2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量的数量积及其应用

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练25平面向量的数量积及其应用，共4页。

一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案：D
解析：由题意知b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x－4)，又b⊥(b－4a)，所以2×2＋x(x－4)＝0，即x2－4x＋4＝0，解得x＝2，故选D.
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：由题意可得a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3))，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝ eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))2)＝5.故选D.
3．已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案：C
解析：因为 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以| eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以 eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案：C
解析：将|a－2b|＝3两边平行，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝ eq \r(3)，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
6．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
答案：D
解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)的最小值为( )
A．4 B．9 D．8 D．10
答案：B
解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1. eq \f(1,x)＋ eq \f(4,y)＝ eq \f(x＋y,x)＋ eq \f(4（x＋y）,y)＝5＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(4x,y)≥9，当且仅当x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(2,3)时取等号．故选B.
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
答案：B
解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cs α＝ eq \f(1,2)，∵α∈(0，π)，∴α＝ eq \f(π,3).故选B.
9．已知向量| eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝4， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝4，则以 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))为一组邻边的平行四边形的面积为( )
A．4 eq \r(3) B．2 eq \r(3) C．4 D．2
答案：A
解析：因为cs ∠AOB＝ eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))|·|\(OB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(4,2×4)＝ eq \f(1,2)，所以∠AOB＝60°，sin ∠AOB＝ eq \f(\r(3),2)，则所求平行四边形的面积为| eq \(OA,\s\up6(→))|·| eq \(OB,\s\up6(→))|·sin ∠AOB＝4 eq \r(3)，故选A.
二、填空题
10．已知|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝________．
答案：2
解析：由已知可得a·b＝1× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a－b|＝ eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
答案： eq \r(3)
解析：由|a－b|＝ eq \r(3)，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝ eq \r(3).
12．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
答案：11
解析：因为cs 〈a，b〉＝ eq \f(1,3)，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝1×3× eq \f(1,3)＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
[能力提升]
13．[2024·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(3),2) D．1
答案：B
解析：因为(b－2a)⊥b，所以b·b－2a·b＝0，即b2＝2a·b.又|a＋2b|＝2，所以(|a＋2b|)2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝ eq \f(1,2)，|b|＝ eq \f(\r(2),2)，故选B.
14．(多选)[2024·山东省临沂质量检测]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
A.|F1|的最小值为 eq \f(1,2)|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝ eq \f(π,2)时，|F1|＝ eq \f(\r(2),2)|G|
D．当θ＝ eq \f(2π,3)时，|F1|＝|G|
答案：ACD
解析：由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，所以|F1|2＝ eq \f(|G|2,2（1＋cs θ）).当θ＝0时，|F1|min＝ eq \f(1,2)|G|；当θ＝ eq \f(π,2)时，|F1|＝ eq \f(\r(2),2)|G|；当θ＝ eq \f(2π,3)时，|F1|＝|G|，故ACD正确．当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错．
15．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PO))＝ eq \r(2)，则 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A． eq \f(1＋\r(2),2) B． eq \f(1＋2\r(2),2)
C．1＋ eq \r(2) D．2＋ eq \r(2)
答案：A
解析：方法一 连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝ eq \r(2)，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝ eq \f(π,4).设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－ eq \f(π,4)<θ< eq \f(π,4)，∠APD＝ eq \f(π,4)＋θ，且|PD|＝ eq \r(2)cs θ.
所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝| eq \(PA,\s\up6(→))|| eq \(PD,\s\up6(→))|cs ( eq \f(π,4)＋θ)＝ eq \r(2)cs θcs ( eq \f(π,4)＋θ)＝ eq \r(2)cs θ( eq \f(\r(2),2)cs θ－ eq \f(\r(2),2)sin θ)＝cs2θ－sinθcs θ＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)cs 2θ－ eq \f(1,2)sin 2θ＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2)cs (2θ＋ eq \f(π,4))≤ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2)，故选A.
方法二 以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P( eq \r(2)，0)，因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝ eq \f(π,4)，不妨设A( eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2)).
设直线PD的方程为y＝k(x－ eq \r(2))，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\r(2)）,x2＋y2＝1))，得(k2＋1)x2－2 eq \r(2)k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4(k2＋1)(2k2－1)＝4－4k2>0，解得－1于是 eq \(PA,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2))， eq \(PD,\s\up6(→))＝(－ eq \f(\r(2),k2＋1)，－ eq \f(\r(2)k,k2＋1))，所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝ eq \f(1－k,k2＋1).设t＝1－k，则016．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝ eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cs β＝________．
答案： eq \f(2\r(2),3)
解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －9e1·e2＋2e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝11－9× eq \f(1,3)＝8，
又|a|＝ eq \r(（3e1－2e2）2)＝ eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －12e1·e2)＝3，
|b|＝ eq \r(（3e1－e2）2)＝ eq \r(9e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －6e1·e2＋e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝ eq \r(9－2＋1)＝2 eq \r(2)，
∴cs β＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(8,3×2\r(2))＝ eq \f(2\r(2),3).