2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数05第8讲二次函数与幂函数（课件+解析试卷）

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1．如图所示是4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
2．已知幂函数f(x)＝(a2－3a－3)xa在(0，＋∞)上为增函数，则实数a的值为(　　)A．1B．2C．3D．4
5．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在[a，3]上的值域为[2，6]，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．[－2，－1]C．[－1，1]D．[－2，1]
　　　　因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，且f(1)＝2，f(3)＝6，f(－1)＝6，所以根据图象可得－1≤a≤1．
1．二次函数的三种表示方法(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
3．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程f(x)＝0的实根．(2)当________时，f(x)＞0恒成立；当________时，f(x)≤0恒成立．(结论成立的条件是x∈R)
4．幂函数的图象与性质
(1)幂函数在_____________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α＞0时，幂函数的图象都过点__________与__________，且在(0，＋∞)上单调________；(4)当α＜0时，幂函数的图象都________点(0，0)，且在(0，＋∞)上单调________．
　　　有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　)A．f(x)＝x－2B．f(x)＝x－1
　　　　对于A，f(x)＝x－2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(－∞，0)上是增函数，满足条件；对于B，f(x)＝x－1是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在(－∞，0)上是减函数，不满足条件；对于C，f(x)＝x3是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上是增函数，不满足条件；
幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式；(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
变式　(2)(多选)已知函数y＝xm2－5m＋4(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为(　 　)A．1B．2C．3D．4
　　　　因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋4＜0，解得1＜m＜4．又m∈Z，所以m＝2或m＝3．当m＝2时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意；当m＝3时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意．综上，m＝2或m＝3．
　　　已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．(1)求f(x)的解析式；
　　　　 由已知，f(0)＝f(2)＝3，可得对称轴为x＝1．由题意可设f(x)＝m(x－1)2＋1，m＞0，由f(0)＝3，得m＝2，所以f(x)＝2x2－4x＋3．
　　　已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围；
　　　已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．(3)若x∈[t，t＋2]，试求y＝f(x)的最小值．
　　　　 若t≥1，则f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝2t2－4t＋3；若t＋2≤1，即t≤－1，则f(x)在[t，t＋2]上单调递减，f(x)min＝f(t＋2)＝2t2＋4t＋3；若t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则f(x)min＝1．
(1)关键是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大值、最小值的分布情况如下：
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2．若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围为______________．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的值．
　　　　 易知f(x)＝－x2＋2ax＋1－a(x∈R)的图象的对称轴为直线x＝a．当a＜0时，函数f(x)在[0，1]上的图象如图(1)中实线部分所示，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1．
当a＞1时，函数f(x)在[0，1]上的图象如图(3)中实线部分所示，f(x)max＝f(1)＝a＝2．综上可知，a的值为－1或2．
　　　(1)若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是________________．
　　　(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____________．
　　　(3)已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是____________．
　　　　显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应二次函数f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a＞0和a＜0)．①若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＜0，且f(1)＜0，即2＜0，且a＋3＜0，则a∈∅；(根据f(0)＝2，结合图象也可知a＞0不可能)．② 若a＜0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＞0，且f(1)＞0，即2＞0，且a＋3＞0，则－3＜a＜0．综上，实数a的取值范围是(－3，0)．
(1)求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”．(2)画图时注意二次函数四大因素——开口方向，对称轴，判别式，特殊点(特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或端点函数值)．
2．设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
　　　　A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．
3．(2024·滨州期中)若函数y＝x2－2ax＋3在x∈[1，3]上的最大值为6，则实数a＝_____．
　　　　y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，x∈[1，3]，若a≤2，当x＝3时，ymax＝9－6a＋3＝6，解得a＝1，若a＞2，当x＝1时，ymax＝1－2a＋3＝6，解得a＝－1，又a＞2，故不成立．综上，a＝1．
5．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为______________．
　　　　由m∈Z，0≤m≤3，知m＝0，1，2，3，代入m2－2m－3分别得－3，－4，－3，0．在定义域内f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数，因此m2－2m－3取值－4或0．
2．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(　　)A．f(1)＜f(4)＜f(2)B．f(4)＜f(1)＜f(2)C．f(4)＜f(2)＜f(1)D．f(2)＜f(4)＜f(1)
　　　　因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2．又因为a＜0，所以f(4)＜f(3)＜f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)＜f(1)＜f(2)．
5．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　　)A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)
因为二次函数的图象过点(1，0)，且关于直线x＝2对称，所以过点(3，0)，则在x轴上截得的线段的长度是2，故A，D正确．当a＝1时，与y轴交于点(0，3)，故B正确．
7．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是(　　　)A．函数f(x)的最小值为－4B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增C．函数f(|x|)为偶函数D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4
　　　　二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值为f(1)＝－4，故A正确；二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故B错误；f(|x|)＝x2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故C正确；
令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a的图象的交点，作出h(x)的图象如图所示，图象关于直线x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a的图象有四个交点时，两两分别关于直线x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D正确．
9．若函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是___________．
　　　　由f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，由f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2．由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4]．
11．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0：(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
　　　　设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6．依题意有f(2)＜0，即4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，得m＜－1．
11．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0：(2) 有两个实根a，β，且满足0＜α＜1＜β＜4；
11．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0：(3) 至少有一个正根．
　　　　方程至少有一个正根，则有三种可能：
②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)＝2m＋6＜0，得m＜－3．
12．已知二次函数f(x)的图象顶点为A(1，16)，且图象过点(5，0)．(1) 求函数f(x)的解析式．
　　　　由二次函数f(x)的图象顶点为A(1，16)，可设f(x)＝a(x－1)2＋16．将(5，0)代入上式可解得a＝－1，所以f(x)＝－x2＋2x＋15．
12．已知二次函数f(x)的图象顶点为A(1，16)，且图象过点(5，0)．(2) 令g(x)＝f(x)＋(2a－2)x．①若函数g(x)在[0，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
　　　　①因为f(x)＝－x2＋2x＋15，所以g(x)＝f(x)＋(2a－2)x＝－x2＋2ax＋15．因为g(x)在[0，2]上是单调函数，所以对称轴x＝a不在(0，2)内，所以a≤0或a≥2．故实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．
12．已知二次函数f(x)的图象顶点为A(1，16)，且图象过点(5，0)．(2) 令g(x)＝f(x)＋(2a－2)x．②求函数g(x)在[0，2]上的最大值．
　　　　g(x)＝－x2＋2ax＋15＝－(x－a)2＋a2＋15，对称轴为x＝a．若a≤0，则g(x)在区间[0，2]上为减函数，所以g(x)max＝g(0)＝15；若0＜a＜2，则g(x)在区间[0，a]上为增函数，在[a，2]上为减函数，所以g(x)max＝g(a)＝a2＋15；若a≥2，则g(x)在[0，2]上为增函数，所以g(x)max＝g(2)＝11＋4a．
13．(2024·南通期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5，a＞1．(1) 若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
　　　　因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．
13．(2024·南通期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5，a＞1．(2) 若函数f(x)在区间(－∞，2]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有f(x1)－f(x2)≤9成立，求实数a的取值范围．
　　　　因为f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以a≥2，所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2．又f(1)－f(a＋1)＝a2－2a≥0，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a．因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有f(x1)－f(x2)≤9成立，所以f(1)－f(a)≤9，即6－2a－(5－a2)≤9，整理得a2－2a－8≤0，解得－2≤a≤4．又a≥2，所以实数a的取值范围为[2，4]．
　　　　因为f(2)＜f(3)，所以f(x)在第一象限是增函数，故－k2＋k＋2＞0，解得－1＜k＜2．又因为k∈Z，所以k＝0或k＝1．