2023-2024学年黑龙江哈尔滨市香坊区九年级上学期数学期末试题及答案

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2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效.
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工吴波、字迹清楚.
5.保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2. 下列图形中，只是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图只是中心对称图形，符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键．
5. 在中，，，，则的值是（ ）
A. 5B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角函数定义的应用，直接运用三角函数定义求解即可．
【详解】解：中，．
∵，，
∴，
∴
∴．
故选：D．
6. 在一个不透明袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别，若从袋子里随机取出一球，则取出这个球是绿球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率；根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：依题意，从袋子里随机取出一球，则取出这个球是绿球的概率为，
故选：C．
7. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A. 45°B. 60°C. 70°D. 90°
【答案】D
【解析】
【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D．
8. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
9. 如图，已知，，则下列比例中错误的是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质可判断A和C；根据平行线分线段成比例定理可判断B；根据平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例定理可判断D．
【详解】解：A、∵，∴，∴，故正确；
B、∵，∴，故正确；
C、∵，∴，∴，故错误；
D、∵，，∴四边形是平行四边形，∴．∵，∴，∴，故正确．
故选：C．
10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与系数之间的关系，数形结合是解答本题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴，
∴．
∵与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∴③正确；
抛物线对称轴为，与x轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，
∴④正确；
综上所述，正确的有个，
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题3分，共计30分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．
13. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系用“”连接的结果为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征、比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握各个象限中点的特征．
根据判断出反比例函数图象所在的象限，结合象限坐标特点判断、的大小，相比较后即可求解．
【详解】解：
反比例函数的图象在第二、四象限，
点在第二象限，点在第四象限，
，，
．
故答案为：．
14. 如图，设在小孔口前处有一支长蜡烛，经小孔形成的像，恰好照在距小孔后面处的屏幕上，则像的长________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用；利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度即可．
【详解】解：依题意，
∴
∴
解得：，
故答案为：．
15. 如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为______．
【答案】．
【解析】
【分析】连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据圆周角的性质计算的度数．
【详解】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
16. 如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC＝45°，到A点的仰角是∠ADC＝60°(测角仪的高度忽略不计)．如果BC＝3米，那么旗杆的高度AC＝____米．
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=3米．
在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，∴AC=DCtan60°=3×=3（米）．
17. 某学习小组由1名男生和3名女生组成，在一次合作学习中，若随机抽取2名同学汇报展示，则抽到1名男生和1名女生的概率为_____．
【答案】##0.5
【解析】
【详解】列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中1名男生和1名女生有6种，
则P==.
故答案为：
18. 一个扇形圆心角是，弧长为，则此扇形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式： 计算即可
【详解】解：设扇形的半径为r，
由题意： ，
解得．
∴
故答案为．
【点睛】此题考查弧长公式，扇形的面积公式，解题的关键是记住公式，属于中考常考题型．
19. 在矩形中，点E在直线上，，若，，则的正切值为______．
【答案】1或
【解析】
【分析】分两种情况：①点E在边上时，根据题意求出，，，②点E在边的延长线时，根据题意求出，，，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
①点E在边上时，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴；
②点E在边的延长线时，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正切值以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和正切，进行分类讨论是关键．
20. 如图1，在中，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2位置，若，，则线段的长为________.

【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，熟记相似的判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边构成的三角形与原三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题关键．由旋转的性质得出，最后由相似三角形的判定及性质，利用勾股定理求得的长，即可作答．
【详解】解：在图1中，∵，
∴
∴．
∵将绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴，
∴，
∴ ，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为；6．
三、解答题（共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】原式；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把化简后的x代入计算即可．
【详解】解：原式
∵
∴原式．
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点中心对称的图形；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请画出；
（3）连接并直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）本题主要考查点的对称，根据点关于原点对称的点的坐标特征即可求解，解答本题的关键在于熟练掌握点关于原点对称的特征．
（2）本题主要考查图形的旋转，解答本题的关键在于确定图形的旋转中心、旋转方向和旋转角度，作图过程中注意旋转前后线段长度保持不变．
（3）本题主要考查在格点图中求线段的长度，解答本题的关键在于确定线段端点的位置，运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵关于原点对称的点的坐标互为相反数，
又∵，，，
∴，，．
再将、、依次连接起来即可，如图
∴即为诉求．
【小问2详解】
∵要将绕点顺时针旋转，
∴将线段饶点顺时针旋转得到；
将线段饶点顺时针旋转得到，
依次连接、、，
即可得到，如图
∴即为所求．
【小问3详解】
由（1）、（2）可知，点和均在格点上，
且，，，
∴以和构造直角三角形，
勾股定理可得，
．
故答案为：．
23. 如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．
（参考数据：，，）
【答案】（1）登山缆车上升的高度
（2）从山底A处到达山顶处大约需要
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
【小问2详解】
解：在中，，，，
，
∴从山底处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底处到达山顶处大约需要．
24. 如图，、、都是的半径，.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）详见解析
（2）的半径为5
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．
（1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论；
（2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，即可求得，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【小问1详解】
∵，，
∴；
【小问2详解】
过点O作半径于点E，连接，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即的半径是 5．
25. 把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计）
（1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.
【答案】（1）剪掉的正方形的边长为
（2）当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用以及二次函数的应用：
（1）设剪掉的正方形的边长为，则原正方形的边长为，根据盒子的底面积为，列方程解出即可；
（2）设剪掉的正方形的边长为，盒子的侧面积为，侧面积=4个长方形面积；则，配方求最值．
【小问1详解】
设剪掉的正方形的边长为，
则，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴剪掉的正方形的边长为；
【小问2详解】
侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，即，
即，
∵二次项系数为，自变量的取值范围为：
∴当时，有最大值，
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为
26. 菱形中，对角线、相交于点，，点为上一点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到对应线段，连接．
（1）当点与点重合时：
①如图1，点落在对角线上，则线段、之间的数量关系为________；
②如图2，点不落在对角线上，则①问中结论是否成立，为什么？
（2）当点与点不重合时：
①如图3，点不落在对角线上，则（1）问中结论，________；（填“成立”或“不成立”）
②如图4，在①的条件下，延长交于点，交于点，若，，，求线段的长．
【答案】（1）①；②仍成立，理由详见解析
（2）①成立；②
【解析】
【分析】（1）①连接，由旋转的性质可知，，则为等边三角形，可得，，由菱形的性质可知，，由三角形的外角可知，得，进而可得；
②连接、，由旋转可知，，得为等边三角形，得，，结合菱形的性质可知为等边三角形，进而可证明，可得，结合菱形的性质可得，进而证明，得，即可证明结论；
（2）①过点作，，连接，，，结合平行及菱形的性质可证明四边形是菱形，得为等边三角形，则，，由旋转可知，，则为等边三角形，类比（1）可证明，得，再证，得，即可证明结论；
②连接，，过点作于点，过做于点，由旋转可知：，，则为等边三角形，结合菱形的性质，设，，，，，在中，，得，在中，，得，进而可知，，可证，得，，，则，，可知，，由，知，则，得，设，则，，，可知，，，，，在中，，由，得，进而求得，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：①连接，

∵为菱形，，
∴，，与互相垂直平分，
∴，为等边三角形，
∴，
由旋转可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
由三角形的外角可知
∴；
∴，
∴，
故答案为：；
②仍成立，理由如下：如图连接、，

∵为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
由旋转可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为菱形，
∴，平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
①成立，理由如下：
过点作，，连接，，，

∵为菱形，，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，，，则
∴为等边三角形，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，则，，
由旋转可知，，
∴为等边三角形，
∴，，
则
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
故答案为：成立；
②连接，，过点作于点，过做于点，

∴，，
由旋转可知：，，
∴为等边三角形，
∵菱形，
∴，，，，，
∴，设，，，，，在中，，
∴，在中，，
∴，
∴，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，，，，，在中，，，在中，，
∴，
∴
在中，，
∴．
【点睛】本题属于几何综合，考查菱形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，直线经过点，并交抛物线于点.
图1 图2 图3
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，为抛物线第四象限上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，垂足为点，为抛物线第二象限上一点，连接，，过点作轴交于点，若，求的值及点坐标.
【答案】（1）抛物线解析式为
（2）
（3）S=5；
【解析】
【分析】（1）由直线解析式可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）过点作轴，垂足为点；由A、B两点坐标即可求得的长，设，则可得，由即可求解；
（3）由点D是直线与抛物线的交点，设点D的坐标，则可求得点D的坐标；由直线解析式可求得；过点作，过点作，垂足分别为、；则易得；设，则可得，
由点P的坐标可得点E的坐标，从而可得关于t的表达式，由，可求得点P的坐标，进而；延长交轴于点，过点作，过点作轴，则可求得点T的坐标，从而求得直线解析式；设，由在上，即可求得G点坐标．
【小问1详解】
解：∵直线经过点，
当时，，
∴，
∵抛物线经过点、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：过点作轴，垂足为点，
∵，，
∴，，
∴；
∵点在抛物线第四象限上，
∴设，
∴，
∴，
即：；
【小问3详解】
解：∵在抛物线上，设，
∵在直线上，
∴，
解得：，（舍），
∴；
设直线交轴于点，
当时，，
∴，
∴；
过点作，过点作，垂足分别为、，如图，
∴，
∵，
∴；
设，
∴，
∴，
∴；
设，
∴，，
∴；
∵轴，在直线上，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
延长交轴于点，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作轴，
∴，，
∴，
∴；
在中，，
在中，设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴解析式：，
∵在抛物线上，设，
∵在上，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一元二次方程，相似三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定，构造相似三角形，利用同角或等角的三角函数值相等，得到线段的关系是解题的关键．
女
女
女
男
女
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
（男，女）
女
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（男，女）
女
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（男，女）
男
（女，男）
（女，男）
（女，男）
﹣﹣﹣