=−x+mm>0，解得x=m+13y=2m−13，则函数y1的图象与函数y2的图象的交点坐标为m+13,2m−13，当00y=2m−13<0，此时交点在第四象限，所以③不正确；
④若点a,−2在函数图象上，b,12在函数y2图象上，则2a−1=−2，−b+m=12，即a=−12，b=m−12，当m>0时，m−12>−12，即b>a，因此④正确．
综上所述，正确的结论有①④．
故选A.
9.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意得x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案为x≠−1.
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解得答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0.
10.【答案】3
【解析】【详解】解：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，
利用三角形中位线定理可求出ED=12BC=3.
故答案为3.
【点睛】考点：三角形中位线定理．
11.【答案】答案不唯一，如：y=−x+1
【解析】【分析】设函数解析式是y=−x+b，把(0,1)代入即可求出结论.
【详解】设函数解析式是y=−x+b，把(0,1)代入，得
0+b=1，
∴b=1，
∴y=−x+1.
故答案为y=−x+1.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①先设出函数解析式的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b(k≠0)；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.
12.【答案】m<1
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，牢记当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键；根据根的判别式Δ>0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4×1×m=4−4m>0，
解得：m<1，
故答案为：m<1.
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．根据BE平分∠ABC可推出△ABE为等腰三角形，进而可求出AB，即可得出结果．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=7,AD//BC,AB=CD，
∵DE=3，
∴AE=4，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD=4，
故答案为4.
14.【答案】k<0
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
由x1y2，根据一次函数的性质，得到k<0，即可得到答案．
【解答】
解：∵点P(−2,y1)，Q(1,y2)在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上，
又∵−2<1，且y1>y2，即y随x增大而减小，
∴k<0，
故答案为：k<0.
15.【答案】3001−x2=192
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键．
设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为3001−x元，再经过一次下降后成本变为3001−x2元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程．
【解答】
解：设每件成本的平均降低率是x，
根据题意可得：3001−x2=192.
故答案为：3001−x2=192.
16.【答案】b1=1，b2=9(答案不唯一)
【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形，一次函数的图象和性质等知识点，掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
设直线l1:y=−x+b1和直线l2:y=−x+b2b1≠b2被正方形OABC的边所截得的线段分别为EF、MN，根据题意令OE=OF=BM=BN=1得到E、F、M、N四点坐标，进而求出b1与b2的值即可．
【详解】解：设直线l1:y=−x+b1和直线l2:y=−x+b2b1≠b2被正方形OABC的边所截得的线段分别为EF、MN，
根据题意，两直线被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，
∴令OE=OF=BM=BN=1，
则E1,0、F0,1，M5,4、N4,5，
∴−1+b1=0，−4+b2=5，
∴b1=1，b2=9，
故满足条件的b1与b2的值可以是b1=1，b2=9.
故答案为：b1=1，b2=9(答案不唯一).
17.【答案】(1)解：x2−25=0，
x2=25，
x=±5，
所以该方程的解为：x1=5，x2=−5.
(2)解：3x2+x=0，
x3x+1=0，
x=0或3x+1=0，
所以，该方程的解为：x1=0，x2=−13.
(3)解：x2−4x−1=0，
∵a=1，b=−4，c=−1，
∴b2−4ac=−42−4×1×−1=20，
∴x=−b± b2−4ac2a=−−4± 202×1=4±2 52=2± 5，
所以，该方程的解为：x1=2+ 5，x2=2− 5.

【解析】本题主要考查了解二元一次方程，掌握运用直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程成为解题的关键．
(1)先移项，然后运用直接开平方法求解即可；
(2)直接运用因式分解法求解即可；
(3)直接运用公式法法求解即可．
18.【答案】(1)解：设该一次函数解析式为y=kx+b，
把0,2和4,−2代入y=kx+b中得：4k+b=−2b=2，
∴k=−1b=2，
∴该一次函数解析式为y=−x+2；
(2)解：如图所示函数图象即为所求：
(3)解：由函数图象可知，当y<0时，x的取值范围是x>2.

【解析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系：
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)关键(1)所求画出对应的函数图象即可；
(3)根据函数图象找到函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可．
19.【答案】证明：连接AC，交BD于点O ，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∵BE=DF，
∴OE−BE=OF−DF，
即OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，作出辅助线证出OB=OD是解题的关键．连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OE=OF，然后求出OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
20.【答案】解：令x=0，得y=−2，
∴A0,−2，
设点B的横坐标为xB，
∵△AOB的面积是1，OA=2，
∴12OA⋅xB=1，
∴xB=1，
∴xB=±1，
∵点B在该函数图象上，
∴B1,0或B−1,−4.

【解析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形的面积．
先求出点A的坐标，再设点B的横坐标为xB，根据S△OAB=12OA⋅xB=1，求解即可．
21.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2.
∴x1=m−2，x2=2.
∵此方程有一个根小于1.
∴m−2<1.
∴m<3.
【解析】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3.
22.【答案】解：(1)∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∴∠AOB=90∘，
∵BE=12AC，
∴OA=BE，
∵BE//AC，
∴四边形AEBO是平行四边形
∵∠AOB=90∘，
∴四边形AEBO是矩形；
(2)∵BC=10，∠BCD=60∘
∴△BCD是等边三角形．
∴BD=10，
四边形ABCD是菱形，
∴OB=12BD=12×10=5，
∴OC= BC2−OB2= 102−52= 75=5 3
∴OA=OC=5 3，
∴S矩形AEBO=OA⋅OB=5×5 3=25 3，
∴矩形AEBO的面积是25 3

【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
(1)先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90∘，即可得出结论；
(2)由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
23.【答案】解：(1)由题意得：
a=50×0.32=16(人)，
b=50−6−8−16−10=10(人)，
c=10÷50=0.2；
(2)根据题意画图如下：

(3)该校八年级测试成绩优秀的人数240×10+1050=96(人)，
所以估计该校八年级测试成绩优秀的人数96人．

【解析】本题考查了频数分布直方图和频数分布表，利用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
(1)根据题意分别求出中a，b，c的值；
(2)根据题意补全统计图；
(3)用成绩不低于40分的频率乘以总数，即可得出本次测试的优秀人数．
24.【答案】解：(1)将Pm,3点代入y=3x可得：3=3m，解得：m=1，
∴P1,3；
将P1,3代入y=kx−2k≠0可得3=k−2，
解得k=5；
(2)由(1)知，一次函数的表达式为：y=5x−2，
设Bn,5n−2，Cn,3n，则AC=3n,AB=3n−2，
①当AC=AB时，即3n=5n−2，
解得：n=1或14；
②如图：当AC1.

【解析】本题主要考查了一次函数的交点问题、一次函数与几何的综合、解绝对值方程等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
(1)将Pm,3点代入y=3x中即可求出m的值，然后Pm,3代入y=kx−2k≠0即可求出k的值；
(2)设Bn,5n−2，Cn,3n，则AC=3n,AB=3n−2，①根据AC=AB列绝对值方程求解即可；②根据AC25.【答案】(1)解：如图：即为所求．
(2)解：FC= 2BE，证明如下：
如图：过F作FN⊥BC交BC延长线于N，即∠FNE=90∘，
∴∠FEN+∠EFN=90∘，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90∘,AB=BC，
∴∠FEN+∠AEB=90∘，∠N=∠B=90∘，
∴∠EFN=∠AEB，
∵EF=AE，
∴△FNE≌△EBA(AAS)，
∴BE=FN,EN=AB,
∴EN=BC
∴EN−CE=BC−CE，即CN=BE，
∴FN=CN=BE，
∵∠FNE=90∘，
∴FC2=CN2+FN2，即FC2=2CN2，则FC= 2CN，
∴FC= 2BE.

【解析】本题主要考查了垂直的定义、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键．
(1)根据已知补全图形即可；
(2)如图：过F作FN⊥BC交BC延长线于N，即∠FNE=90∘；再证明△FNE≌△EBA可得BE=FN,EN=AB,然后再说明FN=CN=BE，最后利用勾股定理即可证明结论．
26.【答案】(1)1,1；
(2)−1；
(3)14≤k≤34.

【解析】【分析】
本题主要考查了新定义、一次函数的应用等知识点，正确理解关联点、关联图形的定义，能够准确表示出关联点、画出关联图形是解题的关键．
(1)按关联点的定义操作即可解答；
(2)设直线y=x+1的图像上任意一点坐标为x,x+1，然后按定义操作即可解答；
(3)求出点A1,0，B1,1，C0,1和O0,0的关联点，再根据与过点4,3的直线y=kx+nk≠0有公共点，使用待定系数法即可求出k的范围.
【解答】
解：(1)由关联点的定义可得：1−0=1，1+0=1，
∴点1,0的关联点的坐标为1,1.
故答案为1,1.
(2)设直线y=x+1的图像上任意一点坐标为x,x+1，
由关联点的定义可得：x−x+1=−1，
∴直线y=x+1的关联图形上任意一点的横坐标为−1.
故答案为−1.
(3)由关联点的定义可得：A1,0、B1,1、C0,1、O0,0的关联点分别为：A′1,1、B′0,2、C′−1,1、O0,0.
∴四边形OABC的关联图形如图所示：
当直线y=kx+nk≠0过点4,3和B′0,2时，
有2=n3=4k+n，解得：k=14，
则当四边形OA′B′C′与直线y=kx+nk≠0的交点在y=kx+nk≠0的下方时，有公共点，即k≥14；
当直线y=kx+nk≠0过点4,3和O0,0时，
有0=n3=4k+n，解得：k=34；
则当四边形OA′B′C′与直线y=kx+nk≠0的交点在y=kx+nk≠0的上方时，有公共点，即k≤34.
综上，k的取值范围是14≤k≤34.
班级
平均数
中位数
方差
致远班
82.5
85
40.25
飞翔班
82.5
80
35.06
组别
成绩x(分)
频数(人数)
频率
第一组
25≤x<30
6
0.12
第二组
30≤x<35
8
0.16
第三组
35≤x<40
a
0.32
第四组
40≤x<45
b
c
第五组
45≤x≤50
10
0.20