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2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数06微难点3含绝对值的二次函数（课件+解析试卷）
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若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是______________．
综上，实数m的取值范围是[－2，0]．
(1)(2024·南通期初)记函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为( )
因为0≤x≤1，所以若a≤0，如图(1)，函数f(x)＝|x2－ax|＝x2－ax在区间[0，1]上单调递增，则g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)单调递减，g(a)min＝g(0)＝1．
(2)已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，记|f(x)|的最大值为g(a)，则g(a)的最大值为(提示：可借用绝对值三角不等式放缩)( )
由题意得|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a|·|x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|．
变式 已知a＞0，函数f(x)＝|x2＋|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a＝_________．
令f(－1)＝|1＋1＋a－3|＝2，得a＝3或a＝－1(舍)，经检验a＝3满足题意．
已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_____________________．
(0，1)∪(9，＋∞)
(1)解决含绝对值的二次函数综合问题，要从以下几方面入手：①去绝对值，将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等．②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题．(2)分类讨论是解决含参问题的主要手段，参变分离或数形结合亦是有效的解决手段．(3)解决二次函数问题常见的着手点有：开口方向、对称轴位置、判别式取值、端点函数值．
方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为( )A．6B．7C．8D．9
由题意作出y＝f(x)在区间[－2，4]上的图象如图所示，与直线y＝1的交点共有7个，故函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为7．
当a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝2|2－a|＝2，解得a＝1 (舍去)或a＝3(舍去)．
4．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，则下列结论正确的是( )A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
对于A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确．对于B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|，显然是偶函数，故B正确．
对于C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|即为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误．对于D，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，如图，f(x)的图象与直线y＝2有4个交点，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．
5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则实数m的取值范围是________________．
6．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是_____________．
8．已知f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx，若f(x)在(0，4)上有两个不同的零点x1，x2，则实数k的取值范围是______________．
方法一：因为f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程|x2－4|＋x2＋kx＝0在(0，4)上有两个不同的解，即|x2－4|＝－(x2＋kx)在(0，4)上有两个不同的解，所以函数y＝|x2－4|与y＝－(x2＋kx)的图象在(0，4)上有两个不同的交点．
9．(2024·苏州期中)已知函数f(x)＝|3－x2|－3，若|m|＜n，且f(m)＝f(n)，则实数m的取值范围为______________，mn的取值范围为____________．
10．已知函数f(x)＝|ax－2|x＋3(a∈R)．若当x＞0时，f(x)＞x恒成立，则实数a的取值范围为______________________．
①当a＝0时，f(x)＝2x＋3，当x＞0时，f(x)＞x显然成立．②当a＜0时，由于x＞0，则ax－2＜0，故f(x)＝－ax2＋2x＋3，f(x)＞x可化为ax2－x－3＜0，当x＞0时，该不等式恒成立．
若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是______________．
综上，实数m的取值范围是[－2，0]．
(1)(2024·南通期初)记函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为( )
因为0≤x≤1，所以若a≤0，如图(1)，函数f(x)＝|x2－ax|＝x2－ax在区间[0，1]上单调递增，则g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)单调递减，g(a)min＝g(0)＝1．
(2)已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，记|f(x)|的最大值为g(a)，则g(a)的最大值为(提示：可借用绝对值三角不等式放缩)( )
由题意得|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a|·|x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|．
变式 已知a＞0，函数f(x)＝|x2＋|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a＝_________．
令f(－1)＝|1＋1＋a－3|＝2，得a＝3或a＝－1(舍)，经检验a＝3满足题意．
已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_____________________．
(0，1)∪(9，＋∞)
(1)解决含绝对值的二次函数综合问题，要从以下几方面入手：①去绝对值，将函数改写为分段函数是最常见的处理方式．去绝对值的方法有：分段讨论去绝对值、平方去绝对值等．②利用绝对值三角不等式进行放缩，可以解决部分特殊含绝对值函数求最值问题．(2)分类讨论是解决含参问题的主要手段，参变分离或数形结合亦是有效的解决手段．(3)解决二次函数问题常见的着手点有：开口方向、对称轴位置、判别式取值、端点函数值．
方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为( )A．6B．7C．8D．9
由题意作出y＝f(x)在区间[－2，4]上的图象如图所示，与直线y＝1的交点共有7个，故函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为7．
当a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝2|2－a|＝2，解得a＝1 (舍去)或a＝3(舍去)．
4．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，则下列结论正确的是( )A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
对于A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确．对于B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|，显然是偶函数，故B正确．
对于C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|即为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于直线x＝1对称，故C错误．对于D，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，如图，f(x)的图象与直线y＝2有4个交点，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．
5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则实数m的取值范围是________________．
6．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是_____________．
8．已知f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx，若f(x)在(0，4)上有两个不同的零点x1，x2，则实数k的取值范围是______________．
方法一：因为f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程|x2－4|＋x2＋kx＝0在(0，4)上有两个不同的解，即|x2－4|＝－(x2＋kx)在(0，4)上有两个不同的解，所以函数y＝|x2－4|与y＝－(x2＋kx)的图象在(0，4)上有两个不同的交点．
9．(2024·苏州期中)已知函数f(x)＝|3－x2|－3，若|m|＜n，且f(m)＝f(n)，则实数m的取值范围为______________，mn的取值范围为____________．
10．已知函数f(x)＝|ax－2|x＋3(a∈R)．若当x＞0时，f(x)＞x恒成立，则实数a的取值范围为______________________．
①当a＝0时，f(x)＝2x＋3，当x＞0时，f(x)＞x显然成立．②当a＜0时，由于x＞0，则ax－2＜0，故f(x)＝－ax2＋2x＋3，f(x)＞x可化为ax2－x－3＜0，当x＞0时，该不等式恒成立．
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