2023-2024学年北京市海淀区清华大学附属中学八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华大学附属中学八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一次函数y=3−mx+3，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为−3,4，则顶点B的坐标是( )
A. −5,4B. −6,3C. −8,4D. 2,4
3.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k≤1C. k<1且k≠0D. k≤1且k≠0
4.某校篮球社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数B. 众数，中位数C. 众数、方差D. 平均数、方差
5.函数y=ax2−2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.关于x的一元二次方程x2−x=1的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
7.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30∘角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t−5t2.下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到15mB. 小球的飞行高度可以达到25m
C. 小球从飞出到落地要用时4sD. 小球飞出1s时的飞行高度为10m
8.下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间(单位：秒)，则下列说法正确的是( )
A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
9.已知两组数据(1)3005，3005，3003，3000，2994；(2)5，5，3，0，−6.设第一组数据的平均值为x1，方差为s12，设第二组数据的平均值为x2，方差为s22，下列结论正确的是( )
A. x1>x2，s12x2，s12>s22
C. x1=x2，s12=s22D. x1>x2，s12=s22
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
10.如果函数y=k−1xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k=__________.
11.将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________.
12.2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程__________________.
13.若点A0,y1，B12,y2，C3,y3在抛物线y=x−12+k上，则y1，y2，y3的大小关系为__________(用“>”连接).
14.如图，二次函数y=2x−12+k的图象与y轴的交点坐标为0,1，若函数值y<1，则自变量x的取值范围是__________.
15.若抛物线y=x2−2x+k−2与x轴有公共点，则k的取值范围是__________.
16.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y=__________.
17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点−1,−1和0,1，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根；
③a>2；
④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则x1+x2>−2.其中正确的有__________.
18.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__________米．
19.超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=−5x+150(10≤x≤30)，则利润w和售价x之间的函数关系为__________，该商品售价定为__________元/件时，每天销售该商品获利最大．
20.已知抛物线y=x2−2mx−1≤m≤2经过点A(p,t)和点B(p+2,t)，则t的最小值是__________.
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程：
(1)x2=6x−1
(2)x−22=3x−2.
22.(本小题8分)
已知a是关于x的一元二次方程x2−x−4=0的一个根，求代数式a−22+a−1a+3的值．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0.
(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点A3,5,B−2,0，且与 y轴交于点C.
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当x<2时，对于 x的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+bk≠0的值，直接写出n的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠CAB=90∘，点D，E分别是BC,AC的中点．连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF,CF,AD.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)连接BF.若∠ACB=60∘，AF=2，求BF的长．
26.(本小题8分)
商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本(单位：元)的相关公式和部分信息：
a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
售价涨跌幅=当周售价−前周售价前周售价×100%，成本涨跌幅=当周成本−前周成本前周成本×100%；
b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
c.甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
(2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
(3)记乙商品这40周售价的方差为S12，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为S22，则S12________S22；(填“>”“=”或“<”).
27.(本小题8分)
小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB=1.5m.
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=−0.2x−2.52+2.35.
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；
(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1______d2(填“>”，“<”或“=”).
28.(本小题8分)
如图1，正方形ABCD的边长为2 2，对角线AC,BD交于点O，点P从点A出发，沿线段AO→OB运动，点P到达点B时停止运动．若点 P运动的路程为x，△DPC的面积为y，探究y与x的函数关系．
(1)x与y的两组对应值如下表，则m=______________；
(2)当点P在线段AO上运动时，y关于x的函数解析式为y=−x+40≤x≤2.当点P在线段OB上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________；
(3)①在图2中画出函数图象；
②若直线y=12x+b与此函数图象只有一个公共点，则b的取值范围是_________________.
29.(本小题8分)
甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩．该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口A,B,C.
(1)园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下：
I. 确定距离自己最近的入口；
II.如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；
III.如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园．
①若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为；
②若甲、乙最终在 B入口处入园，则乙下车的站点可以为；
(2)丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系xOy，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为(0,4),(−4,0),(4,0).园区内有行驶路线为CG的摆渡车(乘客可以在路线上任意一点上下车).点G坐标为(−3,1).丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”．
①如果丙希望在 a最小处下车，则点M的坐标为_______________；
②若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为 m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________.
30.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C:y=x2+x和直线l:y=x+b给出如下定义：过抛物线C上一点Ax0,y1作垂直于x轴的直线AB，交直线l于点Bx0,y2，若存在实数y0满足y1≤y0≤y2，则称点Px0,y0是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
(1)若b=2，
①在点P10,0，P2−1,2，P31,3，P4 2, 2中，抛物线C的“如意点”是______；
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值______；
(2)若边长为2 2的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数y=3−mx+3的增减性列出不等式3−m<0，通过解该不等式即可求得m的取值范围．
【详解】解：由题意得3−m<0，
解得m>3.
故选：A.
2.【答案】C
【解析】【分析】先利用两点之间的距离公式可得OA=5，再根据菱形的性质可得AB//OC,AB=OA=5，由此即可得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为−3,4，
∴OA= −3−02+(4−0)2=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB//OC,AB=OA=5，
∴点B的横坐标为−3−5=−8，纵坐标与点A的纵坐标相同，即为4，
即B−8,4，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根可知道判别式大于等于零且k≠0，解不等式即可求解．
【详解】解：∵方程kx2−6x+9=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=−62−4×9k=36−36k≥0，k≠0，
∴k≤1，且k≠0.
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式Δ=b2−4ac<0时，一元二次方程没有实数根．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：8+12+10=20，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+142=14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；
故选：B.
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，故选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−2x+1的对称轴x=−−22a<0，故选项错误．
故选：C.
6.【答案】A
【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式Δ=−12−4×1×−1=5>0判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】整理为一般式为x2−x−1=0，
∵Δ=−12−4×1×−1=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
7.【答案】C
【解析】【分析】直接利用h=15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【详解】A、当h=15时，15=20t−5t2，
解得：t1=1，t2=3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h=20t−5t2=−5(t−2)2+20，
故t=2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h=0时，0=20t−5t2，
解得：t1=0，t2=4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t=1时，h=15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选C.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了平均数，中位数和方差的概念，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；根据定义即可判断.
【详解】解：A.乙选手的最短复原时间大于甲选手的最短复原时间，故不符合题意；
B.丙选手复原时间的平均数为：26.25，丁选手复原时间的平均数为：29.625，丙选手复原时间小于丁选手复原时间，故不符合题意；
C.甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数，故符合题意；
D.乙选手复原时间的方差小于丁选手复原时间的方差，故不符合题意.
故选：C
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出两组数据的平均数，再求出方差即可求解．
【详解】解：(1)的平均数为：3005×2+3003+3000+29945=3001.4，
方差是：153005−3001.42×2+3003−3001.42+3000−3001.42+2994−3001.42=17.04，
(2)的平均数是：5×2+3+0−65=1.4，
方差是：155−1.42×2+3−1.42+0−1.42+−6−1.42=17.04，
∴x1>x2，s12=s22，
故选：D.
10.【答案】0
【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到k−1≠0且k2−k+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．
【详解】解：根据题意，得k−1≠0且k2−k+2=2，
解得k=0.
故答案为：0.
11.【答案】y=2(x−3)2+2
【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；
【详解】将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：y=2x−32+2，
故答案为：y=2(x−3)2+2；
12.【答案】21+x2=4.2
【解析】【分析】本题考查列一元二次方程，根据题意，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，由平均增长率问题直接列方程即可得到答案，熟练掌握平均增长率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则由题意可得
21+x2=4.2，
故答案为：21+x2=4.2.
13.【答案】y3>y1>y2
【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断y1，y2，y3的大小关系．
【详解】解：抛物线解析式为y=x−12+k，则抛物线的对称轴为直线x=1，
故点C关于对称轴的对称点D的坐标为(−1,y3)，
而−1<0<12<1，且a=1>0，
所以当x<1时，函数值随自变量的增大而减小，
故y3>y1>y2，
故答案为：y3>y1>y2.
14.【答案】0【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，正确根据题意求出二次函数图象经过点2,1是解题的关键．
先根据解析式求出对称轴为直线x=1，进而得到二次函数图象经过点2,1，再由二次函数开口向上，则离对称轴越近函数值越小进行求解即可．
【解答】
解：∵二次函数解析式为y=2x−12+k，
∴二次函数对称轴为直线x=1，
∵二次函数图象经过点0,1，
∴二次函数图象也经过点2,1，
∵二次函数开口向上，
∴离对称轴越近函数值越小，
∴当y<1时，0故答案为：015.【答案】k≤3
【解析】【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题．熟练掌握抛物线与x轴有交点：Δ≥0，是解题的关键．根据抛物线与x轴有交点，Δ≥0，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线y=x2−2x+k−2与x轴有交点，
∴x2−2x+k−2=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×k−2≥0，
解得：k≤3；
故答案为：k≤3.
16.【答案】−x2+10x+600
【解析】【分析】每件降价x元，每件商品的利润为100−x−70元，日销售量为20+x件，求解即可．
【详解】解：每件降价x元，每件商品的利润为100−x−70元，日销售量为20+x件，
则每天的利润y=100−x−7020+x=−x2+10x+600
故答案为：−x2+10x+600
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的求解．
17.【答案】①②③④
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
①③当x=0时，c=1，由点(−1,−1)得a=b−2，由x=−2时，与其对应的函数值y>1可得b>4，进而得出abc>0，再判断a的范围；
②将a=b−2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；
④由a=b−2，c=1，可得(b−2)x2+bx+1=0，所以x1+x2=−bb−2=−1−2b−2，再根据b的范围求解后即可判断．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，
∴c=1，a−b+c=−1，
∴a=b−2，
∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1.
∴4a−2b+1>1，
∴4(b−2)−2b+1>1，解得：b>4，
∴a=b−2>0，
∴abc>0，
∵a=b−2，b>4，
∴a>2，
故①③正确；
∵a=b−2，c=1，
∴(b−2)x2+bx+1+1=0，即(b−2)x2+bx+2=0，
∴Δ=b2−4×2×(b−2)=b2−8b+16=b−42，
∵b>4，
∴Δ>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根，故②正确；
∵a=b−2，c=1，
∴(b−2)x2+bx+1=0，
∴x1+x2=−bb−2=−1−2b−2，
∵b>4，
∴x1+x2=−1−2b−2>−2，
故④正确；
故答案为：①②③④
18.【答案】8 10
【解析】【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将y=6代入函数解析式求出x的值即可得到答案
【详解】解：当y=6时，则y=−140x2+10=6，
解得x=±4 10
∴EF=4 10−−4 10=8 10(米)
故答案为8 10
19.【答案】w=−5x2+200x−1500(10≤x≤30)
20

【解析】【分析】根据利润=每件商品利润×销售量，可得利润w和售价之间的函数关系式；利用配方法，求所得二次函数的最大值即可得出结论．
【详解】解：∵某商品进价10元/件，售价x(元/件)，
∴每件商品的利润为：(x−10)元；
∵销售量y(件)为：y=−5x+150(10≤x≤30)，
∴利润w和售价x之间的函数关系为：w=(x−10)(−5x+150),(10≤x≤30)，
∴w=−5x2+200x−1500(10≤x≤30)；
∴w=−5(x−20)2+500，
∵−5<0，
∴w有最大值，
∴当x=20时，w取最大值，最大值为500；
故答案为：w=−5x2+200x−1500(10≤x≤30)；20.
【点睛】此题考查二次函数的应用，正确读懂题意、列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
20.【答案】−3
【解析】【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1=m，即可得到p=m−1，由抛物线y=x2−2mx−1≤m≤2经过点Ap,t和点Bp+2,t得到t=p2−2mp=m−12−2mm−1=−m2+1，结合−1≤m≤2即可确定t的最小值．
【详解】解：∵抛物线y=x2−2mx，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2m2×1=m，
∵抛物线y=x2−2mx−1≤m≤2经过点Ap,t和点Bp+2,t，
∴点Ap,t和点Bp+2,t关于对称轴对称，t=p2−2mp，
∴p+p+22=m，即p+1=m，
∴p=m−1，
∴t=m−12−2mm−1=−m2+1，
∵−1≤m≤2，2−0>−1−0，
∴m=2时，t有最小值为：−4+1=−3.
故答案为：−3.
21.【答案】(1)解：x2=6x−1
则x2−6x+1=0
∵a=1,b=−6,c=1，
∴Δ=−62−4=32，
∴x=−b± b2−4ac2a=6±4 22=3±2 2，
∴x 1=3+2 2,x2=3−2 2
(2)解：x−22=3x−2，
∴x−22−3x−2=0
∴(x−2)(x−5)=0，
∴x−2=0或x−5=0，
∴x1=2,x2=5；

【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
(1)变形为一般形式后，用公式法解方程即可；
(2)变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．
22.【答案】解：a−22+a−1a+3
=a2−4a+4+a2+3a−a−3
=2a2−2a+1，
∵a是关于x的一元二次方程x2−x−4=0的一个根，
∴a2−a−4=0，
∴a2−a=4，
∴原式=2a2−a+1
=2×4+1
=9

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式2a2−2a+1，利用一元二次方程根的定义得到a2−a=4，然后利用整体代入的方法计算．
23.【答案】解：(1)证明：∵△=b2−4ac=−m+32−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)解：由求根公式，得x=m+3± m+122，
∴x1=1，x2=m+2，
∵方程的两个根均为正整数，
∴m+2>0，
∴m>−2，
又∵m为负整数，
∴m=−1.

【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，及解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程．
(1)先找出a，b和c，再证明根的判别式恒大于或等于0即可；
(2)根据公式法求出方程的解，根据方程的两个根为正整数，列不等式求解即可．
24.【答案】解：(1)根据题意得3k+b=5−2k+b=0，解得k=1b=2，
∴一次函数解析式为y=x+2，
当x=0时，y=x+2=2，
∴C(0,2)；
(2)当x=2时，y=x+2=4，
把点(2,4)代入y=−3x+n，得−6+n=4，解得n=10，
∴当n≥10时，对于x<2的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；
(2)先利用(1)中解析式计算x=2时，y=4，再把点(2,4)代入y=−3x+n中得到n=10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点．
25.【答案】(1)证明：∵点E是AC的中点，
∴AE=EC.
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵在△ABC中，∠CAB=90∘，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC.
∴四边形ADCF是菱形．
(2)解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.
∴∠BGF=90∘.
∵四边形ADCF是菱形，∠ACB=60∘,AF=2，
∴CF=DC=AF=2,∠ACF=∠ACD=60∘.
∴∠FCG=180∘−∠ACF−∠ACD=60∘.
∴∠GFC=90∘−∠FCG=30∘.
在△CFG中，∠CGF=90∘,∠GFC=30∘，
∴CG=12CF=1.
∴FG= CF2−CG2= 3.
∵BD=CD=2.
∴BG=BD+CD+CG=5.
在△BFG中，∠BGF=90∘，
∴BF= BG2+GF2=2 7.

【解析】【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键.
(1)根据AE=EC.EF=DE，先求证四边形ADCF是平行四边形；结合AD=BD=DC即可求证；
(2)过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.根据勾股定理分别求出BG,FG即可求解．
26.【答案】解：(1)由题意知，成本从小到大依次排序为20,25,25,40,50；
∴甲商品这五周成本的平均数为20+25×2+40+505=32，
中位数为第3个位置的数即中位数是25，
故答案为：32，25.
(2)解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为50−2525×100%=100%，
∴第二周售价的涨跌幅为m−4040×100%=100%×12，
解得，m=60.
同理，第四周成本的涨跌幅为60%，第四周售价的涨跌幅为n−4545×100%=60%×12，
解得，n=58.5.
第五周成本的涨跌幅为−50%，第五周售价的涨跌幅为p−58.558.5×100%=−50%×12，
解得，p=43.875；
∵43.875<45<58.5，
∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高．
故答案为：60，四．
(3)解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，
∵12>14，
∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，
∴s12>s22，
故答案为：>.

【解析】(1)由题意知，成本从小到大依次排序为20,25,25,40,50；则甲商品这五周成本的平均数为20+25×2+40+505，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；
(2)由题意知，第二周成本的涨跌幅为50−2525×100%=100%，第二周售价的涨跌幅为m−4040×100%=100%×12，可求m=60；同理可求n=58.5；p=43.875；根据43.875<45<58.5，作答即可；
(3)由12>14，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即s12>s22，然后作答即可．
本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键．
27.【答案】(1)当x=0时，y=−0.2(0−2.5)2+2.35=1.1，
故击球点的高度为1.1m；
(2)由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−3)2+2，
过点(4,1.9)，
∴1.9=a(4−3)2+2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为：y=−0.1(x−3)2+2；
(3)∵第一次练习时，当y=0时，0=−0.2(x−2.5)2+2.35.
解得x1= 11.75+2.5，x2=− 11.75+2.5<0(舍去)，
∴d1= 11.75+2.5−1.5= 11.75+1，
∵第二次练习时，当y=0时，0=−0.1(x−3)2+2.
解得x1=2 5+3，x2=−2 5+3<0(舍去)，
∴d2=2 5+3−1.5=2 5+1.5，
∵ 11.75+1<2 5+1.5，
∴d1故答案为：<.

【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
(1)令y=−0.2(x−2.5)2+2.35中x=0，求出y的值即可(或由表格信息直接得出)；
(2)根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；
(3)分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．
28.【答案】(1)解：当x=0时，P点与A点重合，随着x的增大，y先减小，后增大，当点P与点B重合时，与点P在点A时，△DPC的面积相同，
∵正方形ABCD，
∴OA=OB，OA⊥OB，
∴OA=OB= 22AB=2，
∴当点P与点B重合时，x=OA+OB=4，
∴m=4；
故答案为：4；
(2)∵y=−x+40≤x≤2，
∴当x=2时，y=2，
当点P在OB上运动时：2≤x≤4，
设当点P在线段OB上运动时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，
由题意，图象经过点2,2,4,4，
∴2k+b=24k+b=4，解得：k=1b=0，
∴y=x2≤x≤4；
故答案为：y=x，2≤x≤4；
(3)①∵y=−x+40≤x≤2，
∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=2，
∵y=x2≤x≤4经过点2,2,4,4，
∴画图如下：
②如图，当直线y=12x+b经过点2,2时，则：2=12×2+b，解得b=1，
当直线y=12x+b经过点4,4时，则：4=12×4+b，解得b=2，
当直线y=12x+b经过点0,4时，则：b=4，
∵直线y=12x+b与此函数图象只有一个公共点，
∴b=1或2
【解析】【分析】本题考查动点的函数图象，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
(1)根据题意，得到到点P运动到点B时，与点P在点A时，△DPC的面积相同，进行求解即可；
(2)求出x=2时的函数值，根据点P在OB上运动时的函数为一次函数，且过O,B两点，待定系数法求出函数解析式，进而表示出x的取值范围即可；
(3)描点法画出函数图象，数形结合求出b的取值范围即可．
29.【答案】(1)解：①根据题意得甲、乙入园的入口应为：B，
②由题意得：若甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：
第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，则乙下车的站点为：4号车站，
第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园，
故答案为：① B；②3号车站，4号车站；
(2)解：①∵M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，
当AO⊥x轴且与CG交点时，此时a有最小值，
设CG直线解析式为y=kx+b(k≠0)，
将G(−3,1),C(4,0)代入即可：−3k+b=14k+b=0，解得：k=−17b=47，
∴y=−17x+47，
∵AO⊥x轴且与CG相交时，此时正好为一次函数CG与y轴的交点，
∴令x=0，则y=47，
∴M(0,47)，
故答案为：(0,47)；
②如图所示，
设CG交y轴于点D，由①可得D点为A，B，C “理想入口”，则D一定在长度为m的路段上，
作AB,AC的垂直平分线OE,OF，分别交CG于点P,Q，连接AQ，
则GP段存在B的“理想入口”，PQ段存在A的“理想入口”，CQ段存在C的“理想入口”，
∵△AGC是直角三角形，QA=QC，
∴90∘−∠QAG=∠QAC=∠QCA=90∘−∠QGA
∴∠QAG=∠QGA
∴AQ=CQ=QG
∴m的最小值为CQ+PQ，
∵A0,4,B−4,0
∴E−2,2，
设直线OE的解析式为y=kx
将E−2,2代入y=kx，则k=−1
∴直线OE的解析式为y=−x
联立y=−17x+47y=−x
解得：x=−23y=23
∴P−23,23
∴PC= 4+232+232=10 23
∴m的最小值为10 23，
故答案为：10 23.

【解析】【分析】(1)①根据题意，即可求解；
②根据甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园；
(2)①设CG交y轴于点D，根据题意可得D点为A，B，C “理想入口”，即为M点的坐标；
②作AB,AC的垂直平分线OE,OF，分别交CG于点P,Q，连接AQ，证明AQ=CQ=QG，则GP段存在B的“理想入口”，PQ段存在A的“理想入口”，CQ段存在C的“理想入口”，m的最小值为CQ+PQ，然后求得点P的坐标，根据勾股定理，即可求解．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
30.【答案】(1)解：①在y=x2+x中，当x=0时，y=0，x=−1时，y=0，x=1时，y=2，x= 2时，y=2+ 2；
在y=x+2中，当x=0时，y=2，x=−1时，y=1，x=1时，y=3，x= 2时，y=2+ 2；
∵0<2，0<1<2，2<3， 2<2+ 2，
∴只有P10,0，P31,3是抛物线C的“如意点”，
故答案为：P1、P3；
②点E是点D与抛物线C的“称心点”，
∴点E和点D关于直线y=x+2对称，
∴DE的长等于点D到直线y=x+2的距离的两倍，
∴当点D到直线y=x+2的距离最大时，DE有最大值，
根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线y=x+2围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点，
∴当平行于直线y=x+2的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，
设直线y=x+t恰好与抛物线y=x2+x有一个交点，
联立y=x+ty=x2+x得x2−t=0，
∴Δ=02+4t=0，
解得t=0，
∴x2−0=0，解得x=0，
∴此时点D与原点重合；
如图所示，设直线y=x+2分别与x轴，y轴交于G、H，则G−2,0,H0,2，
∴OG=OH=2，
∴GH= OG2+OH2=2 2，
设DE、GH交于H，则DH⊥GH，
∴12OH⋅GH=12OG⋅OH，
∴12×2 2OH=12×2⋅2，
∴OH= 2，
∴DE最大=2 2，
故答案为：2 2；
(2)解：由(1)可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域(包括边界)，
∴抛物线C的“称心点”一定在直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域外面，
∵边长为2 2的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，
∴正方形R1R2R3R4边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形R1R2R3R4边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大，
∴当恰好正方形R1R2R3R4上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线y=x+b一定经过正方形R1R2R3R4的一条对角线，
此时有R1R2//x轴，
∴此时R1、R2关于抛物线对称轴对称，即关于直线x=1−2=−12对称，
∴R1的横坐标为−12− 2，
在y=x2+x中，当x=−12− 2时，y=−12− 22+−12− 2=74，
∴R1−12− 2,74+ 2，
把R1−12− 2,74代入y=x+b中得−12− 2+b=74，
∴b=94+ 2，
∴b的最小值即为94+ 2.

【解析】【分析】(1)①分别求出当x=0时，x=−1时，x=1时，x= 2时，两个函数的函数值，再根据“如意点”的定义判断即可；②根据题意可得点E和点D关于直线y=x+2对称，则当点D到直线y=x+2的距离最大时，DE有最大值，根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线y=x+2围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点，则当平行于直线y=x+2的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，据此求出点D的坐标，进而求出点D到直线y=x+2的距离即可得到答案；
(2)由(1)可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域(包括边界)，则抛物线C的“称心点”一定在直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域外面，则正方形R1R2R3R4边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形R1R2R3R4边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大，故当恰好正方形R1R2R3R4上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线y=x+b一定经过正方形R1R2R3R4的一条对角线，此时R1、R2关于抛物线对称轴对称，则可得到R1−12− 2,74+ 2，把R1−12− 2,74代入y=x+b中得−12− 2+b=74，则b=94+ 2，即b的最小值即为94+ 2.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，一次函数与几何综合等等，解题的关键在于理解题意得到抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域(包括边界).
年龄(单位：岁)
13
14
15
16
频数(单位：名)
8
12
x
10−x
甲
20.2





29.3
30.7




38.3



乙











37.6

38.4
39.1
39.3
丙

20.3
20.4


28.2




36.1





丁



22.9
27.8



33.5
34.3







第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
25
50
25
40
20
售价
40
m
45
n
p
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9
x
0
…
m(m≠0)
y
n
…
n