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人教版八年级数学下册举一反三系列专题18.6三角形的中位线【九大题型】(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册举一反三系列专题18.6三角形的中位线【九大题型】(原卷版+解析)，共49页。
专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 PAGEREF _Toc10491 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 PAGEREF _Toc7415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 PAGEREF _Toc22262 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 PAGEREF _Toc14095 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 PAGEREF _Toc15537 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】 PAGEREF _Toc2420 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Toc23523 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Toc1380 \h 11【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（ ）A．36° B．72° C．74° D．37°【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A′，则∠BDA′的度数为（ ）A．58° B．116° C．122° D．148°【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为_____________．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（ ）A．12 B．1 C．32 D．2【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（ ）A．5 B．25 C．33 D．6【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ）A．1 B．32 C．2 D．52【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）A．32 B．52 C．3 D．4【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（ ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．A．10 B．20 C．30 D．40【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．A．14 B．18 C．21 D．24【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm2，则△DEF的面积是__cm2 【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）A．3 B．62 C．63 D．1【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（ ）A．22−1 B．22+1 C．2+12 D．2−12【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）A．5 B．53 C．52 D．不能确定【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为__________．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为ℎ1；还原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为ℎ2；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离记为ℎ4，若ℎ1=1，则ℎ4的值是（ ）A．3116 B．174 C．158 D．18【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1．A4、A5分别是A1A2、A2A3的中点，连接A3A4、A4A5；A6、A7分别是A3A4、A4A5的中点，连接A5A6、A6A7；……按此规律进行下去，则△A2021A2022A2023中最短边的长度为_______．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）A．40m B．30m C．20m D．10m【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 PAGEREF _Toc10491 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 PAGEREF _Toc7415 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 PAGEREF _Toc22262 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 PAGEREF _Toc14095 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 PAGEREF _Toc15537 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】 PAGEREF _Toc2420 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Toc23523 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Toc1380 \h 34【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（ ）A．36° B．72° C．74° D．37°【答案】D【分析】根据三角形中位线定理得到GE=GF，利用等腰三角形的性质得到∠FEG=∠EFG，延长FG交AB于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．【详解】如图，延长FG交AB于点M，∵AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，∠DAC=17°，∠ACB=91°，∴GF∥AD,GF=12AD,GE∥BC,GE=12BC,GE=GF，∴∠FEG=∠EFG，∠DAC=∠FGC=∠AGM=17°，∠AGE=∠ACB=91°， ∴∠MGE=∠AGE−∠AGM=∠FEG+∠EFG=2∠FEG=91°−17°=74°， 解得∠FEG=37°．故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A′，则∠BDA′的度数为（ ）A．58° B．116° C．122° D．148°【答案】B【分析】如图，证明∠ADE=∠A′DE，证明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=32°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE=∠A′DE；∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠A′DE=∠B=32∘，∴∠BDA′=180∘−∠ADE−∠A′DE=116∘ ．故选B．【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为_____________．【答案】112°##112度【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质证得OA=OB=OC，易得到∠BAC=∠OBA=62°，利用角平分线的性质得到∠OAE=62°，利用三角形中位线定理证得OE=12CD=12AC=AO，得到∠OAE=∠AEO=62°，再利用四边形内角和定理即可求解．【详解】连接OB，在RtΔACB中，∠ACB=28°，点O是斜边AC的中点，∴∠BAC=90°−28°=62°，OA=OB=OC=12AC，∴∠BAC=∠OBA=62°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠OAE=62°，∵点O，E分别是AC，AD的中点，且CD=AC，∴OE=12CD=12AC=AO，∴∠OAE=∠AEO=62°，∴∠BOE=360°−∠OBA−∠BAC−∠OAE−∠AEO=360°−4×62°=112°，故答案为：112°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，四边形内角和定理，熟练运用性质和定理、准确识别图形是解题的关键．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____．【答案】45°##45度【分析】由条件可证得证得四边形BCFD为平行四边形，即可求证．【详解】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，∴DE∥BC，且BC=2DE．∵EF＝DE，∴DF=2DE，∴DF=BC，∴四边形BCFD为平行四边形，∴∠F=∠B=45°．故答案为：45°【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（ ）A．12 B．1 C．32 D．2【答案】B【分析】根据勾股定理得到AC=8，证明△AGB≌△AGF得到AB=AF=6,BG=FG，求得CF=2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：Rt△ABC中，AB=6，BC=10，∴AC=102−62=8，∵BG⊥AD，∴∠AGB=∠AGF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAG=∠FAG，在△AGB和△AGF中∠BAG=∠FAGAG=AG∠AGB=∠AGF，∴△AGB≌△AGF∴AB=AF=6,BG=FG，∴CF=2，∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，∴EG是△BCF的中位线，∴EG=12CF=1，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（ ）A．5 B．25 C．33 D．6【答案】B【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据三角形中位线性质，求出OF的长．【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得AE=32+42=5，∵AE=BE，∴OB=AE+OE=8， 在Rt△AOB中，AB=42+82=45，即菱形的边长为45，∵点F为CD的中点，点O为DB中点，∴OF=12BC=25 ．故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ）A．1 B．32 C．2 D．52【答案】A【分析】延长AC交BE的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长．【详解】延长AC交BE的延长线于点F，如图，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，∴∠ABE=∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF=AB=5，点E是BF的中点，∴CF=AF−AC=5−3=2，DE是△BCF的中位线，∴DE=12CF=1．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）A．32 B．52 C．3 D．4【答案】C【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．【详解】解：由题意得：BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，∴∠ABQ=∠EBQ，∠AQB=∠BQE=90°，又∵BQ=BQ，∴△ABQ≌△EBQASA，∴AB=BE,AQ=QE，∴△BAE是等腰三角形，Q为AE的中点，同法可得：CA=CD，△CAD是等腰三角形，P为AD的中点，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BE+BC+CD=BC+BC+DE=20+DE=26，∴DE=6，∴PQ=12DE=3；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键．【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（ ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半以及三角形中位线定理分别求出DF,EF的长度，结果可得．【详解】解：∵ E，F分别为AC，BC的中点，∴EF=12AB=5，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴△CDB为直角三角形，DF=12BC=4，∴ △DEF的周长=DF+EF+DE=4+5+4.5=13.5，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：连接BD，由矩形性质可知，BD=AC=10 cm，∵H、G是AD与CD的中点，∴GH是△ACD的中位线，∴GH=12AC=5（cm），同理EF=5 cm，EH=FG=12BD=5 cm，∴四边形EFGH的周长为20cm. 故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．A．14 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】根据三角形中位线定理可得四边形HGFE是平行四边形，HE的长度；勾股定理可得BC，进而求得HG的长度，最后求得平行四边形的周长．【详解】∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点 ∴EF∥BC且EF＝12BC GH∥BC且GH＝12BC HE＝12AD=112 ∴EF∥HG且EF＝HG∴四边形HGFE是平行四边形．∵BD⊥CD，∴BC=10∴HG＝12BC=5∴平行四边形HGFE周长是2HG+2HE=21故答案为:C【点睛】此题考查了平行四边形的周长,解题的关键是用三角形中位线定理和勾股定理求出相关边长．【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据矩形的性质可得AC=BD，OC=12BD，∠BCD=90°，再由三角形中位线定理和直角三角形的性质，可得CF=12DE，OF=12BE，从而得到OF+CF+OC=12BE+DE+BD，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OC=12AC，∠BCD=90°，∴OC=12BD，∵点F为DE的中点，∴OF为△BDE的中位线，CF=12DE，∴OF=12BE，∵△BED的周长为10，∴BE+DE+BD=10，∴OF+CF+OC=12BE+12DE+12BD=12BE+DE+BD=5，∴△OCF的周长为5．故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键．【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________【答案】4.5##92##412【分析】先根据等底同高可得S△AEF=1.5，S△AEG=1.5，S△BCE=6再根据三角形中位线定理可得S△FGE=14S△BCE=1.5，然后根据S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE即可得．【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D是BC的中点，∴由等底同高得：S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×12=6，同理可得：S△ABE=S△DBE=12S△ABD=3，S△ACE=S△DCE=12S△ACD=3，S△AEF=S△ABF=12S△ABE=1.5，S△AEG=S△ACG=12S△ACE=1.5，∴S△BCE=S△DBE+S△DCE=6，∵点F是BE的中点，点G是CE的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴S△FGE=14S△BCE=1.5，则S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE=1.5+1.5+1.5=4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出△FGE的面积，是解题关键．【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1【答案】D【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF＝12BC，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝12BC，∵OE＝2OF，∴OE＝12×21+2BC＝13BC，设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝12BC•h，S△AOC＝12OE•h＝12×13BC•h＝16BC•h，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．故选：D【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积，熟记定理并用BC表示出OE是解题的关键．【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积的不变．【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵O是EF的中点，∴O也是AD的中点，如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，∵MN∥BC，∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的面积，得出O的轨迹是△ABC的中位线是解题的关键．【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm2，则△DEF的面积是__cm2 【答案】4.5##92##412【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．【详解】解：连接BE，∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm2，∴△AEB的面积=12×△ABC的面积＝9（cm2），∵点D是AB的中点，∴△DEB的面积=12×△AEB的面积＝4.5（cm2），∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm2），故答案为：4.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）A．3 B．62 C．63 D．1【答案】B【分析】连接AF，得到GH是△AEF的中位线，GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，证得△ABF是等腰直角三角形，求出AF即可．【详解】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=23，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH=62，即GH的最小值为62．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（ ）A．22−1 B．22+1 C．2+12 D．2−12【答案】D【分析】连接AB，取AB中点N，连接ON，MN，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．【详解】解：连接AB，取AB中点N，连接ON，MN，∵OM>ON−MN，∴当OM取最大值时，O、M、N、三点共线，即M在ON之间，即OM=ON−MN，∵M、N分别是AC，AB的中点，∴MN=12BC=12，∵OA=OB，OA⊥OB，∴AB=OA2+OB2=22，∴ON=BN=2，∴OM=ON−MN=2−12，故选：D．【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【答案】42【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故PB的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥EC且P1P2=12CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥EC且P1P=12CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=4．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴PB的最小值为BP1的长．在Rt△BCP1中，CP1=BC=4，∴BP1=42，∴PB的最小值是42．故答案是：42．【点睛】本题考查了线段的最值问题，中位线定理，勾股定理以及矩形的性质等知识，解题的关键是找出点P的运动轨迹．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）A．5 B．53 C．52 D．不能确定【答案】A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，即Q在AB上，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ＝CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥BC，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，∴CP＝ 12AC＝3，BP＝ 12BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为__________．【答案】324046a2##3a224046【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴BD=CD=12a，∴AD=AB2−BD2=a2−a22=32a，∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，∴点A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1=12AB=12a，同理可得：A2B2=12A1B1=122a，……则A2022B2022=122022a，∴△A2022B2022C2022一条边上的高为：122022×32a，∴SΔA2022B2022C2022=12×122022×122022×32a2=324046a2．故答案为：324046a2．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半，是解题的关键．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为ℎ1；还原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为ℎ2；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离记为ℎ4，若ℎ1=1，则ℎ4的值是（ ）A．3116 B．174 C．158 D．18【答案】C【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA1 =DB，从而可得∠ADA1=2∠B ，结合折叠的性质，∠ADA1=2∠ADE ，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出ℎ1=2−1=1，同理ℎ2=2−12，ℎ3=2−12×12=2−122 ，于是经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离ℎ4=2−123 ；【详解】连接AA1 ，由折叠的性质可得：AA1⊥DE ，DA=DA1，∵ D是AB的中点，∴ DA=DB，∴ DB=DA1 ，∴ ∠BA1D=∠B ，∴ ∠ADA1=2∠B，∵∠ADA1=2∠ADE，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE∥BC，∴ AA1⊥BC，∴ AA1=2，∴ℎ1=2−1=1，∴ ℎ2=2−12，ℎ3=2−12×12=2−122，于是经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离ℎ4=2−123=158 ；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线分线段定理，找出规律是解题的关键【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________．【答案】122020【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2022的值．【详解】解：∵点B、E为AC、BC边的中点，EF∥AC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=12，AD=12AC=12，DE∥AF，∴DE=AD，∵EF∥AC，∴四边形EDAF是菱形，∴C1=4×12=2；同理求得：C2=4×122=1；…Cn=4×12n=12n−2，∴C2022=122022−2=122020．故答案为：122020．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1．A4、A5分别是A1A2、A2A3的中点，连接A3A4、A4A5；A6、A7分别是A3A4、A4A5的中点，连接A5A6、A6A7；……按此规律进行下去，则△A2021A2022A2023中最短边的长度为_______．【答案】121010##121010【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形中最短边的长度，找出规律，可得结论．【详解】解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，An+3是An+1Ann=1，2，3，⋯的中点，∴A1A2=2A1A3=2，△A1A2A3中最短边的边长为A1A3=1=120，△A3A4A5中最短边的边长为A4A5=12=121，△A5A6A7中最短边的边长为A5A7=14=122，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴△A2n−1A2nA2n+1中最短边的边长为12n−1，则△A2021A2022A2023中最短边的边长为121010，，故答案为：121010．【点睛】本题主要考查了规律型，图形的变化类，解决本题的关键是观察图形变化寻找规律．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）；（2）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．【详解】（1）（答案不唯一，有理即可）（2）（答案不唯一，有理即可）【点睛】本题考查根据要求作出符合条件的图形，关键是理解题意，灵活利用相关知识解决．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【答案】见解析【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用网格的特点，以及矩形的对角线互相平分，确定AB和BC的中点，即可画出图形；（2）根据题意可知，点G为AD的中点，过点G作GH∥AC，交BC延长线于点H，则得到的▱GACH的面积等于△ABC的面积．【详解】解：（1）如图1，取AB和BC的中点E、F，则EF为△ABC的中位线，且AC=2EF； （2）如图2，根据题意可知，点G为AD的中点，则▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，三角形的中位线，线段的中点，以及在网格中作图，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质.【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【答案】(1)10(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）可以将AB置于直角三角形当中，利用勾股定理求得；（2）利用一线三直角模型的全等模型，可以快速找到点C，从而画出BC；（3）可以利用矩形的对角线互相平分来找，也就是让AB是矩形的对角线，画出另一条对角线找AB的中点；（4）点D是线段AB的中点，所以可以找AC的中点E，利用中位线定理可以论证DE∥BC．（1）解：如下图Rt△ABM，两条直角边分别是1和3，斜边是AB，∴线段AB的长＝12+32＝10．故答案为：10．（2）利用如下一线三直角模型，可以找到点C位置是点B往上三格往左一格．从而得到下图：点C是所找的格点，BC即为所求作线段．（3）选取下图粗线框矩形，画出另一条对角线，则两条对角线交点是AB的中点．从而得到下图：点D即为AB的中点．（4）连接AC，发现A与C之间存在一个格点，显然这个点是AC的中点，也就是点E，利用中位线定理可以论证DE∥BC．从而得到下图：AC，DE即为所求作线段，E点即为所求作点．【点睛】本题考查网格中的作图，涉及全等三角形的判定，一线三直角模型，中位线定理，矩形的性质，勾股定理等知识，牢记网格中的一线三直角模型是解题的关键．注意以上过程是为了更好的解析，做题时画在同一图形中，也就是只画最后一图，但注意要说明你所求作的是哪个点，哪条线，哪个图形，非所求作的线也就是辅助线画虚线可不标记，所求作的线画实线要标记．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）A．40m B．30m C．20m D．10m【答案】C【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD则∠DCB=∠AMB∵∠DCB=∠ABC∴∠AMB=∠ABC∴AM=AB ∵AD∥BC，AM∥DC ∴四边形AMCD是平行四边形∴AM=DC∴AB=DC在△ABC与△DCB中 AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB∴△ABC≌△DCB(SAS)∴BD=AC=10m∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点∴GH=EF=12AC=5m，EH=FG=12BD=5m ∴四边形EFGH是平行四边形则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【答案】40【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．【详解】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，DE＝20m，∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．【答案】600【分析】连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，根据中位线的判定和性质可以得到S△HDM=S△ODM，同理得到S△DEN=S△ODN，从而得到S四边形DNOM= 12S△EOH，最终得到S四边形ABCD=12S四边形EFGH，即可求解.【详解】解：连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，∵点C、D分别是HG、EH的中点，∴CD是△EHG的中位线，∴CD∥EG，∴点M是OH的中点，∴S△HDM=S△ODM，同理可得S△DEN=S△ODN，∴S四边形DNOM=12S△EOH，同理可得：S四边形ABCD=12S四边形EFGH，∵平行四边形ABCD的面积为300m2，∴四边形EFGH的面积为600m2．故答案为：600．【点睛】本题考查了中点四边形的知识，通过连接四边形的对角线，将四边形转化为三角形，充分利用三角形的中位线的判定与性质，是解题的关键．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【答案】(1)见解析；(2)8【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作．（2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论．（1）解：如图，点P即为所求．（2）解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝12BC＝3，∵DF⊥BC，AH⊥BC，∴DF∥AH，AD＝DB，∴BF＝FH，∴DF＝12AH＝2，∵DT⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DT，在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4，∴ET＝DE2+DT2=32+42 ＝5，∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8，∴△DEP的周长的最小值为8．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可得出BE⊥AC；（2）由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到EG=EF，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=12BD，即BD=2BO，又∵BD=2BC，∴OB=BC，又∵点E是OC的中点，∴BE⊥AC；（2）证明：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF=12CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=AG=12AB，又∵平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴EG=EF=AG，EF∥AG，∴四边形AGEF是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；结论应用：（1）见解析；（2）29°【分析】教材呈现：根据三角形中位线定理得到PM=12BC，PN=12AD ，再由AD=BC，得到PM=PN，则∠PMN=∠PNM；结论应用（1）：根据三角形中位线定理得到PM∥BC，则∠PMN=∠F，同理∠PNM=∠AEN，再由（1）的结论即可证明∠AEN=∠F；（2）先由三角形中位线定理得到PN∥AD，则∠PNB=∠A，由三角形外角的性质得到∠DPN=∠A+∠ABD，再由PM∥BC，得到∠MPD=∠DBC，即可推出∠MPN=∠A+∠ABC=122°，据此求解即可．【详解】教材呈现证明：∵P是BD的中点，M是DC 的中点，∴PM是△BCD的中位线，∴PM=12BC，同理，PN=12AD ，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM；结论应用（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC 的中点，∴PM是△BCD的中位线，∴PM∥BC，∴∠PMN=∠F，同理∠PNM=∠AEN，∵∠PMN=∠PNM，∴∠AEN=∠F；（2）∵PN∥AD，∴∠PNB=∠A，∴∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠MPD=∠DBC，∴∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=122°，∵PM=PN，∴∠PMN=12×180°−122°=29°，∴∠F=∠PMN=29°，故答案为：29°．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析．【分析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．【详解】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中AE=AD∠BAE=∠CAD=90°AB=AC∴△ABC≌△ACDSAS，∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH ，在△ABH与△ACD中，AH=AD∠BAH=∠CADAB=AC，∴△ABH≌△ACDSAS，∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)AC⊥BD(2)菱形，证明见解析(3)MF+OA=ME，证明见解析【分析】（1）由矩形的判断方法即可；（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．（1）解：要使平行四边形OEMF是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：四边形OEMF是菱形．证明：在矩形ABCD中，OA=OB，∵点M是AB的中点，ME∥BD，MF∥AC，∴ME=12OB，MF=12OA，∴ME=MF，∵四边形OEMF是平行四边形，∴四边形OEMF是菱形；（3）解：MF+OA=ME，理由：在矩形ABCD中，OA=OB，∵ME∥BD，MF∥AC，∴四边形OEMF是平行四边形，∴MF=EO，∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，∴EA=EM，∵MF=OE，∴MF+OA=ME【点睛】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．
专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 PAGEREF _Toc10491 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 PAGEREF _Toc7415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 PAGEREF _Toc22262 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 PAGEREF _Toc14095 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 PAGEREF _Toc15537 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】 PAGEREF _Toc2420 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Toc23523 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Toc1380 \h 11【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（ ）A．36° B．72° C．74° D．37°【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A′，则∠BDA′的度数为（ ）A．58° B．116° C．122° D．148°【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为_____________．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（ ）A．12 B．1 C．32 D．2【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（ ）A．5 B．25 C．33 D．6【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ）A．1 B．32 C．2 D．52【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）A．32 B．52 C．3 D．4【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（ ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．A．10 B．20 C．30 D．40【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．A．14 B．18 C．21 D．24【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm2，则△DEF的面积是__cm2 【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）A．3 B．62 C．63 D．1【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（ ）A．22−1 B．22+1 C．2+12 D．2−12【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）A．5 B．53 C．52 D．不能确定【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为__________．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为ℎ1；还原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为ℎ2；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离记为ℎ4，若ℎ1=1，则ℎ4的值是（ ）A．3116 B．174 C．158 D．18【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1．A4、A5分别是A1A2、A2A3的中点，连接A3A4、A4A5；A6、A7分别是A3A4、A4A5的中点，连接A5A6、A6A7；……按此规律进行下去，则△A2021A2022A2023中最短边的长度为_______．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）A．40m B．30m C．20m D．10m【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 专题18.6 三角形的中位线【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24805" 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 PAGEREF _Toc24805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10491" 【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】 PAGEREF _Toc10491 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7415" 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 PAGEREF _Toc7415 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc22262" 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 PAGEREF _Toc22262 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14095" 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 PAGEREF _Toc14095 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc15537" 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 PAGEREF _Toc15537 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc2420" 【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】 PAGEREF _Toc2420 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc23523" 【题型8 三角形中位线的实际应用】 PAGEREF _Toc23523 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc1380" 【题型9 与三角形中位线有关的证明】 PAGEREF _Toc1380 \h 34【知识点 三角形的中位线】定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1 利用三角形的中位线求角度】【例1】（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，若∠DAC=17°，∠ACB=91°，则∠FEG等于（ ）A．36° B．72° C．74° D．37°【答案】D【分析】根据三角形中位线定理得到GE=GF，利用等腰三角形的性质得到∠FEG=∠EFG，延长FG交AB于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．【详解】如图，延长FG交AB于点M，∵AD=BC，E、F、G分别是AB,CD,AC的中点，∠DAC=17°，∠ACB=91°，∴GF∥AD,GF=12AD,GE∥BC,GE=12BC,GE=GF，∴∠FEG=∠EFG，∠DAC=∠FGC=∠AGM=17°，∠AGE=∠ACB=91°， ∴∠MGE=∠AGE−∠AGM=∠FEG+∠EFG=2∠FEG=91°−17°=74°， 解得∠FEG=37°．故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·福建泉州·九年级晋江市季延中学校考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=32°．现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A′，则∠BDA′的度数为（ ）A．58° B．116° C．122° D．148°【答案】B【分析】如图，证明∠ADE=∠A′DE，证明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=32°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE=∠A′DE；∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠A′DE=∠B=32∘，∴∠BDA′=180∘−∠ADE−∠A′DE=116∘ ．故选B．【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．【变式1-2】（2022春·北京·八年级人大附中校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,∠ABC=90°,∠ACB=28°，且CD=AC，点O，E分别是AC，AD的中点，则∠BOE的度数为_____________．【答案】112°##112度【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质证得OA=OB=OC，易得到∠BAC=∠OBA=62°，利用角平分线的性质得到∠OAE=62°，利用三角形中位线定理证得OE=12CD=12AC=AO，得到∠OAE=∠AEO=62°，再利用四边形内角和定理即可求解．【详解】连接OB，在RtΔACB中，∠ACB=28°，点O是斜边AC的中点，∴∠BAC=90°−28°=62°，OA=OB=OC=12AC，∴∠BAC=∠OBA=62°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠OAE=62°，∵点O，E分别是AC，AD的中点，且CD=AC，∴OE=12CD=12AC=AO，∴∠OAE=∠AEO=62°，∴∠BOE=360°−∠OBA−∠BAC−∠OAE−∠AEO=360°−4×62°=112°，故答案为：112°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，四边形内角和定理，熟练运用性质和定理、准确识别图形是解题的关键．【变式1-3】（2022春·山西太原·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则∠F的度数为 _____．【答案】45°##45度【分析】由条件可证得证得四边形BCFD为平行四边形，即可求证．【详解】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，∴DE∥BC，且BC=2DE．∵EF＝DE，∴DF=2DE，∴DF=BC，∴四边形BCFD为平行四边形，∴∠F=∠B=45°．故答案为：45°【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．【题型2 利用三角形的中位线求线段长度】【例2】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为（ ）A．12 B．1 C．32 D．2【答案】B【分析】根据勾股定理得到AC=8，证明△AGB≌△AGF得到AB=AF=6,BG=FG，求得CF=2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：Rt△ABC中，AB=6，BC=10，∴AC=102−62=8，∵BG⊥AD，∴∠AGB=∠AGF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAG=∠FAG，在△AGB和△AGF中∠BAG=∠FAGAG=AG∠AGB=∠AGF，∴△AGB≌△AGF∴AB=AF=6,BG=FG，∴CF=2，∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，∴EG是△BCF的中位线，∴EG=12CF=1，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·河南南阳·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为（ ）A．5 B．25 C．33 D．6【答案】B【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据三角形中位线性质，求出OF的长．【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得AE=32+42=5，∵AE=BE，∴OB=AE+OE=8， 在Rt△AOB中，AB=42+82=45，即菱形的边长为45，∵点F为CD的中点，点O为DB中点，∴OF=12BC=25 ．故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．【变式2-2】（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为（ ）A．1 B．32 C．2 D．52【答案】A【分析】延长AC交BE的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长．【详解】延长AC交BE的延长线于点F，如图，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，∴∠ABE=∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF=AB=5，点E是BF的中点，∴CF=AF−AC=5−3=2，DE是△BCF的中位线，∴DE=12CF=1．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．【变式2-3】（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）A．32 B．52 C．3 D．4【答案】C【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．【详解】解：由题意得：BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，∴∠ABQ=∠EBQ，∠AQB=∠BQE=90°，又∵BQ=BQ，∴△ABQ≌△EBQASA，∴AB=BE,AQ=QE，∴△BAE是等腰三角形，Q为AE的中点，同法可得：CA=CD，△CAD是等腰三角形，P为AD的中点，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BE+BC+CD=BC+BC+DE=20+DE=26，∴DE=6，∴PQ=12DE=3；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键．【题型3 利用三角形的中位线求周长】【例3】（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC=8，DE＝4.5，则△DEF的周长是（ ）A．14.5 B．12.5 C．9.5 D．13.5【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半以及三角形中位线定理分别求出DF,EF的长度，结果可得．【详解】解：∵ E，F分别为AC，BC的中点，∴EF=12AB=5，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴△CDB为直角三角形，DF=12BC=4，∴ △DEF的周长=DF+EF+DE=4+5+4.5=13.5，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．【变式3-1】（2022春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）cm．A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．【详解】解：连接BD，由矩形性质可知，BD=AC=10 cm，∵H、G是AD与CD的中点，∴GH是△ACD的中位线，∴GH=12AC=5（cm），同理EF=5 cm，EH=FG=12BD=5 cm，∴四边形EFGH的周长为20cm. 故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【变式3-2】（2022春·河南信阳·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=11，BD=8，CD=6，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．A．14 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】根据三角形中位线定理可得四边形HGFE是平行四边形，HE的长度；勾股定理可得BC，进而求得HG的长度，最后求得平行四边形的周长．【详解】∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点 ∴EF∥BC且EF＝12BC GH∥BC且GH＝12BC HE＝12AD=112 ∴EF∥HG且EF＝HG∴四边形HGFE是平行四边形．∵BD⊥CD，∴BC=10∴HG＝12BC=5∴平行四边形HGFE周长是2HG+2HE=21故答案为:C【点睛】此题考查了平行四边形的周长,解题的关键是用三角形中位线定理和勾股定理求出相关边长．【变式3-3】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为10，则△OCF的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据矩形的性质可得AC=BD，OC=12BD，∠BCD=90°，再由三角形中位线定理和直角三角形的性质，可得CF=12DE，OF=12BE，从而得到OF+CF+OC=12BE+DE+BD，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OC=12AC，∠BCD=90°，∴OC=12BD，∵点F为DE的中点，∴OF为△BDE的中位线，CF=12DE，∴OF=12BE，∵△BED的周长为10，∴BE+DE+BD=10，∴OF+CF+OC=12BE+12DE+12BD=12BE+DE+BD=5，∴△OCF的周长为5．故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键．【题型4 利用三角形的中位线求面积】【例4】（2022春·山东德州·八年级校考期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是________【答案】4.5##92##412【分析】先根据等底同高可得S△AEF=1.5，S△AEG=1.5，S△BCE=6再根据三角形中位线定理可得S△FGE=14S△BCE=1.5，然后根据S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE即可得．【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D是BC的中点，∴由等底同高得：S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×12=6，同理可得：S△ABE=S△DBE=12S△ABD=3，S△ACE=S△DCE=12S△ACD=3，S△AEF=S△ABF=12S△ABE=1.5，S△AEG=S△ACG=12S△ACE=1.5，∴S△BCE=S△DBE+S△DCE=6，∵点F是BE的中点，点G是CE的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴S△FGE=14S△BCE=1.5，则S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△FGE=1.5+1.5+1.5=4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出△FGE的面积，是解题关键．【变式4-1】（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE=2OF，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:2 C．5:3 D．3:1【答案】D【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF＝12BC，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝12BC，∵OE＝2OF，∴OE＝12×21+2BC＝13BC，设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝12BC•h，S△AOC＝12OE•h＝12×13BC•h＝16BC•h，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．故选：D【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积，熟记定理并用BC表示出OE是解题的关键．【变式4-2】（2022春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）A．不变 B．一直增大C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积的不变．【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵O是EF的中点，∴O也是AD的中点，如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，∵MN∥BC，∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的面积，得出O的轨迹是△ABC的中位线是解题的关键．【变式4-3】（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm2，则△DEF的面积是__cm2 【答案】4.5##92##412【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．【详解】解：连接BE，∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm2，∴△AEB的面积=12×△ABC的面积＝9（cm2），∵点D是AB的中点，∴△DEB的面积=12×△AEB的面积＝4.5（cm2），∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm2），故答案为：4.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【题型5 利用三角形的中位线求最值】【例5】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）A．3 B．62 C．63 D．1【答案】B【分析】连接AF，得到GH是△AEF的中位线，GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，证得△ABF是等腰直角三角形，求出AF即可．【详解】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=23，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH=62，即GH的最小值为62．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．【变式5-1】（2023秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为（ ）A．22−1 B．22+1 C．2+12 D．2−12【答案】D【分析】连接AB，取AB中点N，连接ON，MN，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．【详解】解：连接AB，取AB中点N，连接ON，MN，∵OM>ON−MN，∴当OM取最大值时，O、M、N、三点共线，即M在ON之间，即OM=ON−MN，∵M、N分别是AC，AB的中点，∴MN=12BC=12，∵OA=OB，OA⊥OB，∴AB=OA2+OB2=22，∴ON=BN=2，∴OM=ON−MN=2−12，故选：D．【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．【变式5-2】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是___________．【答案】42【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故PB的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥EC且P1P2=12CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥EC且P1P=12CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=4．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴PB的最小值为BP1的长．在Rt△BCP1中，CP1=BC=4，∴BP1=42，∴PB的最小值是42．故答案是：42．【点睛】本题考查了线段的最值问题，中位线定理，勾股定理以及矩形的性质等知识，解题的关键是找出点P的运动轨迹．【变式5-3】（2022春·甘肃兰州·八年级校考期末）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（ ）A．5 B．53 C．52 D．不能确定【答案】A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，即Q在AB上，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ＝CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥BC，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，∴CP＝ 12AC＝3，BP＝ 12BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】【例6】（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如下图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为__________．【答案】324046a2##3a224046【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴BD=CD=12a，∴AD=AB2−BD2=a2−a22=32a，∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，∴点A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1=12AB=12a，同理可得：A2B2=12A1B1=122a，……则A2022B2022=122022a，∴△A2022B2022C2022一条边上的高为：122022×32a，∴SΔA2022B2022C2022=12×122022×122022×32a2=324046a2．故答案为：324046a2．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半，是解题的关键．【变式6-1】（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为ℎ1；还原纸片后，再将△ADC沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为ℎ2；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离记为ℎ4，若ℎ1=1，则ℎ4的值是（ ）A．3116 B．174 C．158 D．18【答案】C【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA1 =DB，从而可得∠ADA1=2∠B ，结合折叠的性质，∠ADA1=2∠ADE ，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出ℎ1=2−1=1，同理ℎ2=2−12，ℎ3=2−12×12=2−122 ，于是经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离ℎ4=2−123 ；【详解】连接AA1 ，由折叠的性质可得：AA1⊥DE ，DA=DA1，∵ D是AB的中点，∴ DA=DB，∴ DB=DA1 ，∴ ∠BA1D=∠B ，∴ ∠ADA1=2∠B，∵∠ADA1=2∠ADE，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE∥BC，∴ AA1⊥BC，∴ AA1=2，∴ℎ1=2−1=1，∴ ℎ2=2−12，ℎ3=2−12×12=2−122，于是经过第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距离ℎ4=2−123=158 ；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线分线段定理，找出规律是解题的关键【变式6-2】（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于___________．【答案】122020【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2022的值．【详解】解：∵点B、E为AC、BC边的中点，EF∥AC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=12，AD=12AC=12，DE∥AF，∴DE=AD，∵EF∥AC，∴四边形EDAF是菱形，∴C1=4×12=2；同理求得：C2=4×122=1；…Cn=4×12n=12n−2，∴C2022=122022−2=122020．故答案为：122020．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1．A4、A5分别是A1A2、A2A3的中点，连接A3A4、A4A5；A6、A7分别是A3A4、A4A5的中点，连接A5A6、A6A7；……按此规律进行下去，则△A2021A2022A2023中最短边的长度为_______．【答案】121010##121010【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形中最短边的长度，找出规律，可得结论．【详解】解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，An+3是An+1Ann=1，2，3，⋯的中点，∴A1A2=2A1A3=2，△A1A2A3中最短边的边长为A1A3=1=120，△A3A4A5中最短边的边长为A4A5=12=121，△A5A6A7中最短边的边长为A5A7=14=122，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴△A2n−1A2nA2n+1中最短边的边长为12n−1，则△A2021A2022A2023中最短边的边长为121010，，故答案为：121010．【点睛】本题主要考查了规律型，图形的变化类，解决本题的关键是观察图形变化寻找规律．【题型7 与三角形中位线有关的格点作图】【例7】（2022春·浙江杭州·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）；（2）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．【详解】（1）（答案不唯一，有理即可）（2）（答案不唯一，有理即可）【点睛】本题考查根据要求作出符合条件的图形，关键是理解题意，灵活利用相关知识解决．【变式7-1】（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．【答案】见解析【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【变式7-2】（2022·浙江温州·校考二模）如图，在所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD是平行四边形，连结AC（点A，B，C，D均在格点上），请按要求完成下列作图任务．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图1中作△ABC的中位线EF，且AC=2EF；（2）在图2中取边AD上点G，以AG，AC为邻边作▱GACH，且▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用网格的特点，以及矩形的对角线互相平分，确定AB和BC的中点，即可画出图形；（2）根据题意可知，点G为AD的中点，过点G作GH∥AC，交BC延长线于点H，则得到的▱GACH的面积等于△ABC的面积．【详解】解：（1）如图1，取AB和BC的中点E、F，则EF为△ABC的中位线，且AC=2EF； （2）如图2，根据题意可知，点G为AD的中点，则▱GACH的面积等于△ABC的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，三角形的中位线，线段的中点，以及在网格中作图，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质.【变式7-3】（2022·四川乐山·三模）如图，在4×4的正方形网格图中，点A、B均在格点上，请按要求完成下列解答：（注：作图仅能使用无刻度的直尺，且要求保留作图痕迹．请你借助网格图完成第（2）、（3）、（4）小题的作图）．(1)直接写出线段AB的长为；(2)在网格图中找一个格点C，连接BC，使BC⊥AB；(3)在网格图中，用正确的方法画出线段AB的中点D；(4)连接AC并在线段AC上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【答案】(1)10(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）可以将AB置于直角三角形当中，利用勾股定理求得；（2）利用一线三直角模型的全等模型，可以快速找到点C，从而画出BC；（3）可以利用矩形的对角线互相平分来找，也就是让AB是矩形的对角线，画出另一条对角线找AB的中点；（4）点D是线段AB的中点，所以可以找AC的中点E，利用中位线定理可以论证DE∥BC．（1）解：如下图Rt△ABM，两条直角边分别是1和3，斜边是AB，∴线段AB的长＝12+32＝10．故答案为：10．（2）利用如下一线三直角模型，可以找到点C位置是点B往上三格往左一格．从而得到下图：点C是所找的格点，BC即为所求作线段．（3）选取下图粗线框矩形，画出另一条对角线，则两条对角线交点是AB的中点．从而得到下图：点D即为AB的中点．（4）连接AC，发现A与C之间存在一个格点，显然这个点是AC的中点，也就是点E，利用中位线定理可以论证DE∥BC．从而得到下图：AC，DE即为所求作线段，E点即为所求作点．【点睛】本题考查网格中的作图，涉及全等三角形的判定，一线三直角模型，中位线定理，矩形的性质，勾股定理等知识，牢记网格中的一线三直角模型是解题的关键．注意以上过程是为了更好的解析，做题时画在同一图形中，也就是只画最后一图，但注意要说明你所求作的是哪个点，哪条线，哪个图形，非所求作的线也就是辅助线画虚线可不标记，所求作的线画实线要标记．【题型8 三角形中位线的实际应用】【例8】（2022春·湖北·八年级校考期中）如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线AC=10m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是（ ）A．40m B．30m C．20m D．10m【答案】C【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD则∠DCB=∠AMB∵∠DCB=∠ABC∴∠AMB=∠ABC∴AM=AB ∵AD∥BC，AM∥DC ∴四边形AMCD是平行四边形∴AM=DC∴AB=DC在△ABC与△DCB中 AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB∴△ABC≌△DCB(SAS)∴BD=AC=10m∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点∴GH=EF=12AC=5m，EH=FG=12BD=5m ∴四边形EFGH是平行四边形则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．【变式8-1】（2022春·广东惠州·八年级校联考期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为______m．【答案】40【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．【详解】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，DE＝20m，∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式8-2】（2022春·重庆南岸·八年级统考期末）某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．【答案】600【分析】连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，根据中位线的判定和性质可以得到S△HDM=S△ODM，同理得到S△DEN=S△ODN，从而得到S四边形DNOM= 12S△EOH，最终得到S四边形ABCD=12S四边形EFGH，即可求解.【详解】解：连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，∵点C、D分别是HG、EH的中点，∴CD是△EHG的中位线，∴CD∥EG，∴点M是OH的中点，∴S△HDM=S△ODM，同理可得S△DEN=S△ODN，∴S四边形DNOM=12S△EOH，同理可得：S四边形ABCD=12S四边形EFGH，∵平行四边形ABCD的面积为300m2，∴四边形EFGH的面积为600m2．故答案为：600．【点睛】本题考查了中点四边形的知识，通过连接四边形的对角线，将四边形转化为三角形，充分利用三角形的中位线的判定与性质，是解题的关键．【变式8-3】（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求△PDE周长的最小值．【答案】(1)见解析；(2)8【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作．（2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论．（1）解：如图，点P即为所求．（2）解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝12BC＝3，∵DF⊥BC，AH⊥BC，∴DF∥AH，AD＝DB，∴BF＝FH，∴DF＝12AH＝2，∵DT⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DT，在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4，∴ET＝DE2+DT2=32+42 ＝5，∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8，∴△DEP的周长的最小值为8．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．【题型9 与三角形中位线有关的证明】【例9】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2BC，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)连接AF，求证：四边形AGEF是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可得出BE⊥AC；（2）由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到EG=EF，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=12BD，即BD=2BO，又∵BD=2BC，∴OB=BC，又∵点E是OC的中点，∴BE⊥AC；（2）证明：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF=12CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=AG=12AB，又∵平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴EG=EF=AG，EF∥AG，∴四边形AGEF是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【变式9-1】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD的延长线交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN=∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，则∠F的大小为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；结论应用：（1）见解析；（2）29°【分析】教材呈现：根据三角形中位线定理得到PM=12BC，PN=12AD ，再由AD=BC，得到PM=PN，则∠PMN=∠PNM；结论应用（1）：根据三角形中位线定理得到PM∥BC，则∠PMN=∠F，同理∠PNM=∠AEN，再由（1）的结论即可证明∠AEN=∠F；（2）先由三角形中位线定理得到PN∥AD，则∠PNB=∠A，由三角形外角的性质得到∠DPN=∠A+∠ABD，再由PM∥BC，得到∠MPD=∠DBC，即可推出∠MPN=∠A+∠ABC=122°，据此求解即可．【详解】教材呈现证明：∵P是BD的中点，M是DC 的中点，∴PM是△BCD的中位线，∴PM=12BC，同理，PN=12AD ，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM；结论应用（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC 的中点，∴PM是△BCD的中位线，∴PM∥BC，∴∠PMN=∠F，同理∠PNM=∠AEN，∵∠PMN=∠PNM，∴∠AEN=∠F；（2）∵PN∥AD，∴∠PNB=∠A，∴∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠MPD=∠DBC，∴∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=122°，∵PM=PN，∴∠PMN=12×180°−122°=29°，∴∠F=∠PMN=29°，故答案为：29°．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键．【变式9-2】（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；(2)当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析．【分析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得．（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．【详解】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中AE=AD∠BAE=∠CAD=90°AB=AC∴△ABC≌△ACDSAS，∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH ，在△ABH与△ACD中，AH=AD∠BAH=∠CADAB=AC，∴△ABH≌△ACDSAS，∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键．【变式9-3】（2022春·吉林松原·八年级校考期末）阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．(1)当对角线AC，BD满足______时，四边形OEMF是矩形．(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)AC⊥BD(2)菱形，证明见解析(3)MF+OA=ME，证明见解析【分析】（1）由矩形的判断方法即可；（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．（1）解：要使平行四边形OEMF是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：四边形OEMF是菱形．证明：在矩形ABCD中，OA=OB，∵点M是AB的中点，ME∥BD，MF∥AC，∴ME=12OB，MF=12OA，∴ME=MF，∵四边形OEMF是平行四边形，∴四边形OEMF是菱形；（3）解：MF+OA=ME，理由：在矩形ABCD中，OA=OB，∵ME∥BD，MF∥AC，∴四边形OEMF是平行四边形，∴MF=EO，∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，∴EA=EM，∵MF=OE，∴MF+OA=ME【点睛】本题主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．
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