统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练22三角恒等变换理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练22三角恒等变换理，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2023·安徽安庆月考]已知cs x＝ eq \f(3\r(10),10)，则sin ( eq \f(π,2)－2x)＝( )
A．－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5)
C．－ eq \f(7,25) D． eq \f(7,25)
2．若α为第四象限角，则( )
A．cs 2α>0 B．cs 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
3．函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3)sinx·cs x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．1 B． eq \f(1＋\r(3),2)
C．1＋ eq \r(3) D． eq \f(3,2)
4．[2023·广东汕头三模]已知α∈(0，π)，sin ( eq \f(π,4)－α)＝ eq \f(3,5)，则cs 2α＝( )
A． eq \f(24,25)B．－ eq \f(16,25)
C．－ eq \f(24,25) D． eq \f(13,25)
5．若sin ( eq \f(π,6)－α)＝ eq \f(1,3)，则cs ( eq \f(2π,3)＋2α)＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(7,9)
6．[2023·成都双流中学模拟]tan 67.5°－ eq \f(1,tan 67.5°)的值为( )
A．1 B． eq \r(2)
C．2 D．4
7．若cs α＝－ eq \f(4,5)，α是第三象限角，则 eq \f(1＋tan \f(α,2),1－tan \f(α,2))＝( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．2 D．－2
8．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cs θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cs2θ的值为( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D．3
9．[2021·全国甲卷]若α∈(0， eq \f(π,2))，tan2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A． eq \f(\r( ,15),15) B． eq \f(\r( ,5),5)
C． eq \f(\r( ,5),3) D． eq \f(\r( ,15),3)
二、填空题
10．已知sin α＋ eq \r(3)cs α＝2，则tan α＝________．
11．已知α为第二象限角，sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，则cs 4α＝________．
12．已知2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
[能力提升]
13．[2023·重庆高三阶段练习]若函数f(x)＝sin x|cs x|，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间[－ eq \f(π,4)， eq \f(π,4)]上单调递增
D．f(x)的图像关于直线x＝ eq \f(π,4)对称
14．[2023·陕西省西安中学模拟]当x＝θ时，f(x)＝6sin2 eq \f(x,2)＋2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)－3取得最大值，则tan θ＝( )
A．3 B．－3
C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
15．[2023·陕西省西安中学四模]已知 eq \f(3π,2)<α<2π，则 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝( )
A．－ eq \f(1,sin α) B． eq \f(1,sin α)
C．－ eq \f(2,sin α) D． eq \f(2,sin α)
16．[2023·四川眉山三模]已知函数f(x)＝ eq \f(（1－\r(1＋sin 2x)）\r(1－sin x),\r(2＋\r(2) [cs （x＋\f(π,4)）＋sin （x＋\f(π,4)）]))，当πA．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(－ eq \r(2)，0)
专练22 三角恒等变换
1．B cs x＝ eq \f(3\r(10),10)，则sin ( eq \f(π,2)－2x)＝cs 2x＝2cs2x－1＝2×( eq \f(3\r(10),10))2－1＝ eq \f(4,5).
2．D 解法一：∵α是第四象限角，∴－ eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α<0，cs 2α可正、可负、可零，故选D.
解法二：∵α是第四象限角，∴sin α<0，cs α>0，∴sin 2α＝2sin α cs α<0，故选D.
3．A f(x)＝ eq \f(1－cs 2x,2)＋ eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin (2x－ eq \f(π,6))＋ eq \f(1,2)，
∵ eq \f(π,4)≤x≤ eq \f(π,2)，∴ eq \f(π,3)≤2x－ eq \f(π,6)≤ eq \f(5,6)π，
∴当2x－ eq \f(π,6)＝ eq \f(5,6)π即x＝ eq \f(π,2)时f(x)min＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1.
4．A 因为α∈(0，π)， eq \f(π,4)－α∈(－ eq \f(3,4)π， eq \f(π,4))，sin ( eq \f(π,4)－α)＝ eq \f(3,5)>0，
所以 eq \f(π,4)－α∈(0， eq \f(π,4))，cs ( eq \f(π,4)－α)＝ eq \f(4,5)，
cs 2α＝cs [2( eq \f(π,4)－α)－ eq \f(π,2)]＝sin [2( eq \f(π,4)－α)]
＝2sin ( eq \f(π,4)－α)cs ( eq \f(π,4)－α)＝2× eq \f(3,5)× eq \f(4,5)＝ eq \f(24,25).
5．A ∵ eq \f(π,6)－α＋( eq \f(π,3)＋α)＝ eq \f(π,2)，∴cs ( eq \f(π,3)＋α)＝sin ( eq \f(π,6)－α)＝ eq \f(1,3)，∴cs ( eq \f(2,3)π＋2α)＝2cs2( eq \f(π,3)＋α)－1＝2× eq \f(1,9)－1＝－ eq \f(7,9).
6．C tan67.5°－ eq \f(1,tan 67.5°)＝ eq \f(sin 67.5°,cs 67.5°)－ eq \f(1,\f(sin 67.5°,cs 67.5°))
＝ eq \f(sin 67.5°,cs 67.5°)－ eq \f(cs 67.5°,sin 67.5°)＝ eq \f(sin267.5°－cs267.5°,sin67.5°cs 67.5°)
＝ eq \f(－cs 135°,\f(1,2)sin 135°)＝2.
7．A ∵cs α＝－ eq \f(4,5)，α为第三象限角，∴sin α＝－ eq \f(3,5).
∵ eq \f(1＋tan \f(α,2),1－tan \f(α,2))＝ eq \f(1＋\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)),1－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝ eq \f(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2),cs \f(α,2)－sin \f(α,2))＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)－sin \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))))＝ eq \f(1＋sin α,cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝ eq \f(1＋sinα,cs α)＝ eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－ eq \f(1,2).故选A.
8．A ∵a⊥b，∴sin θ－2cs θ＝0，
∴tan θ＝2，∴sin 2θ＋cs2θ＝2sinθcs θ＋cs2θ＝ eq \f(2tanθ＋1,1＋tan2θ)＝1.
9．A 因为α∈(0， eq \f(π,2))，所以tan2α＝ eq \f(2sin αcs α,2cs2α－1)＝ eq \f(csα,2－sin α)⇒ eq \f(2sin α,2cs2α－1)＝ eq \f(1,2－sinα)⇒2cs2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cs2α－1＝4sinα⇒sin α＝ eq \f(1,4)⇒tan α＝ eq \f(\r(15),15).
10. eq \f(\r(3),3)
解析：由sin α＝2－ eq \r(3)cs α，
sin2α＋cs2α＝1解得4cs2α－4 eq \r(3)csα＋3＝(2cs α－ eq \r(3))2＝0，得cs α＝ eq \f(\r(3),2)，则sin α＝ eq \f(1,2)，所以tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\r(3),3).
11. eq \f(1,9)
解析：由sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，得1＋sin 2α＝ eq \f(1,3)，
∴sin 2α＝－ eq \f(2,3)，∴cs 4α＝1－2sin22α＝1－2× eq \f(4,9)＝ eq \f(1,9).
12. eq \r(2) 1
解析：∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs 2x＋sin 2x＝ eq \r(2)sin (2x＋ eq \f(π,4))＋1，又2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b.∴A＝ eq \r(2)，b＝1.
13．C f(x)＝sin x|cs x|定义域为R，且
f(－x)＝sin (－x)|cs (－x)|＝－sin x|cs x|＝－f(x)，
所以f(x)＝sin x|cs x|是奇函数，A错误；
当x∈[0，2π]时，f(x)＝sin x|cs x|
＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 2x，0画出图像，
显然f(x)的最小正周期是2π，B错误；
f(x)在区间[－ eq \f(π,4)， eq \f(π,4)]上单调递增，选项C正确；
直线x＝ eq \f(π,4)不是f(x)的对称轴，D错误．
14．D 因为f(x)＝6sin2 eq \f(x,2)＋2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)－3＝3(1－cs x)＋sin x－3
＝ eq \r(10)sin (x＋φ)，tan φ＝－3，φ∈(－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))，
故当f(x)取得最大值时，若x＝θ，则θ＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
则tan θ＝tan (2kπ＋ eq \f(π,2)－φ)＝tan ( eq \f(π,2)－φ)＝ eq \f(1,tan φ)＝－ eq \f(1,3).
15．C 解法一 因为 eq \f(3π,2)<α<2π，所以sin α<0，0所以 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝ eq \r(\f(（1＋cs α）2,（1－cs α）（1＋cs α）))＋ eq \r(\f(（1－cs α）2,（1＋cs α）（1－cs α）))
＝ eq \r(\f(（1＋cs α）2,sin2α))＋ eq \r(\f(（1－csα）2,sin2α))
＝ eq \f(1＋csα,－sin α)＋ eq \f(1－cs α,－sin α)＝－ eq \f(2,sin α)
解法二 因为 eq \f(3π,4)< eq \f(α,2)<π，所以sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，所以 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝ eq \r(\f(1＋2cs2\f(α,2)－1,1－1＋2sin2\f(α,2)))＋ eq \r(\f(1－1＋2sin2\f(α,2),1＋2cs2\f(α,2)－1))
＝ eq \r(\f(cs2\f(α,2),sin2\f(α,2)))＋ eq \r(\f(sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)))＝－( eq \f(cs\f(α,2),sin \f(α,2))＋ eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))
＝－ eq \f(2,2sin \f(α,2)cs \f(α,2))＝－ eq \f(2,sin α).
16．C
f(x)＝ eq \f(（1－\r(sin2x＋cs2x＋2sinx cs x)） \r(sin2\f(x,2)＋cs2\f(x,2)－2sin\f(x,2)cs \f(x,2)),\r(2＋2sin （x＋\f(π,4)＋\f(π,4)）))
＝ eq \f(（1－|sin x＋cs x|）\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)－cs \f(x,2))),\r(2)·\r(1＋cs x))
∵π∴sin x＋cs x<0，sin eq \f(x,2)－cs eq \f(x,2)>0，cs eq \f(x,2)<0，
∴f(x)＝ eq \f(（1＋sin x＋cs x）（sin \f(x,2)－cs \f(x,2)）,\r(2)·\r(1＋2cs2\f(x,2)－1))
＝ eq \f(（1＋2sin\f(x,2)cs \f(x,2)＋2cs2\f(x,2)－1）（sin\f(x,2)－cs \f(x,2)）,－2cs \f(x,2))
＝ eq \f(2cs \f(x,2)（sin \f(x,2)＋cs \f(x,2)）（sin \f(x,2)－cs \f(x,2)）,－2cs \f(x,2))
＝cs2 eq \f(x,2)－sin2 eq \f(x,2)
＝csx，
∴f(x)∈(－1，0).