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第十八章平行四边形 复习课件
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这是一份第十八章平行四边形 复习课件，共60页。
平行四边形复习本章要点聚焦z一、四边形的概念1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形.2.四边形的内角和与外角和均为360°.3.四边形具有不稳定性.4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°5.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°.6.多边形的对角线.二.重要知识规律总结:1.多边形的对角线. n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3).n边形的内角和为：（n－2)×180°(n≥3).2.多边形的内角和公式.整理知识 优化知识结构 你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！整理知识 优化知识结构 你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！基础练习 练习1 在图中的标号下面写出所有的判定定理：___________________________________________；___________________________________________；___________________________________________．一般平行四边形与特殊平行四边形的关系 （从定义观察）正方形矩形菱形平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角几种平行四边形的特征比较 对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四条边都相等对边平行,四条边相等对角相等,邻角互补四个角都为直角对角相等,邻角互补四个角都为直角对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分,每条对角线平分对角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分对角×√2条√2条√4条1）两组对边分别平行。2）两组对边分别相等。3）一组对边平行且相等。4）两组对角分别相等。5）两条对角线互相平分判定方法：+邻边相等+90°角+对角线互相平分+邻边相等+90°角+对角线 相等+对角线 垂直判定方法：平行四边形复习1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图： ABCD对边分别为AB∥CD，AD∥BC2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）3.平行四边形的性质有：平行四边形的对边相等平行四边形的对边平行平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分平行四边形邻角互补平行四边形是中心对称图形☆两个推论:夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的垂线段相等定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理1: 一组对边平行且相等的四边形平行四边形 4.平行四边形的判定:.定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∵∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD为平行四边形）对角线互相平分的四边形是平行四边形（∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD为平行四边形）④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形）（∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形（∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形）学习检测1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。60°2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）C3．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为_______．4．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠BCD=__________．∵ABCD为平行四边形∴BO=OD，AO=OC∵AC+BD=14∴BO+OD+AO+OC=14∴BO+AO=7∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13∵ABCD为平行四边形，∠A=70°∴AB∥CD，∠A=∠BCD=70°∴∠A+∠D=180°∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°13110°70°5、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）A．①② B．②③ C． ①③ D． ③④B6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A．大于2， B．小于14 C．大于2且小于14 D．大于2或小于12C解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x ∴8-6＜x＜6+8，∴2＜x＜14解析：平行四边形的判定方法7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， ∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。2解析：∵BC平分∠BAD，DF平分∠ADC∴∠BAE=∠DAE，∠ADB=∠CDF∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD=5∴∠DAE=∠AEB∠ADF=∠DFC,AB=5,AD=8∴AB=BE=5，CD=FC=5∴EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3∴EF=BC-BF-EC=8-3-3=28、如图，a∥b点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如S△ABC=5cm2，则S△BCD= 。5cm2解析：△ABC和△BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，∴面积相同4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，∠FBC=70°，求∠EBC的度数解：由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA，∠AEF=∠DCF ∵E为AD中点 ∴AE=ED ∴△DEC≌△AEF ∴CD＝AF ,CE=EF ∵BC=2AB，AB=CD ∴AB=AF ∴BF=BC ∴ ∠EBC= ∠FBC= ×70°=35°5：如图：已知 ABCD ，∠EAD=∠BAF（1）试证明：△CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。解（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC AB∥CD ∴∠EAD=∠F ∠BAF＝∠E又∵ ∠EAD= ∠BAF ∴ ∠E= ∠F ∴CE＝CF∴ △CEF是等腰三角形4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AE⊥BF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明 (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC AB∥CD ∴ ∠BAE= ∠BFC 又 ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC ∴ ∠BAE= ∠AED ∠ABF= ∠CBF ∴ ∠DAF= ∠AED ∠CBF= ∠BFC ∴DE=AD CF＝BC ∴DE=CF 即DE+EF＝CD＋EF ∴DF=CE5. 在□ ABCD中，AC＝6、AB＝4，则BD的范围是_____．6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是 ．7.已知□ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ;当B=60°时，AD BC间的距离AE= , □ABCD的面积=2＜x＜142010【例1】 如图所示，已知 ABCD的周长为30cm，AE⊥BC于E点，AF⊥CD于F点，且AE∶AF=2∶3，∠C=120°，求S ABCD. 例题解析三角形的中位线1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。(∵E为AC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½BC，EF∥BC)3、一个三角形有三条中位线。 1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为___ _．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为____ __2.510cm18学习检测4．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．24证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.∵F,E是AC,BC的中点,∴ FE∥MN,FE=MN.∴四边形FENM是平行四边形.∴MG=GE,NG=GF.∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.∴ GE∶GA=GF∶GB=1∶2.同理,GD∶GC=1∶2..∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.特殊的平行四边形—矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形ABCD为矩形）2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 四个角都是直角 （∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 ∵△BCD中，∠BCD=90°，CO是BD中线 ∴CO=½BD（或CO=BO=OD）矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90° ∴四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴四边形ABCD为矩形学习检测1.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 。2．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 __cm， cm， cm， cm．3．下列说法错误的是（ ）． A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.555C4.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE＝15°，（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求∠BOE的度数5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。 解: 矩形纸片ABCD∠DAB=90°AD=BC, AB=CDBD=∴42+x2=（8-x）2 解得：x=3∴AG=36.如图 ，在平行四边ABCD中，E..F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1) ABF ≌ DCE; (2)四边形ABCD是矩形 (2)由（1）的结论知∠B=∠C∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD∴∠B+∠C=180 ∴B=90∴四边形ABCD是矩形7.（2011中考题）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°∴四边形AECF是矩形2特殊的平行四边形—菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等 （∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （AC⊥BD，∠OAD=∠OAB=∠OCD=∠OCB）3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD为菱形1、菱形的的两邻角之比为1﹕2 ，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（ ）A、8 B、9 C、12 D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为______、BD的长为______。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_______。 学习检测C8684、如图,四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°BD=6cm（1）∠BAD, ∠ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA,∠DAB=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°∵∠ACD＝30°∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180°-∠BCD=120°∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD OA=OC,OD=OB , BC=CD,又∠BCD=60°∴⊿BCD为等边三角形 ∴BC=BA=BD=CD=AD=6cm∴BO=DO=3cm 5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。6. （2014中考题）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE= AB∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （SAS ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD∴四边形ABED是菱形．理由：如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．1.正方形既是________图形，又是_________图形正方形有_____条对称轴。2.正方形既是_______形,又是_____形，它既具有_____的性质，又具有_______的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_______形，再证该四边形是________ 形。4.正方形的四条边___________，并且对边____.邻边______5.正方形的四个角都是__________.6.正方形的两条对角线_______且________,并且每条对角线平分__________.特殊的平行四边形—正方形中心对称轴对称四矩形菱形矩形菱形矩形菱形相等平行互相垂直直角相等互相垂直平分一组对角学习检测1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ）（2）对角线相等的矩形是正方形。（ ）（3）四边都相等的四边形是正方形。（ ）（4）矩形包括长方形和正方形。（ ）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G, DG交OA于F.求证：OE=OF.3、(2014年中考题) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。4.（2014中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．5、（2014中考题）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形． 综合应用 解决问题 例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．试判断四边形BPCO的形状，并说明理由．综合应用 解决问题 变式1 若连接OP得四边形ABPO，四边形ABPO是什么四边形？综合应用 解决问题 变式2 若将 ABCD改为矩形ABCD，其他条件不变，得到的是什么四边形？综合应用 解决问题 变式3 得到矩形BPCO，应将条件中的 ABCD 改为什么四边形？综合应用 解决问题 变式4 能否得到正方形BPCO？此时四边形ABCD应该是什么形状？小试牛刀1.1、在 ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50° 则CD=________，AC=________∠A=________， ∠D=___________2、在 ABCD中， ∠A+ ∠C= 150°那么∠A=__________，∠D=_________ 3、在 ABCD中， ∠A:∠B= 4:5，那么∠B=__________，∠C=_________ 8130° 675°50°105°80°100°1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O， ∠AOB= 60°，AB=6，则AC=_______小试牛刀2.2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是__________3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边长为_________123254、（1）矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分（2）把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到∠AME＝70o ，则∠EMN＝（ ） A、45o B、50o C、55o D、60o （3）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° ACA1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，则菱形的周长是_________，面积是___________ 2、如图，在菱形ABCD中， ∠B= 120°，则∠DAC=___________3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是_____________964030°40小试牛刀3.4、（1）菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( )A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直（2）如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的形状一定是（ ）A．一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形(1)(2)(3)DB（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线垂直的四边形是菱形（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形（5）四边相等的四边形是正方形（6）对角线互相垂直平分的四边形是正方形×××√×菱形×菱形一、判断题：测一测1二、填空题：１、 ABCD的对角线AC与BD交于O，若 S ABCD=12cm², S AOB=_______。 ２、矩形对角线的交角为60°，一条对角线与 较短边的和为18cm, 则对角线长是______。 ３、菱形的周长为16，高为2，则菱形相 邻的两角的 度数大小为______________。 ４、菱形的对角线长为10和24，则周长 为_________。５、正方形ABCD中，E为BC上一点，且EF⊥ BD于F, 那么 △EFB是_______三角形。 3cm²30°、150°12cm52等腰直角1、将矩形纸片ABCD、沿对角线AC折叠，使B点落在E处。则EF与DF有什么关系？试证明你的结论。 ABCDEF答：EF与DF是相等关系证明：矩形ABCD中：∵ ∠B=∠E=∠D =90° AB=AE=CD又∵∠ AFE=∠CFD∴ ΔAEF ≌ ΔCDF（AAS） ∴EF=DF（全等三角形对应边相等）??三、解答题：2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，(1)、找出图形中相等的线段，并证明。(2)、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。(3)、当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？OE=OF１２３当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∠ACB＝90°测一测2正方形ABCD的对角线相交于点O ，点 O是正方形MNPO的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形MNPO绕点O转动，试猜想两个正方形重叠部分的面积四边形OEAF与正方形的面积有什么关系？并证明你的结论。0ABCDAMNPEF答：SOEAF = SABCD有谁证明？测一测3ABCDOEF证明：正方形ABCD中：∵ ∠EDO=∠ FAO=45° DO=AO ∠ 1=90°–∠ 3=∠ 2∴ △ DOE≌ △ AOF(ASA)又∵ S四边形EAFO=S△ OEA+S△ AOF ∴ S四边形EAFO= S△ OEA +S△DOE = S△ AOD = SABCD１２３(((４５°４５°同学们再见！
平行四边形复习本章要点聚焦z一、四边形的概念1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形.2.四边形的内角和与外角和均为360°.3.四边形具有不稳定性.4.多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°5.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°.6.多边形的对角线.二.重要知识规律总结:1.多边形的对角线. n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3).n边形的内角和为：（n－2)×180°(n≥3).2.多边形的内角和公式.整理知识 优化知识结构 你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！整理知识 优化知识结构 你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性 质和判定吗？ 你能把本章知识整理成知识结构图吗？试一试！基础练习 练习1 在图中的标号下面写出所有的判定定理：___________________________________________；___________________________________________；___________________________________________．一般平行四边形与特殊平行四边形的关系 （从定义观察）正方形矩形菱形平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角几种平行四边形的特征比较 对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四条边都相等对边平行,四条边相等对角相等,邻角互补四个角都为直角对角相等,邻角互补四个角都为直角对角线互相平分对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分,每条对角线平分对角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分对角×√2条√2条√4条1）两组对边分别平行。2）两组对边分别相等。3）一组对边平行且相等。4）两组对角分别相等。5）两条对角线互相平分判定方法：+邻边相等+90°角+对角线互相平分+邻边相等+90°角+对角线 相等+对角线 垂直判定方法：平行四边形复习1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形如图： ABCD对边分别为AB∥CD，AD∥BC2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）3.平行四边形的性质有：平行四边形的对边相等平行四边形的对边平行平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分平行四边形邻角互补平行四边形是中心对称图形☆两个推论:夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的垂线段相等定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理1: 一组对边平行且相等的四边形平行四边形 4.平行四边形的判定:.定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3、平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∵∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD为平行四边形）对角线互相平分的四边形是平行四边形（∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD为平行四边形）④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形）（∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形（∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形）学习检测1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1= 。60°2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）C3．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为_______．4．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠BCD=__________．∵ABCD为平行四边形∴BO=OD，AO=OC∵AC+BD=14∴BO+OD+AO+OC=14∴BO+AO=7∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13∵ABCD为平行四边形，∠A=70°∴AB∥CD，∠A=∠BCD=70°∴∠A+∠D=180°∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°13110°70°5、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）A．①② B．②③ C． ①③ D． ③④B6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A．大于2， B．小于14 C．大于2且小于14 D．大于2或小于12C解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x ∴8-6＜x＜6+8，∴2＜x＜14解析：平行四边形的判定方法7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， ∠ BAD 、∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 。2解析：∵BC平分∠BAD，DF平分∠ADC∴∠BAE=∠DAE，∠ADB=∠CDF∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD=5∴∠DAE=∠AEB∠ADF=∠DFC,AB=5,AD=8∴AB=BE=5，CD=FC=5∴EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3∴EF=BC-BF-EC=8-3-3=28、如图，a∥b点，点A、D在直线a上，点B、C在直线b上，如S△ABC=5cm2，则S△BCD= 。5cm2解析：△ABC和△BCD的底边都为BC，高位a和b之间的距离，∴面积相同4，如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，CE交BA的延线于点F，若BC=2AB，∠FBC=70°，求∠EBC的度数解：由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA，∠AEF=∠DCF ∵E为AD中点 ∴AE=ED ∴△DEC≌△AEF ∴CD＝AF ,CE=EF ∵BC=2AB，AB=CD ∴AB=AF ∴BF=BC ∴ ∠EBC= ∠FBC= ×70°=35°5：如图：已知 ABCD ，∠EAD=∠BAF（1）试证明：△CEF是等腰三角形（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。解（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC AB∥CD ∴∠EAD=∠F ∠BAF＝∠E又∵ ∠EAD= ∠BAF ∴ ∠E= ∠F ∴CE＝CF∴ △CEF是等腰三角形4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M（1）请说明：AE⊥BF（2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明 (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC AB∥CD ∴ ∠BAE= ∠BFC 又 ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC ∴ ∠BAE= ∠AED ∠ABF= ∠CBF ∴ ∠DAF= ∠AED ∠CBF= ∠BFC ∴DE=AD CF＝BC ∴DE=CF 即DE+EF＝CD＋EF ∴DF=CE5. 在□ ABCD中，AC＝6、AB＝4，则BD的范围是_____．6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长是 ．7.已知□ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= ;当B=60°时，AD BC间的距离AE= , □ABCD的面积=2＜x＜142010【例1】 如图所示，已知 ABCD的周长为30cm，AE⊥BC于E点，AF⊥CD于F点，且AE∶AF=2∶3，∠C=120°，求S ABCD. 例题解析三角形的中位线1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。(∵E为AC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC中位线)2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½BC，EF∥BC)3、一个三角形有三条中位线。 1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5，则DE的长是 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为___ _．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为____ __2.510cm18学习检测4．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．24证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.∵F,E是AC,BC的中点,∴ FE∥MN,FE=MN.∴四边形FENM是平行四边形.∴MG=GE,NG=GF.∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.∴ GE∶GA=GF∶GB=1∶2.同理,GD∶GC=1∶2..∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交于点G.求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.特殊的平行四边形—矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形（∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形ABCD为矩形）2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 四个角都是直角 （∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°） 对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO）3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 ∵△BCD中，∠BCD=90°，CO是BD中线 ∴CO=½BD（或CO=BO=OD）矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90° ∴四边形ABCD为矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD为矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴四边形ABCD为矩形学习检测1.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 。2．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 __cm， cm， cm， cm．3．下列说法错误的是（ ）． A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.555C4.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE＝15°，（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求∠BOE的度数5.将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，B C=6，求AG的长。 解: 矩形纸片ABCD∠DAB=90°AD=BC, AB=CDBD=∴42+x2=（8-x）2 解得：x=3∴AG=36.如图 ，在平行四边ABCD中，E..F为BC上的两点，且BE=CF,AF=DE.求证：(1) ABF ≌ DCE; (2)四边形ABCD是矩形 (2)由（1）的结论知∠B=∠C∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD∴∠B+∠C=180 ∴B=90∴四边形ABCD是矩形7.（2011中考题）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°∴四边形AECF是矩形2特殊的平行四边形—菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等 （∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA） 对角线互相垂直，且平分对角 （AC⊥BD，∠OAD=∠OAB=∠OCD=∠OCB）3、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD为菱形3、四条边相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD为菱形1、菱形的的两邻角之比为1﹕2 ，且较短的对角线长3，则菱形的周长是（ ）A、8 B、9 C、12 D、152、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5，AO=4，则对角线AC的长为______、BD的长为______。3、菱形的面积是20，它的一条对角线长5，则另一条对角线长_______。 学习检测C8684、如图,四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°BD=6cm（1）∠BAD, ∠ABC的度数。（2）边AB及对角线AC的长（精确到0.01cm）.解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA,∠DAB=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°∵∠ACD＝30°∴∠BAD=∠DCB=60°，∠ABC=180°-∠BCD=120°∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD OA=OC,OD=OB , BC=CD,又∠BCD=60°∴⊿BCD为等边三角形 ∴BC=BA=BD=CD=AD=6cm∴BO=DO=3cm 5.如图，已知：在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。6. （2014中考题）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE= AB∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （SAS ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）7.（2011中考题）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD∴四边形ABED是菱形．理由：如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．1.正方形既是________图形，又是_________图形正方形有_____条对称轴。2.正方形既是_______形,又是_____形，它既具有_____的性质，又具有_______的性质。3.在判断四边形是正方形时，可以先证该四边形是_______形，再证该四边形是________ 形。4.正方形的四条边___________，并且对边____.邻边______5.正方形的四个角都是__________.6.正方形的两条对角线_______且________,并且每条对角线平分__________.特殊的平行四边形—正方形中心对称轴对称四矩形菱形矩形菱形矩形菱形相等平行互相垂直直角相等互相垂直平分一组对角学习检测1.判断：（1）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ）（2）对角线相等的矩形是正方形。（ ）（3）四边都相等的四边形是正方形。（ ）（4）矩形包括长方形和正方形。（ ）（5）四角相等且两边相等的四边形是正方形.（ ）2. 正方形ABCD,对角线的交为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G, DG交OA于F.求证：OE=OF.3、(2014年中考题) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。 (1) 求证：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。4.（2014中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．5、（2014中考题）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形． 综合应用 解决问题 例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．试判断四边形BPCO的形状，并说明理由．综合应用 解决问题 变式1 若连接OP得四边形ABPO，四边形ABPO是什么四边形？综合应用 解决问题 变式2 若将 ABCD改为矩形ABCD，其他条件不变，得到的是什么四边形？综合应用 解决问题 变式3 得到矩形BPCO，应将条件中的 ABCD 改为什么四边形？综合应用 解决问题 变式4 能否得到正方形BPCO？此时四边形ABCD应该是什么形状？小试牛刀1.1、在 ABCD中，已知AB=8，AO=3，∠B=50° 则CD=________，AC=________∠A=________， ∠D=___________2、在 ABCD中， ∠A+ ∠C= 150°那么∠A=__________，∠D=_________ 3、在 ABCD中， ∠A:∠B= 4:5，那么∠B=__________，∠C=_________ 8130° 675°50°105°80°100°1、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O， ∠AOB= 60°，AB=6，则AC=_______小试牛刀2.2、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是__________3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边长为_________123254、（1）矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分（2）把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到∠AME＝70o ，则∠EMN＝（ ） A、45o B、50o C、55o D、60o （3）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° ACA1、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6，则菱形的周长是_________，面积是___________ 2、如图，在菱形ABCD中， ∠B= 120°，则∠DAC=___________3、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是_____________964030°40小试牛刀3.4、（1）菱形有而一般的平行四边形不具有的性质是( )A、对角相等 B、对角线互相平分 C、对边平行且相等 D、对角线互相垂直（2）如图，小强拿一张正方形的纸（图(1)），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪成两部分，再把所得的三角形的部分打开后的形状一定是（ ）A．一般的平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形(1)(2)(3)DB（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线垂直的四边形是菱形（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形（5）四边相等的四边形是正方形（6）对角线互相垂直平分的四边形是正方形×××√×菱形×菱形一、判断题：测一测1二、填空题：１、 ABCD的对角线AC与BD交于O，若 S ABCD=12cm², S AOB=_______。 ２、矩形对角线的交角为60°，一条对角线与 较短边的和为18cm, 则对角线长是______。 ３、菱形的周长为16，高为2，则菱形相 邻的两角的 度数大小为______________。 ４、菱形的对角线长为10和24，则周长 为_________。５、正方形ABCD中，E为BC上一点，且EF⊥ BD于F, 那么 △EFB是_______三角形。 3cm²30°、150°12cm52等腰直角1、将矩形纸片ABCD、沿对角线AC折叠，使B点落在E处。则EF与DF有什么关系？试证明你的结论。 ABCDEF答：EF与DF是相等关系证明：矩形ABCD中：∵ ∠B=∠E=∠D =90° AB=AE=CD又∵∠ AFE=∠CFD∴ ΔAEF ≌ ΔCDF（AAS） ∴EF=DF（全等三角形对应边相等）??三、解答题：2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。2、已知 ABCD中，直线MN // AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。求证：PM=QN。如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，(1)、找出图形中相等的线段，并证明。(2)、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。(3)、当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？OE=OF１２３当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∠ACB＝90°测一测2正方形ABCD的对角线相交于点O ，点 O是正方形MNPO的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形MNPO绕点O转动，试猜想两个正方形重叠部分的面积四边形OEAF与正方形的面积有什么关系？并证明你的结论。0ABCDAMNPEF答：SOEAF = SABCD有谁证明？测一测3ABCDOEF证明：正方形ABCD中：∵ ∠EDO=∠ FAO=45° DO=AO ∠ 1=90°–∠ 3=∠ 2∴ △ DOE≌ △ AOF(ASA)又∵ S四边形EAFO=S△ OEA+S△ AOF ∴ S四边形EAFO= S△ OEA +S△DOE = S△ AOD = SABCD１２３(((４５°４５°同学们再见！
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