2023-2024学年北京市昌平区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业．以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点P−2,3所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为( )
A. 2B. −2C. 0D. 4
4.下列判断错误的是( )
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的菱形是正方形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
5.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为( )
A. 25(1+x)+25(1+2x)=49B. 25(1−x)2=49
C. 25(1+x)2=49D. 25+25(1+x)+25(1+x)2=49
7.北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下：
根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是( )
A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位
B. 4月份最高气温出现在4月19日
C. 4月24日到4月25日气温上升幅度最大
D. 若记4月上旬(1日至10日)的最高气温的方差为s12，中旬(11日至20日)的最高气温的方差为s22，则s12>s22
8.如图1，在平面直角坐标系xOy中的四个点A(1,0),B(0,3),C(−1,0),D(0,−3)，恒过定点2,0的直线y=kx−2，与四边形ABCD交于点M，N(点M和N可以重合).根据学习函数的经验，线段MN的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2.下列说法正确的是( )
A. l是k的一次函数
B. 函数l有最大值为3
C. 当k>0时，函数 l随 k的增大而增大
D. 函数 l的图象与横轴的一个交点是32,0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y=1x−3中自变量x的取值范围是__________.
10.已知点Ax1,y1和Bx2,y2是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的两点，且x1”或“<”)
11.任意一个五边形的内角和为__________.
12.用配方法解方程x2−8x+2=0时，可将方程变为(x−m)2=n的形式，则m的值为__________.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=12x+2与直线l2：y=kx交于点P，则方程组y=12x+2y=kx的解是__________.
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF=5，则CD的长为__________.
15.如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=6，点E在AD上，DE=2.若EC平分∠BED，则BC的长为__________.
16.如图1所示，7×5的正方形网格中，阴影部分已被覆盖．现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3.

张顺同学在实践之后发现了三条结论：
(1)覆盖的方案有多种；
(2)在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是__________(填写序号)；
(3)有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是__________(填写序号).
请完善以上结论．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x2+2x−1=0.
18.(本小题8分)
已知一次函数的图象经过A0,−1,B−2,−2两点．
(1)画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式；
(2)若y轴上存在点P，使得△ABP的面积是3，求点P的坐标．
19.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在CB,AD的延长线上，且BE=DF，连接AE,CF.求证：AE=CF.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−m+3x+2+m=0.
(1)求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．
21.(本小题8分)
学校组织趣味运动会，某游戏项目需用长为40m的绳子圈定96m2的矩形区域，求这个矩形的长和宽．
22.(本小题8分)
数学课上，发现结论“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”后，张明同学又提出一个新的问题：过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，是否会过第三边的中点呢？
为研究此问题，同学们进行了作图，并将问题进行如下转述．
已知：在△ABC中，点D是AB中点，过点D作DE//BC，交AC于点E.
求证：AE=CE.
以下是两位同学给出的辅助线做法，请你选择其中一种做法，补全图形，完成证明．
23.(本小题8分)
为增强学生的消防安全意识，某校举行了一次全校学生参加的消防安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行分析，按成绩(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)分成四个等级(D：60≤x<70；C：70≤x<80；B：80≤x<90；A：90≤x≤100)，并根据分析结果绘制频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：n=________，m=________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形网格的每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在6×6的网格中完成画图，并回答问题．
(1)在图1中，点P是线段AB中点，请作出点C关于点P的对称点D；
(2)以点A，B为顶点的矩形中，存在顶点在函数y=2x的图象上：
①请在图2中作出一个符合要求的矩形；
②所有满足要求的矩形对角线长分别为________.
25.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交AB延长线于点E，过点E作EF//BC，交DC的延长线于点F.
(1)求证：四边形AEFD是菱形；
(2)若AD=4,∠BAD=120∘，求菱形AEFD的面积．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A(m,0).
(1)当该函数图象过点(3,5)时，求这个一次函数表达式；
(2)当m<−2时，求k的取值范围；
(3)当x<3时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+2的值大于y=2x−1的值，直接写出m的取值范围．
27.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点E和F分别在AB和BC上，且关于BD对称，连接AF，EF，过点F作FG⊥AF，点G在AF的右侧，且FG=AF，连接AG交BD于H，连接CG.
(1)请依题意补全图形，求证：EF=CG；
(2)猜想AH,GH的数量关系并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”．已知点：A2,2,B6,2,C2,0.
(1)点D1,1,E2,3，F−32,1中，是点C关于直线AB“平心点”的有________；
(2)若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围；
(3)已知点G6,5,H2,5,K0,−2，点P是线段CK上的动点(点P不与端点C，K重合)，若直线l：y=kx上存在点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180∘后与原图重合．
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了点的坐标，根据+,+,−,+,−,−,+,−分别对应为第一、二、三、四象限，进行判断，即可作答．
【详解】解：∵−2<0,3>0，
∴点P−2,3所在的象限是第二象限，
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解x=1代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键．
【详解】解：把x=1代入x2+mx+1=0
可得出：1+m+1=0，
解得：m=−2，
故选：B.
4.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，说法错误符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意；
故选：C.
5.【答案】A
【解析】【分析】根据直线y=kx+b经过一、二、四象限，可得k<0,b>0，即可求解．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k<0,b>0，
∴直线y=bx+k的图象经过一、三、四象限，
∴选项A中图象符合题意．
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为251+x万元，六月份的绿化投入为251+x2万元，
据此即可获得答案．
【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，
根据题意，可得25(1+x)2=49.
故选：C.
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据折线统计图提供的数据及方差意义作答即可．
【详解】解：A、由图可知，4月4日的最高气温在4月不是最低的．故本结论错误，不符合题意；
B、4月份最高气温出现在4月18日，故本结论错误，不符合题意；
C、由图可知，所以4月5日到4月6日气温上升幅度约为28−2020×100%=40%，4月24日到4月25日气温上升幅度约为28−2222×100%≈27.28%，所以4月24日到4月25日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，不符合题意；
D、由图可知，4月上旬(1日至10日)的最高气温在11∘C至28∘C徘徊，中旬(11日至20日)的最高气温在19∘C至28∘C徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，所以s12>s22.故本结论正确，符合题意；
故选：D.
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线y=0时，当l=0时，即MN=0时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断．
【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意；
B、由图2可知，当k=0时，l有最大值，
当k=0时，即直线y=0，
∴MN=AC=2
∴l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意；
C、由图2可知，当k>0时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
D、当l=0时，即MN=0时，
y=kx−2过0,−3，2,0两点或过0,3，2,0两点，
当0,−3，2,0过两点时，k=−32，函数l的图象与横轴的一个交点是32,0，正确，故选项D符合题意，
故选：D.
9.【答案】x≠3
【解析】【详解】根据题意得x−3≠0，
解得x≠3.
故答案为x≠3.
10.【答案】<
【解析】【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小，根据k>0可得出y随x的增大而增大，又x1【详解】解：∵y=kx+2(k>0)
∴y随x的增大而增大，
∵x1∴y1故答案为：<.
11.【答案】540∘/540度
【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式n−2×180∘(n≥3,且n为整数)，计算即可得出答案．
【详解】解：任意一个五边形的内角和为5−2×180∘=540∘，
故答案为：540∘.
12.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把常数项移到右边，在两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：x2−8x+2=0
x2−8x=−2
x2−8x+16=−2+16
x−42=14，
故m=4，
故答案为：4.
13.【答案】x=2y=3
【解析】【分析】本题考查了两直线交点坐标为二元一次方程组的解，由图可知两直线的交点P2,3，即可得出方程组的解．
【详解】解：∵直线l1：y=12x+2与直线l2：y=kx交于点P，
∵P2,3，
∴方程组y=12x+2y=kx的解为：x=2y=3，
故答案为：x=2y=3.
14.【答案】5
【解析】【分析】由题意知，EF是△ABC的中位线，CD是Rt△ABC斜边的中线，则EF=12AB，CD=12AB，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，EF是△ABC的中位线，CD是Rt△ABC斜边的中线，
∴EF=12AB，CD=12AB=EF=5，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15.【答案】10
【解析】【分析】本题考查了矩形性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，根据矩形性质得到AD//BC，AD=BC，根据两直线平行内错角相等结合角平分线定义得出∠BEC=∠BCE，从而得到BE=BC，设BE=BC=x，AE=x−2，则在Rt△BAE中，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠BED，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC，
设BE=BC=x，
∵DE=2，
∴AE=AD−DE=x−2，
在Rt△BAE中，BE2=AB2+AE2，即x2=62+x−22，
解得：x=10，
∴BC=10.
故答案为：10.
16.【答案】①
④

【解析】【分析】本题主要考查了组合排列问题，正确理解题意是解题关键．.
【详解】解：根据题意，可有以下几种方案：
方案1 方案2 方案3
所以，(1)覆盖的方案有多种；
(2)在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是①；
(3)有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是④．
故答案为：(2)①；(3)④．
17.【答案】解：x2+2x−1=0，
∵Δ=22−4×1×−1=8>0，
∴x=−2± 22−4×1×−12×1=−2±2 22=−1± 2，
∴x1=−1− 2，x2=−1+ 2.

【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
18.【答案】(1)解：如图，在图中描出A,B点，连接AB即可得出函数图象，
设一次函数解析式为：y=kx+b，
∴b=−1−2=−2k+b，解得：k=12b=−1，
∴一次函数解析式为：y=12x−1；
(2)设P0,m，
∴S△ABP=12m+1×2=3，
∴m+1=3，
∴m=2或m=−4，
∴P0,2或0,−4.

【解析】【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求解一次函数解析式，画函数图象，准确求出函数解析式是解题关键．
(1)在图中描出A,B点，连接AB即可得出函数图象，用待定系数法求解一次函数解析式即可；
(2)设P0,m，根据△ABP的面积是3，得到S△ABP=12m+1×2=3，求出m的值即可得出结果．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵点E，F分别在BC,AD边上，BE=DF，
∴AD+DF=BC+BE，即AF=CE，
又∵AD//BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF.

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF，从而即可得出结论．
20.【答案】(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2−m+3x+2+m=0，
∴Δ=(m+3)2−4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根.
(2)解：设方程的两个实数根为x1，x2，
x=m+3±(m+1)2，
∴x1=m+2，x2=1，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴m+2>2，
解得：m>0，
∴m的取值范围m>0.

【解析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键.
(1)根据一元二次方程判别式为m+12≥0，即可解答；
(2)解方程，求得x1=m+2，x2=1，根据题意得到m+2>2，解不等式即可．
21.【答案】解：设矩形的长为xm，则矩形的宽为：20−xm，
依题意可得方程∶x⋅20−x=96
整理得：−x2+20x−96=0，
解得：x1=12，x2=8，
∴当x=12时，20−x=8m，
当x=8时，20−x=12m，
故矩形的长为12m，矩形的宽为8m.

【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为xm，则矩形的宽为：20−xm，依题意可得方程∶x⋅20−x=96，解一元二次方程即可求解．
22.【答案】张明同学：
证明：延长ED到点F，使得DF=DE，连接BF.
∵点D是AB中点，
∴DA=DB，
在△BDF和△ADE中
DF=DE∠BDF=∠ADEDA=DB，
∴△BDF≌△ADESAS，
∴BF=AE，∠FBD=∠EAD，
∴BF//EC，
又∵FE//BC，
∴四边形FBCE是平时四边形，
∴BF=CE，
∴AE=EC.
李宏同学：
证明：过点E作EF//DB，交BC于点F.
∵DE//BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=DB，
∵点D是AB中点，
∴DA=DB，
∴EF=AD，
∵EF//AB，
∴∠A=∠FEC，∠B=∠EFC，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE≌△EFCASA，
∴AE=EC.

【解析】【分析】本题主要考查了平时四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．张明同学：延长ED到点F，使得DF=DE，连接BF.先证明△BDF≌△ADESAS，利用全等三角形的性质可得出BF=AE，∠FBD=∠EAD，进一步证明四边形FBCE是平时四边形，由平行四边形的性质可得出BF=CE，等量代换可得出AE=EC.
李宏同学：过点E作EF//DB，交BC于点F.先证明四边形DBFE是平行四边形，由平行四边形的性质可得出EF=DB，进一步证明EF=AD，再证明△ADE≌△EFCASA，由全等三角形的性质即可得出答案．
23.【答案】(1)解：n=32÷16%=200，
72200×100%=36%，
∴m=36
故答案为：200，36；
(2)D等的学生人数为：200−72−80−32=16(人)，
补全条形图如下：

(3)1000×16%=160(人)，
答：估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为160人．

【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体，能从频数分布直方图及扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
(1)利用A等的百分比及频数可求得n，利用C等的频数除以总人数再乘100%即可求解；
(2)利用先求出D等学生人数，再根据D等学生人数进行补全频数分布直方图即可；
(3)利用样本评估总体的方法即可求解．
24.【答案】(1)解：如图所示：点D即为所求；
(2)①如图所示：矩形ABCD或矩形ACBD即为所求；
②由①得矩形ABCD对角线的长度为AC=5，矩形ACBD对角线的长度AB= 22+42=2 5，
∴满足要求的矩形对角线长分别为5或2 5，
故答案为：5或2 5.

【解析】【分析】题目主要考查利用网格作图及矩形的性质，网格与勾股定理，理解题意，利用网格作图是解题关键．
(1)根据矩形的性质及网格即可作图；
(2)①先作出直线y=2x，然后利用矩形的性质即可作图；②根据①中图及网格，求出矩形的对角线长即可．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∵EF//BC，
∴EF//AD
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵EF//AD，
∴∠DEF=∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE，
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴平行四边形AEFD是菱形；
(2)如图，过A作AG⊥DC，
∴∠AGD=90∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=4，∠BAD=120∘，
∴∠ADC=60∘，
∴∠DAG=30∘，
∴DG=12AD=2，
∴AG= AD2−GD2=2 3，
∵四边形AEFD是菱形，
∴DF=AD=4，
∴S菱形ADFE=DF∙AG=4×2 3=8 3.
∴四边形AEFD的面积为8 3.

【解析】【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形，三角函数等知识．解题的关键是解直角三角形．
(1)首先证明四边形AEFD是平行四边形，再证EF=DF，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)过A作AG⊥DC，利用含30度角的直角三角形性质及及勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
26.【答案】(1)将点(3,5)代入y=kx+2，得3k+2=5，
解得k=1.
所以一次函数关系式为y=x+2；
(2)将点A(m,0)代入y=kx+2，得mk+2=0，
即m=−2k.
∵m<−2，
∴−2k<−2，
当k>0时，k<1.
即0当k<0时，k>1(舍).
所以k的取值范围为0(3)−2≤m≤−1.
当x=3时，y=2×3−1=5.
将(3,5)代入y=kx+2，得k=1，
∴当1≤k≤2时，一次函数y=kx+2的值大于y=2x−1的值，
解得−2≤m≤−1.

【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合问题，求一次函数关系式，对于(1)，将坐标代入关系式可得答案；
对于(2)，将点A的坐标代入关系式，可得关于m，k的关系式，进而得出不等式，求出解集即可；
对于(3)，将x=3代入y=2x−1，求出交点坐标，进而求出m的值，即可得出答案．
27.【答案】(1)解：补全图形如下：
∵E,F分别在AB和BC上，且关于BD对称，
∴BD垂直平分EF，
∵ABCD为正方形，
∴BE=BF，
∴AE=FC，
∵∠AFG=90∘，
∴∠CFG+∠AFB=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠EAF+∠AFB=90∘，
∴∠CFG=∠EAF，
在△AEF与△FCG中，
AF=FG∠EAF=∠CFGAE=FC，
∴△AEF≌△FCGSAS，
∴EF=CG；
(2)解：如图，过点G作GK垂直于BC的延长线于点K，过点F作FI⊥AD于点I，交BD于点N，连接EG，
则四边形ABFI为矩形，
∴∠BFI=90∘,BF=AI
∵BD垂直平分EF，
∴四边形BENF为正方形，
∴四边形NFKG为矩形，
∵∠FCG=∠AEF，EF=CG，
∴∠BEF=∠KCG，
∵∠EBF=∠CKG=90∘
∴EB=BF=CK=KG
∴四边形MCKG为正方形，
∴MG=CK=GK=BE=BF=AI，
∴ID=MN，
∴AI+ID=MG+MN，即AD=NG，
∵AD//EG，
∴∠HGN=∠DAH，
∵∠AHD=∠GHN，
∴△AHD≌△GHN，
∴AH=GH.

【解析】【分析】(1)根据题中要求画出图像，通过垂直平分线性质，正方形性质证明△AEF≌△FCG即可得出结论；
(2)过点G作GK垂直于BC的延长线于点K，过点F作FI⊥AD于点I，交BD于点N，连接EG，证明四边形BENF为正方形，四边形NFKG为矩形，四边形BENF为正方形，得到AD=NG，再利用两直线平行内错角相等，对顶角相等即可得出△AHD≌△GHN从而得到AH=GH.
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造矩形，正方形是解题关键．
28.【答案】(1)解：根据题意作图如下：
A2,2,B6,2,C2,0，O0,0，D1,1，
直线AB所在直线为y=2，
设直线OD所在直线为y=mx，
将点D1,1代入得：m=1，
∴y=x，
交直线y=2于点2,2，
设直线CD所在直线为y=nx+d，
0=2n+d1=n+d，解得n=−1d=2，
∴直线CD所在直线为y=−x+2，
交直线y=2于点4,2，
∴两个交点之间的距离为4−2=2，
∵AB所在直线平行于x轴，
∴四边形为平行四边形，符合题意；
同理点E不符合题意；点F符合题意；
故答案为：D、F；
(2)根据题意结合图象，连接AC，则中点J2+22,0+22即J2,1，
连接OB，则中点J10+62,0+22即J13,1，
∴2≤a≤3；
(3)根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点，
如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形，
根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，
平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，
当落在左下角时，如图所示：
点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由(2)得点M接近AB中点2,4，
OM所在直线即为直线l：y=kx，
将点A2,2代入得：k=1，
将点2,4代入得：k=12，
∴12当落在右上角时，如图所示：
点P接近点K时，点M接近点G6,5，
点P接近点C时，G6,5,K0,−2，点M接近点6,3，
OM所在直线即为直线l：y=kx，
将点G6,5代入得：k=56，
将点6,3代入得：k=12，
∴12综上可得：12
【解析】【分析】题目主要考查新定义，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质，坐标与图形，理解题意，结合图象求解是解题关键．
(1)根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解；
(2)根据题意结合图象，得出点J的运动轨迹为点JJ1，即可求解；
(3)“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形，根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可．
张明同学：作辅助线：延长 ED到点F，使得DF=DE，连接BF.
李宏同学：作辅助线：过点 E作EF//DB，交BC于点F.