2023-2024学年黑龙江省哈尔滨松北区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨松北区九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了 如图，点M坐标为， 现有下列命题等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟.
2.答题前考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效.
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2023C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义．乘积等于1的两个数互为倒数．
由倒数的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．
3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形．
【详解】解：根据定义可得：A、C、D既是轴对称图形，也是中心对称图形，只有B是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称，中心对称的识别，解题的关键是熟练掌握此概念．
4. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y随x的变化情况不变D. 与y轴的交点不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
5. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．
【详解】解：，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
6. “”是指大气中危害健康的直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，微米即米，将用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
7. 如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和的应用，熟记多边形的外角和是，再列式计算即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
，
∴这个多边形的边数为6．
故选C．
9. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ）
A. （0，）B. （1，）C. （2，2）D. （2，4）
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BC与圆交于C1点，连接AC1；再由圆周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂径定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出线段AC1的中点坐标即可．
【详解】解：如图：∵点O是AB的中点，点D是AC的中点
∴OD//BC且OD=BC
∴BC最大时,即当BC为直径（过圆心M）时，OD最
如图：延长BC与圆交于C1点，连接AC1，
∵BC1是直径
∴∠BAC1=90°
∵OB=OM=OA=2
∴AB=2OA=4,点C1的横坐标为2，BM=，即BC1=
∴AC1=
∴点C1的坐标为（2,4）
∵AC1的中点D1，A（2,0）
∴D1的坐标为（2，2）．
故选：C．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键．
10. 现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（ ）个．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、不等式的性质和开平方运算判断即可．
【详解】①若，则，原命题是假命题；
②若，则，是真命题；
③若，则或，原命题是假命题；
综上，真命题有②
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，涉及幂的乘方、不等式的性质和开平方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 函数中，自变量的取值范围是_______________．
【答案】x≠
【解析】
【详解】因为分式要满足分母不能为0的条件,所以,即,故答案为:.
12. 计算的结果是_______________．
【答案】3
【解析】
【详解】根据二次根式的运算法则进行计算可得:,故答案为:.
13. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解的方法可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小解不了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式得：
解不等式得：
则不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小解不了”确定不等式组解集的原则是解此题的关键．
15. 一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为__．
【答案】150元
【解析】
【详解】设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得：
80%x=120，
解得：x=150，
故答案为150元．
16. 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：列表得：
共有16种等可能结果总数，其中两次摸出是白球有4种.
∴P（两次摸出是白球）=.
考点：概率.
17. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于________.

【答案】##40度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为_______．

【答案】5或6
【解析】
【详解】试题分析：如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6．
如图1，当PB=PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP=DP=AD=3．
在Rt△ABP中，由勾股定理得 PB==5；
如图2，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．
综上所述，PB的长度是5或6．

考点：1、矩形的性质；2、等腰三角形的判定；3、勾股定理
19. 如图，为的直径，，为的中点，过作交于，连接，则的度数为__________．
【答案】45°
【解析】
【分析】连接OM．根据弧与圆心角的度数求得∠BOC的度数，然后利用为的中点，求得∠MOB=∠COM=30°，结合平行线的性质和等腰三角形的性质求得∠MNB，∠B，即可解决问题．
【详解】解：连接OM．
∵AB是直径，，
∴∠BOC=×180°=60°，
∵为的中点，
∴
∴∠MOB=∠COM=30°，
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB=（180°-30°）=75°，
∵OC∥MN，
∴∠MNB=∠COB=60°，
∴∠BMN=180°-∠BNM-∠NBM=180°-60°-75°=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. 如图，矩形中，，，过对角线的中点的直线分别交，边于点，.当四边形是菱形时，则的长为________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质等知识，设，在中，根据，构建方程求出x，再在中，求出即可解决问题；
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
故答案为：．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，正确计算是解题的关键．
22. 如图，在的网格中，按要求作图（仅限用无刻度的直尺）.
（1）在下图中，过点画出作的平行线；
（2）在下图中，作中线.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图的应用与设计：
（1）根据网格线是特点作图；
（2）先根据矩形的对角线互相平分找到中点，再连线．
【小问1详解】
如图，即为所求：
【小问2详解】
如图，即为所求：

23. 某校开展了“远离毒品·珍爱生命”的安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：.；.；.；.）现在给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90.
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）求、、的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】（1）；；；
（2）七年级学生掌握安全知识更好，理由见解析；
（3）参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数估计是864人．
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体．
（1）根据中位数、平均数、众数、方差的计算方法进行计算即可；
（2）比较方差的大小得出答案；
（3）求出七、八年级优秀人数所占的百分比即可．
【小问1详解】
八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在组中的数据是：94，94，90，
∴组所占的百分比为，
∴，
即，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，组的有4人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，
因此中位数是94，即，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即，
故答案为：40；94；99；
小问2详解】
七年级学生掌握安全知识更好，理由：
∵七年级的方差为49，八年级的方差是50.4，
而，
∴七年级学生掌握安全知识更好；
【小问3详解】
答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀的学生人数估计是864人
24. 我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）如图1，点在线段上，，求证：点是的准外心；
（2）如图2，在Rt中，的准外心在的直角边上，试求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长为3或4或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键．
（1）利用证明，得到，由定义可知点P是的准外心；
（2）先利用勾股定理计算，再进行讨论：当P点在上，，当P点在上，，易得对应的值；当 P点在上，，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点P是的准外心；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
当P点在上，，则；
当P点在上，，则，
当P点在上，，如图2，
设，则，
在中，，解得，
即此时，
综上所述，的长为3或4或．
25. 某水果商贩用600元购进了一批水果，上市后销售非常好，商贩又用1400元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．
（1）求该商贩第一批购进水果每箱多少元；
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于800元，求每箱水果的售价至少是多少元？
【答案】（1）30元 （2）50元
【解析】
【分析】（1）设该商场第一批购进了这种水果x，则第二批购进这种水果2x，根据关键语句“每个进价多了5元”可得方程，解方程即可；
（2）设水果的售价为y元，根据题意可得不等关系：水果的总售价-成本-损耗≥利润，由不等关系列出不等式即可．
【25题详解】
解：设该商场第一批购进了这种水果x，则第二批购进这种水果2x，
可得：，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
＝30，
答：该商贩第一批购进水果每箱30元；
【26题详解】
设水果的售价为y元，根据题意得：
60y-（600+1400）-40×10%y≥800，
解得：y≥50，
则水果的售价为50元．
答：水果的售价至少为50元．
【点睛】此题主要考查了分式方程，以及不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系以及不等关系，列出方程与不等式．
26. 已知：以为直径的中，弦，垂足为，，.
（1）如下图，求的半径长；
（2）如下图，为优弧上一动点（不与、、三点重合），为半径的中点，连接，若，弧的长为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如下图，在（2）的条件下，过点作于点，连接，当时，求的长，并判断以为直径的圆与直线的位置关系.
【答案】（1）的半径为
（2）， ；
（3）相交，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（2）根据为的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据圆周角定理可得，进而根据弧长公式，即可求解，根据弧与圆心角的关系得出的取值范围，即可求解．
（3）当点在弧上，作作于点，过作，过点作于点，连接，则四边形是矩形，得出，证明四边形是正方形，进而可得在中，是斜边，则，当点在弧上，同理可得，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴
连接，设，
在中，
，，
∴的半径为2
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴为的中点，连接，
∴，
，
∴
由（1）可得，则
∴所对圆心角为
∵，
则
又为优弧上一动点（不与、、三点重合）
则
∴
【小问3详解】
当点在弧上，过作作于点，过作，过点作于点，连接，则四边形是矩形，
则
∵
∴，
∴
∴
∴
∴，则
∴则，
∴四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴在中，是斜边
∴，
∴以为直径的圆与直线的位置关系为相交
当点在弧上，如图所示
同理可得，以为直径的圆与直线的位置关系为相交．
综上所述，以为直径的圆与直线的位置关系为相交．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形，中位线的性质，求弧长，直线与圆的位置关系式；熟练掌握掌握以上知识是解题的关键．
27. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为．
（1）如下图，若，连接、，当时，求的值；
（2）如下图，若，直线交轴于点，连接、，求的值；
（3）如下图，若，抛物线在第一象限的部分上有一点，连接交轴于点，过点作于，过点作轴于点，交于点，点在上，，连接、，当时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别过点B，D作轴于B，轴于E，交于点F，求出，，，，然后得到，，，，证明，则，，即可求解；
（2）过D作轴于Q，证明出，，得到，求出，然后得到，，进而求解即可；
（3）时，，分别求出，，，设，则有，，，由可求出，过作于点Q，证明四边形是正方形和得出，从而可得结论．
【小问1详解】
如图1，分别过点B，D作轴于B，轴于E，交于点F
∴，
∵，
∴，
令．则，
∴，
当时，，解得，，，
∴，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
过D作轴于Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，，
∴，
，
∴；
【小问3详解】
∵，
令时，，令时，，
∴，，
∴，，
设，
∴，，，
∵，轴，
∴
又，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过作于点Q，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、两点间距离，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），证明是本题解题的关键．
黑1
黑2
白1
白2
黑1
黑1黑1
黑1黑2
黑1白1
黑1白2
黑2
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黑2黑2
黑2白1
黑2白2
白1
白1黑1
白1黑2
白1白1
白1白2
白2
白2黑1
白2黑2
白2白1
白2白2
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
92.5
众数
100
方差
49
50.4