上海市闵行区七宝中学2020届高三上学期开学考试数学试题 Word版含解析

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1. 已知全集0，1，2，，集合1，，0，，则______．
2. 已知复数是虚数单位，则______
3. 关于x，y的二元一次方程组无解，则______
4. 直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______
5. 已知为钝角三角形，边长，，则边长______
6. 设常数，展开式中的系数为4，则 ______ ．
7. 已知，则此函数的值域是______
8. 若函数的值域为，则的最小值为______
9. 已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．
10. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，若C上的点到l距离的最大值为，则______
11. 已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是，则c的所有取值构成的集合是______．
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，则双曲线C的渐近线方程为______

二、选择题（本大题共4小题）

13. 设点不共线，则“ 与 的夹角是锐角”是“ ”的  

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 若，，则

A.  B.  C.  D.

15. 定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有

A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个

16. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间，例如，当时，，，则下命题为假命题的是

A. 函数的定义域为D，则“的充要条件是“对任意的，存在，满足”
B. 若函数，的定义域相同，且，，则
C. 若函数有最大值，则
D. 函数的充要条件是有最大值和最小值

三、解答题（本大题共5小题）

17. 关于x的不等式的解集为．
    求实数a，b的值；
    若，，且为纯虚数，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．
    求证：平面PAD；
    应是平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为圆弧的中点和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中，且，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为．
    用表示多边形MAPBN的面积，并确定的取值范围；
    若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，能使种植蔬菜的收益最大．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．
    求椭圆C的方程；
    若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
    是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．
    
    
    
    
    
    
     
21. 若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．
    已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；
    在的条件下，定义数列2，3，求的值．
    若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：全集0，1，2，，集合1，，0，，
则

故答案为．
根据集合的基本运算即可求和结果；
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】5
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：5．
由商的模等于模的商求得，再由求解．
本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
3.【答案】0
 

【解析】解：时，方程组化为：，无解，舍去．
时，两条直线平行时，可得：，无解．
综上可得：．
故答案为：0．
对m分类讨论，利用两条直线平行时无解，即可得出．
本题考查了两条直线平行的条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
 

【解析】解：直线的一个方向向量，直线的一个法向量，
故直线的一个方向向量，
设直线与直线的夹角是，则，
，
故答案为：．
先求得直线的一个方向向量，两用两个向量的数量积的定义，求得直线与直线的夹角的余弦值，可得直线与直线的夹角．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，直线的方向向量和法向量，属于基础题．
5.【答案】
 

【解析】解：若c是最大边，则．
，
，
又，
，
若b是最大边，必有，
有，
解可得，
又，
，
综合可得．
故答案为：．
根据余弦定理和钝角的余弦函数小于0可求得c的范围，进而利用两边之差和小大于第三边，求得c的另一个范围，最后取交集，即可得解．
本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．
6.【答案】
 

【解析】解：常数，展开式中的系数为4，
，
当时，，
，解得，
，
．
故答案为：．
由，根据的系数为4，求出，从而，解得，由此能求出的值．
本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．
7.【答案】
 

【解析】解：令，
，，
则原函数化为，．
，．
原函数的值域为
故答案为：
令，由x的范围求得t的范围，再由二次函数求值域．
本题考查利用换元法求函数的值域，是基础题．
8.【答案】
 

【解析】解：函数数，
，，
，
根据正弦函数的性质：当时可得，
，
则则的最小值为．
故答案为：
根据x在上，求解内层函数的范围，即可由三角函数的性质可得答案．
本题考查三角函数的性质的应用．属于基础题．
9.【答案】
 

【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．         
过点O作，，因为平面APB，则，．
≌，，≌，
因为，所以点O在的平分线上，即．
设，
在直角中，，，则．
在直角中，，则．
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．
过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．
10.【答案】12
 

【解析】解：曲线C的参数方程为，为参数，
直线l的参数方程为，
设曲线C上的点的坐标为，
则P到直线l的距离：
，
，C上的点到l距离的最大值为，
，解得．
故答案为：12．
设曲线C上的点的坐标为，则P到直线l的距离，由C上的点到l距离的最大值为，能求出a的值．
本题考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
 

【解析】解：函数的反函数的定义域是，
即函数的值域为，
若，显然不合题意，则，此时的值域为；
则需的值域包含，结合函数在内有意义，则．
的所有取值构成的集合是．
故答案为：．
由题意可得，函数的值域为，当，显然不合题意，则，此时的值域为；然后结合反比例函数的图象及函数在内有意义，可得，则答案可求．
本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．
12.【答案】．
 

【解析】解：如图，

，，
则：，
联立，解得，
则，
整理得：，，
双曲线C的渐近线方程：．
故答案为：．
由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
13.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
“与的夹角为锐角”“”，“”“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解答】
解：点A，B，C不共线，
若“与的夹角为锐角”，则，
，
“与的夹角为锐角”“”，
若，则，
化简得，即与的夹角为锐角，
“”“与的夹角为锐角”，
设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．
故选C．
14.【答案】B
 

【解析】解：，，
则，，，
故选：B．
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．
由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】
解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1；   0，0，0，1，0，1，1，1；   0，0，0，1，1，0，1，1；   0，0，0，1，1，1，0，1；   0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1；   0，0，1，0，1，1，0，1；   0，0，1，1，0，1，0，1；   0，0，1，1，0，0，1，1；   0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1；   0，1，0，0，1，1，0，1；   0，1，0，1，0，0，1，1；   0，1，0，1，0，1，0，共14个．
故选C．
16.【答案】D
 

【解析】解：对于A，“的充要条件是“对任意的，存在，满足”“的值域为R”，故A正确；
对于B，依题意，，，则，即，故B正确；
对于C，若函数有最大值，则，此时，，，显然，即C成立；
对于D，当，时，既无最大值又无最小值，但是，故D为假命题．
故选：D．
根据题目给出的定义，结合函数的定义域，值域情况逐个选项判断即可得到结论．
本题考查新定义的理解和应用，考查了函数的值域，主要考查推理能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：不等式即的解集为．
，b是方程的两个实数根，，，
解得，．
为纯虚数，
，，
解得．
 

【解析】由题意可得：，b是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．
为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：平面ABCD，，
，，平面PAD．
解：平面ABCD，，，
，，E为PD的中点，点F在PC上，且．
过A作，交BC于M，
以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
0，，2，，2，，0，，
，1，，0，，，
1，，，
设平面AEF的法向量y，，
则，取，得1，，
设b，，，，
则，b，，，，解得，，，
，
平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，
，
解得，故的值为．
 

【解析】推导出，，由此能证明平面PAD．
以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．
本题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：等腰梯形MNBA的高为，
，，
等腰梯形MNBA的面积为，
等腰三角形PAB中，P到AB的距离为，
故等腰三角形PAB的面积为，
多边形MAPBN的面积为．
，
，即，
．
令，
．
其中，，即．
当即时，取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大．
 

【解析】计算AB，梯形和三角形的高度，分别求出梯形和三角形的面积即可得出答案，根据求出的范围；
根据和角公式求出面积最大值及其对应的的值即可．
本题考查了解析式求解，三角函数恒等变换，函数最值的计算，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，，则；
所以椭圆C的方程为：；
由题意可知，，设，
则，；
所以的取值范围是；
假设存在满足条件的直线l，根据题意直线l的斜率存在；
设直线l的方程为：；
 有：；
，则；
；
设，  则CD的中点为；
，；
，则；
，即；即，无解；
故满足条件的直线不存在；
 

【解析】根据条件直接求出a，b；
设，表示出，求出其范围；
设CD的中点为；由，则；得到其斜率的积为，再方程联立计算；
本题考查椭圆的简单几何性质，向量的数量积，直线的垂直，设而不求的思想方法，关键在于将几何条件进行适当的转化，属于中档题．
21.【答案】解：令，，则，所以．
令，，则，所以．
令，，其中n是大于1的整数，则，所以，即．
又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，则．
所以原式．
证明：令，，则，所以．
令，y为任意实数，则，即，所以是偶函数．
令N为，分母的最小公倍数，并且，，a、b都是自然数，并且．
令数列满足，，1，下证：数列单调递增．
，所以；
若，n是正整数，即；
令，，则，即．
所以．
综上，数列单调递增，所以，又因为是偶函数，所以
 

【解析】是抽象函数基础题，代入特定的数值即可；
对于此数列，需要求其通项，而求通项又需要递推公式，所以代入合理的数值，得到递推公式；
属于难题，因为的铺垫，证明偶函数需要代入特定的数，证明与的大小关系需要定义新的数列，又因为题目中的有理数条件，要充分利用分数的特点．
本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法，属于难题．