北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练4直线与圆锥曲线的位置关系含答案

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专题强化练4　直线与圆锥曲线的位置关系　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2024江西上饶中学月考)已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足00,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P,若|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e=　　　　. 7.(2022江苏常州第一中学期中)椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点E(1,1),其右焦点为抛物线C2:y2=26x的焦点F,直线l与椭圆C1交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点.(1)求椭圆C1的方程;(2)若过原点的直线m与椭圆C1交于C,D两点,且OC=t(OA+OB),求四边形ACBD面积的取值范围.答案与分层梯度式解析专题强化练4　直线与圆锥曲线的位置关系1.C　因为00,x2>0,P(x0,y0),如图,由P为AB的中点,得x0=x1+x22,y0=5(x1-x2)4,将点P的坐标代入双曲线方程,得x1+x2224−5(x1-x2)425=1,化简得x1x2=4,所以|OA|·|OB|=x12+52x12·x22+-52x22=94x1x2=9,故选B.4.答案　12解析　由已知得F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则kAF=y1x1-1,kBF=y2x2-1,kOP=y0x0.由x122+y12=1,x222+y22=1,得x122−x222=−(y12−y22),即y1-y2x1-x2=−12·x1+x2y1+y2,所以k=-12·x0y0,所以k·kOP=-12.由y=k(x-2),x22+y2=1,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,所以kAF+kBF=y1x1-1+y2x2-1=y1(x2-1)+y2(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2kx1x2-3k(x1+x2)+4kx1x2-(x1+x2)+1=0,所以kOP=kAFkBF=-1,所以k=12.5.答案　①③④解析　易知直线PA的斜率存在,设其方程为y-x124=k(x-x1),与抛物线方程x2=4y联立,可得x2-4kx+4kx1-x12=0,由Δ=16k2-16kx1+4x12=0得k=x12,所以直线PA的方程为y-x124=x12(x-x1),同理得直线PB的方程为y-x224=x22(x-x2),联立y-x124=x12(x-x1),y-x224=x22(x-x2),解得x=x1+x22,y=x1x24,所以交点Px1+x22,x1x24,即x0=x1+x22=xM,所以④正确;根据题意知直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=tx+1,联立y=tx+1,x2-4y=0,消去y并整理,得x2-4tx-4=0,由根与系数的关系得x1+x2=4t,x1x2=-4,所以y0=x1x24=-1,所以③正确;当t=-1时,x0=x1+x22=-2,所以②错误;当t=-1时,根据抛物线的定义可得|AB|=y1--p2+y2−-p2=y1+y2+p=-x1+1-x2+1+2=-(x1+x2)+4=4+4=8,所以①正确.6.答案　3解析　不妨设过F2与双曲线的一条渐近线y=bax平行的直线交双曲线于点P,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,结合|PF1|=3|PF2|,可得|PF1|=3a,|PF2|=a,易知tan∠F1F2P=ba,所以cos∠F1F2P=11+b2a2=ac,在△PF1F2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2||F1F2|cos∠F1F2P,即9a2=a2+4c2-2a×2c×ac,化简得c2=3a2,所以双曲线的离心率e=ca=3.7.解析　(1)因为抛物线C2:y2=26x的焦点为F62,0,所以椭圆C1的半焦距c=62,因为点E(1,1)在椭圆C1:x2a2+y2b2=1上,所以1a2+1b2=1,又a2=b2+c2,所以a2=3,b2=32,所以椭圆C1的方程为x23+2y23=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x23+2y23=1,y=kx+n,可得(2k2+1)x2+4knx+2n2-3=0,则Δ=4(6k2-2n2+3)>0①,x1+x2=-4kn2k2+1②,x1x2=2n2-32k2+1③.因为以AB为直径的圆过原点,所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=0,化简可得(k2+1)·x1x2+kn(x1+x2)+n2=0,将②③代入,整理得(k2+1)(2n2-3)+kn·(-4kn)+n2(2k2+1)=0,即n2=k2+1④,将④代入①,得Δ=4(4k2+1)>0恒成立,则k∈R.设线段AB的中点为M,由OC=t(OA+OB)=2tOM,得S四边形ACBD=2S四边形OACB=4tS△OAB,S△OAB=12|n||x1-x2|=|n|·4k2+12k2+1,由OC=t(OA+OB),得点C的坐标为(t(x1+x2),t(y1+y2)),则t(x1+x2)=-4knt2k2+1,t(y1+y2)=2nt2k2+1,代入椭圆方程可得8n2t22k2+1=3,即t=3(2k2+1)8n2,则S四边形ACBD=4tS△OAB=43(2k2+1)8n2·|n|·4k2+12k2+1=6×4k2+12k2+1=6×2-12k2+1∈[6,23).当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±1,直线CD过AB的中点,即CD为x轴,易得|AB|=2,|CD|=23,则S四边形ACBD=12|AB||CD|=23.综上,四边形ACBD面积的取值范围为[6,23].