2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练9幂函数

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一、选择题
1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是( )
A．y＝x B．y＝x eq \f(2,3)
C．y＝x eq \f(1,2)D．y＝|x|
答案：B
2．若f(x)是幂函数，且满足 eq \f(f（4）,f（2）)＝4，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．4 B．－4
C． eq \f(1,4) D．－ eq \f(1,4)
答案：C
解析：设f(x)＝xα，则 eq \f(f（4）,f（2）)＝ eq \f(4α,2α)＝4，
∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4).
3．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f( eq \f(\r(3),3))，b＝f(π)，c＝f( eq \f(\r(2),2))，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b答案：A
解析：由题意知，点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，所以m－1＝1，
8＝(m－1)·mn，则m＝2，n＝3.
即f(x)＝x3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又 eq \f(\r(3),3)< eq \f(\r(2),2)<1<π，
所以f( eq \f(\r(3),3))4．若幂函数y＝f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,5)))，则f(21－lg23)为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(3,2) D．－1
答案：C
解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,5)))，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝ eq \f(1,5)，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(21－lg23)＝f(2lg2 eq \f(2,3))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(－1)＝ eq \f(3,2)，故选C.
5．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3， eq \r(3))，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
答案：D
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3， eq \r(3))代入解析式得3α＝ eq \r(3)，解得α＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \f(1,2).∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
6．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠ eq \f(1±\r(5),2)
答案：A
解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.
7．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
答案：A
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
8．(多选)已知实数a，b满足a eq \s\up6(\f(1,2))＝b eq \s\up6(\f(1,3))，则下列关系式中可能成立的是( )
A．0C．1答案：AC
解析：由题可知a，b∈[0，＋∞)，设a eq \s\up6(\f(1,2))＝b eq \s\up6(\f(1,3))＝m，则m≥0，画出y＝x eq \s\up6(\f(1,2))与y＝x eq \s\up6(\f(1,3))在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当01时，19．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有( )
A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
答案：BC
解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝ eq \f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.
当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.
答案：－1
11．已知幂函数f(x)＝ (k∈N*)满足f(2)答案：f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝ (k∈N*)满足f(2)0，∴－112．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________．
答案：1
解析：由已知得m2－4m＋4＝1，
即m2－4m＋3＝0，
解得m＝1或3.
当m＝1时，f(x)＝x3，符合题意；
当m＝3时，f(x)＝x－1，不符合题意．
故m＝1.
[能力提升]
13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－ eq \f(1,b)＝( )
A．0 B．1 C． eq \f(1,2) D．2
答案：A
解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M( eq \f(1,3)， eq \f(2,3))，N( eq \f(2,3)， eq \f(1,3))，分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝lg eq \f(1,3) eq \f(2,3)，b＝lg eq \f(2,3) eq \f(1,3)，
∴a－ eq \f(1,b)＝lg eq \f(1,3) eq \f(2,3)－ eq \f(1,lg\f(2,3)\f(1,3))＝0.
14．(多选)[2024·重庆开州区质量检测]已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有( )
A．函数f(x)为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．若x＞1，则f(x)＞1
D．若0＜x1＜x2，则 eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)＜f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))
答案：ACD
解析：将点(4，2)的坐标代入函数f(x)＝xα中得2＝4α，则α＝ eq \f(1,2)，所以f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)).
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．
当x＞1时， eq \r(x)＞1，即f(x)＞1，所以C正确．
f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))≥0，若0＜x1＜x2，
则 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x1）＋f（x2）,2))) eq \s\up12(2)－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))))) eq \s\up12(2)
＝( eq \f(\r(x1)＋\r(x2),2))2－( eq \r(\f(x1＋x2,2)))2
＝ eq \f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－ eq \f(x1＋x2,2)
＝ eq \f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－ eq \f(（\r(x1)－\r(x2)）2,4)＜0，
即 eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)＜f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D正确．故选ACD.
15．右图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，± eq \f(1,2)四个值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )
A．－2，－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，2 B．2， eq \f(1,2)，－ eq \f(1,2)，－2
C．－ eq \f(1,2)，－2，2， eq \f(1,2) D．2， eq \f(1,2)，－2，－ eq \f(1,2)
答案：B
解析：当x＝2，n取2，－2， eq \f(1,2)，－ eq \f(1,2)四个值时，依次对应的函数值为4， eq \f(1,4)， eq \r(2)， eq \f(\r(2),2)，因此有C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2， eq \f(1,2)，－ eq \f(1,2)，－2.
16．若(a＋1)－ eq \f(1,3)<(3－2a)－ eq \f(1,3)，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
解析：不等式<等价于
a＋1>3－2a>0或3－2a解得： eq \f(2,3)