2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练22三角恒等变换

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练22三角恒等变换，共5页。

一、选择题
1．若sin eq \f(α,2)＝ eq \f(\r(3),3)，则cs α＝( )
A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
答案：C
解析：cs α＝1－2sin2 eq \f(α,2)＝1－2× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,3).
2．若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案：D
解析：方法一 ∵α是第四象限角，
∴－ eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cs 2α可正、可负、可零，故选D.
方法二 ∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cs α>0，
∴sin 2α＝2sin α cs α<0，故选D.
3．函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3)sinx·cs x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．1 B． eq \f(1＋\r(3),2)
C．1＋ eq \r(3) D． eq \f(3,2)
答案：A
解析：f(x)＝ eq \f(1－cs 2x,2)＋ eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋ eq \f(1,2)，
∵ eq \f(π,4)≤x≤ eq \f(π,2)，∴ eq \f(π,3)≤2x－ eq \f(π,6)≤ eq \f(5,6)π，
∴当2x－ eq \f(π,6)＝ eq \f(5,6)π即x＝ eq \f(π,2)时f(x)min＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1.
4．[2024·九省联考]已知θ∈( eq \f(3π,4)，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋ eq \f(π,4))，则 eq \f(1＋sin 2θ,2cs2θ＋sin2θ)＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(3,4)
C．1 D． eq \f(3,2)
答案：A
解析：由题θ∈( eq \f(3π,4)，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋ eq \f(π,4))，
得 eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝ eq \f(－4（tanθ＋1）,1－tan θ)⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－ eq \f(1,2)，
因为θ∈( eq \f(3π,4)，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－ eq \f(1,2)，
eq \f(1＋sin 2θ,2cs2θ＋sin2θ)＝ eq \f(sin2θ＋cs2θ＋2sinθcs θ,2cs2θ＋2sinθcs θ)＝ eq \f(tan2θ＋1＋2tanθ,2＋2tan θ)＝ eq \f(\f(1,4)＋1－1,2＋（－1）)＝ eq \f(1,4).故选A.
5．若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(7,9)
答案：A
解析：∵ eq \f(π,6)－α＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝ eq \f(π,2)，∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(1,3)，∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π＋2α))＝2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1＝2× eq \f(1,9)－1＝－ eq \f(7,9).
6．[2024·新课标Ⅰ卷]已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs (α－β)＝( )
A．－3m B．－ eq \f(m,3)
C． eq \f(m,3) D．3m
答案：A
解析：由tan αtan β＝2，可得 eq \f(sin αsin β,cs αcs β)＝2，即sin αsin β＝2cs αcs β.由cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝m，可得cs αcs β＝－m，sin αsin β＝－2m，所以cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cs α＝ eq \f(1＋\r(5),4)，则sin eq \f(α,2)＝( )
A． eq \f(3－\r(5),8) B． eq \f(－1＋\r(5),8)
C． eq \f(3－\r(5),4) D． eq \f(－1＋\r(5),4)
答案：D
解析：方法一 由题意，cs α＝ eq \f(1＋\r(5),4)＝1－2sin2 eq \f(α,2)，得sin2 eq \f(α,2)＝ eq \f(3－\r(5),8)＝ eq \f(6－2\r(5),16)＝( eq \f(\r(5)－1,4))2，又α为锐角，所以sin eq \f(α,2)>0，所以sin eq \f(α,2)＝ eq \f(－1＋\r(5),4)，故选D.
方法二 由题意，cs α＝ eq \f(1＋\r(5),4)＝1－2sin2 eq \f(α,2)，得sin2 eq \f(α,2)＝ eq \f(3－\r(5),8)，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
8．已知向量a＝(sinθ，－2)，b＝(1，cs θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cs2θ的值为( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D．3
答案：A
解析：∵a⊥b，∴sinθ－2cs θ＝0，∴tan θ＝2，
∴sin 2θ＋cs2θ＝2sinθcs θ＋cs2θ＝ eq \f(2tanθ＋1,1＋tan2θ)＝1.
9．(多选)下列各式中值为 eq \f(1,2)的是( )
A．1－2cs275°
B．sin135°cs 15°－cs 45° cs 75°
C．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°
D． eq \f(cs 35°\r(1－sin 20°),\r(2) cs 20°)
答案：BD
解析：对于A，1－2cs275°＝－cs150°＝cs 30°＝ eq \f(\r(3),2)，A错误；
对于B，sin 135°cs 15°－cs 45°cs 75°＝sin 45°sin 75°－cs 45°cs 75°＝－cs 120°＝ eq \f(1,2)，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝ eq \f(tan 20°＋tan 25°,1－tan 20°tan 25°)，
∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，
∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
eq \f(cs 35°\r(1－sin 20°),\r(2)cs 20°)
＝ eq \f(cs 35°\r(（cs 10°－sin 10°）2),\r(2)（cs 10°＋sin 10°）（cs 10°－sin 10°）)
＝ eq \f(cs 35°,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)
＝ eq \f(cs 45°cs 10°＋sin 45°sin 10°,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)
＝ eq \f(\f(\r(2),2)（cs 10°＋sin 10°）,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)＝ eq \f(1,2)，D正确．故选BD.
二、填空题
10．已知sin α＋ eq \r(3)cs α＝2，则tan α＝________．
答案： eq \f(\r(3),3)
解析：由，解得4cs2α－4 eq \r(3)csα＋3＝(2cs α－ eq \r(3))2＝0，得cs α＝ eq \f(\r(3),2)，则sin α＝ eq \f(1,2)，所以tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\r(3),3).
11．已知α为第二象限角，sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，则cs 4α＝________．
答案： eq \f(1,9)
解析：由sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，得1＋sin 2α＝ eq \f(1,3)，
∴sin 2α＝－ eq \f(2,3)，∴cs 4α＝1－2sin22α＝1－2× eq \f(4,9)＝ eq \f(1,9).
12．已知2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
答案： eq \r(2) 1
解析：∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs 2x＋sin 2x＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，又2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b.∴A＝ eq \r(2)，b＝1.
[能力提升]
13．已知tan θ＝ eq \f(1,2)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2θ))＝( )
A．7 B．－7
C． eq \f(1,7) D．－ eq \f(1,7)
答案：D
解析：tan 2θ＝ eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝ eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝ eq \f(4,3)，
∴tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2θ))＝ eq \f(tan \f(π,4)－tan 2θ,1＋tan \f(π,4)tan 2θ)＝ eq \f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－ eq \f(1,7).
14．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cs αsin β＝ eq \f(1,6)，则cs (2α＋2β)＝( )
A． eq \f(7,9) B． eq \f(1,9)
C．－ eq \f(1,9) D．－ eq \f(7,9)
答案：B
解析：依题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin αcs β－cs αsin β＝\f(1,3),cs αsin β＝\f(1,6)))，
所以sin αcs β＝ eq \f(1,2)，所以sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(2,3)，所以cs (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,9)，故选B.
15．若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝ eq \f(5,13)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则 eq \f(cs 2α,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝________.
答案： eq \f(24,13)
解析：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(π,2)，
所以 eq \f(π,4)＋α＝ eq \f(π,2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).
又2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋2α＝ eq \f(π,2)，得2α＝ eq \f(π,2)－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).
故 eq \f(cs 2α,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝ eq \f(cs \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))),cs \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))))
＝ eq \f(sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)).
由于α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))， eq \f(π,4)－α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，所以cs ( eq \f(π,4)－α)>0，
故cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝ eq \f(12,13)， eq \f(cs 2α,cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))＝2× eq \f(12,13)＝ eq \f(24,13).
16．化简： eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))).
解析：方法一 原式
＝ eq \f(cs2α－sin2α,2×\f(1－tanα,1＋tan α)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,4)cs α＋cs \f(π,4)sin α))\s\up12(2))
＝ eq \f(（cs2α－sin2α）（1＋tanα）,（1－tan α）（cs α＋sin α）2)
＝ eq \f(（cs2α－sin2α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sinα,cs α))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin α,cs α)))（cs α＋sin α）2)
＝1.
方法二 原式＝ eq \f(cs 2α,2tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))
＝ eq \f(cs2α,2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))
＝ eq \f(cs 2α,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))
＝ eq \f(cs 2α,cs 2α)
＝1.