统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练21三角恒等变换文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练21三角恒等变换文，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1．若sin eq \f(α,2)＝ eq \f(\r(3),3)，则cs α＝( )
A.－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(1,3)
C. eq \f(1,3)D． eq \f(2,3)
2．已知α为锐角，且cs (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(3,5)，则cs 2α＝( )
A. eq \f(24,25) B． eq \f(7,25)
C.－ eq \f(24,25) D．± eq \f(24,25)
3．函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3)sinx·cs x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最小值为( )
A.1 B． eq \f(1＋\r(3),2)
C.1＋ eq \r(3) D． eq \f(3,2)
4．若tan θ＝－ eq \f(1,3)，则cs 2θ＝( )
A.－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(1,5)
C. eq \f(1,5) D． eq \f(4,5)
5．[2023·全国乙卷(文)]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cs B－b cs A＝c，且C＝ eq \f(π,5)，则B＝( )
A. eq \f(π,10) B． eq \f(π,5)
C. eq \f(3π,10) D． eq \f(2π,5)
6．[2023·成都双流中学模拟]tan 67.5°－ eq \f(1,tan 67.5°)的值为( )
A.1 B． eq \r(2)
C.2 D．4
7．若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A. eq \f(\r(15),15) B． eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),3)D． eq \f(\r(15),3)
8．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cs θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cs2θ的值为( )
A.1 B．2
C. eq \f(1,2) D．3
9．cs2 eq \f(π,12)－cs2 eq \f(5π,12)＝( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),3)
C. eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
二、填空题
10．若sinx＝－ eq \f(2,3)，则cs 2x＝________．
11．已知α为第二象限角，sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，则cs 4α＝________．
12．已知2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
[能力提升]
13．若 eq \f(sin （π－α）－sin （\f(π,2)－α）,cs （\f(π,2)＋α）＋cs （π＋α）)＝ eq \f(1,3)，则tan 2α＝( )
A.－ eq \f(3,4) B． eq \f(3,4)
C. eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,3)
14．[2023·陕西省西安中学模拟]当x＝θ时，f(x)＝6sin2 eq \f(x,2)＋2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)－3取得最大值，则tan θ＝( )
A.3 B．－3
C. eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
15．[2023·陕西省西安中学四模]已知 eq \f(3π,2)<α<2π，则 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝( )
A.－ eq \f(1,sin α) B． eq \f(1,sin α)
C.－ eq \f(2,sin α) D． eq \f(2,sin α)
16．[2023·河南省六市检测] 已知x为锐角， eq \f(a－cs x,sin x)＝ eq \r(3)，则a的取值范围为( )
A.[－2，2] B．(1， eq \r(3))
C.(1，2] D．(1，2)
专练21 三角恒等变换
1．C cs α＝1－2sin2 eq \f(α,2)＝1－2× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,3).
2．A ∵α为锐角，∴ eq \f(π,4)<α＋ eq \f(π,4)< eq \f(3,4)π，
∴sin(α＋ eq \f(π,4))＝ eq \r(1－cs2（α＋\f(π,4)）)＝ eq \f(4,5)，
∴cs2α＝sin ( eq \f(π,2)＋2α)＝2sin (α＋ eq \f(π,4))cs (α＋ eq \f(π,4))＝2× eq \f(4,5)× eq \f(3,5)＝ eq \f(24,25).
3．A f(x)＝ eq \f(1－cs 2x,2)＋ eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin (2x－ eq \f(π,6))＋ eq \f(1,2)，
∵ eq \f(π,4)≤x≤ eq \f(π,2)，∴ eq \f(π,3)≤2x－ eq \f(π,6)≤ eq \f(5,6)π，
∴当2x－ eq \f(π,6)＝ eq \f(5,6)π即x＝ eq \f(π,2)时f(x)min＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1.
4．D ∵cs 2θ＝ eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝ eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝ eq \f(1－（－\f(1,3)）2,1＋（－\f(1,3)）2)＝ eq \f(4,5).
5．C 因为a csB－b cs A＝c，所以由正弦定理得sin A cs B－sin B cs A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cs A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cs A＝0，A＝ eq \f(π,2).所以B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,2)－ eq \f(π,5)＝ eq \f(3π,10)，故选C.
6．C tan 67.5°－ eq \f(1,tan 67.5°)＝ eq \f(sin 67.5°,cs 67.5°)－ eq \f(1,\f(sin 67.5°,cs 67.5°))
＝ eq \f(sin 67.5°,cs 67.5°)－ eq \f(cs 67.5°,sin 67.5°)
＝ eq \f(sin267.5°－cs267.5°,sin67.5°cs 67.5°)
＝ eq \f(－cs 135°,\f(1,2)sin 135°)＝2.
7．A 解法一 因为tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α)＝ eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)，且tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，所以 eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝ eq \f(csα,2－sin α)，解得sin α＝ eq \f(1,4).因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝ eq \f(\r(15),4)，tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\r(15),15).
解法二 因为tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝ eq \f(\f(2sinα,cs α),1－\f(sin2α,cs2α))＝ eq \f(2sinαcs α,cs2α－sin2α)＝ eq \f(2sinαcs α,1－2sin2α)，且tan2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，所以 eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝ eq \f(csα,2－sin α)，解得sin α＝ eq \f(1,4).因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝ eq \f(\r(15),4)，tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\r(15),15).
8．A ∵a⊥b，∴sin θ－2cs θ＝0，
∴tan θ＝2，∴sin 2θ＋cs2θ＝2sinθcs θ＋cs2θ＝ eq \f(2tanθ＋1,1＋tan2θ)＝1.
9．D 通解 因为cs eq \f(5π,12)＝sin ( eq \f(π,2)－ eq \f(5π,12))＝sin eq \f(π,12)，
所以cs2 eq \f(π,12)－cs2 eq \f(5π,12)＝cs2 eq \f(π,12)－sin2 eq \f(π,12)＝cs(2× eq \f(π,12))＝cs eq \f(π,6)＝ eq \f(\r(3),2).
优解 设cs2 eq \f(π,12)－cs2 eq \f(5π,12)＝a，sin2 eq \f(π,12)－sin2 eq \f(5π,12)＝b，则a＋b＝(cs2 eq \f(π,12)＋sin2 eq \f(π,12))－(cs2 eq \f(5π,12)＋sin2 eq \f(5π,12))＝1－1＝0 ①，a－b＝(cs2 eq \f(π,12)－sin2 eq \f(π,12))－(cs2 eq \f(5π,12)－sin2 eq \f(5π,12))＝cs(2× eq \f(π,12))－cs (2× eq \f(5π,12))＝cs eq \f(π,6)－cs eq \f(5π,6)＝2cs eq \f(π,6)＝ eq \r(3) ②，所以根据①＋②可得2a＝ eq \r(3)，即a＝ eq \f(\r(3),2)，即cs2 eq \f(π,12)－cs2 eq \f(5π,12)＝ eq \f(\r(3),2).
光速解 因为cs eq \f(π,12)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，cs eq \f(5π,12)＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
所以cs2 eq \f(π,12)－cs2 eq \f(5π,12)＝( eq \f(\r(6)＋\r(2),4))2－( eq \f(\r(6)－\r(2),4))2＝ eq \f(\r(3),2).
10．答案： eq \f(1,9)
解析：∵sinx＝－ eq \f(2,3)，∴cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×(－ eq \f(2,3))2＝ eq \f(1,9).
11．答案： eq \f(1,9)
解析：由sinα＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，得1＋sin 2α＝ eq \f(1,3)，
∴sin 2α＝－ eq \f(2,3)，∴cs 4α＝1－2sin22α＝1－2× eq \f(4,9)＝ eq \f(1,9).
12．答案： eq \r(2) 1
解析：∵2cs2x＋sin2x＝1＋cs 2x＋sin 2x＝ eq \r(2)sin (2x＋ eq \f(π,4))＋1，又2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b.∴A＝ eq \r(2)，b＝1.
13．C 由 eq \f(sin （π－α）－sin （\f(π,2)－α）,cs （\f(π,2)＋α）＋cs （π＋α）)＝ eq \f(1,3)，得
eq \f(sin α－cs α,－sin α－cs α)＝ eq \f(1,3)，
由此式可知cs α≠0，
所以 eq \f(tan α－1,－tan α－1)＝ eq \f(1,3)，得tan α＝ eq \f(1,2)，
所以tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝ eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝ eq \f(4,3).
14．D 因为f(x)＝6sin2 eq \f(x,2)＋2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)－3＝3(1－cs x)＋sin x－3
＝ eq \r(10)sin (x＋φ)，tan φ＝－3，φ∈(－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))，
故当f(x)取得最大值时，若x＝θ，则θ＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，
则tan θ＝tan (2kπ＋ eq \f(π,2)－φ)＝tan ( eq \f(π,2)－φ)＝ eq \f(1,tan φ)＝－ eq \f(1,3).
15．C 方法一 因为 eq \f(3π,2)<α<2π，所以sin α<0，0所以 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝ eq \r(\f(（1＋cs α）2,（1－cs α）（1＋cs α）))＋ eq \r(\f(（1－cs α）2,（1＋cs α）（1－cs α）))
＝ eq \r(\f(（1＋cs α）2,sin2α))＋ eq \r(\f(（1－csα）2,sin2α))
＝ eq \f(1＋csα,－sin α)＋ eq \f(1－cs α,－sin α)＝－ eq \f(2,sin α).
方法二 因为 eq \f(3π,4)< eq \f(α,2)<π，所以sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
所以 eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))＋ eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝ eq \r(\f(1＋2cs2\f(α,2)－1,1－1＋2sin2\f(α,2)))＋ eq \r(\f(1－1＋2sin2\f(α,2),1＋2cs2\f(α,2)－1))
＝ eq \r(\f(cs2\f(α,2),sin2\f(α,2)))＋ eq \r(\f(sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)))＝－( eq \f(cs\f(α,2),sin \f(α,2))＋ eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))
＝－ eq \f(2,2sin \f(α,2)cs \f(α,2))＝－ eq \f(2,sin α).
16．C 由 eq \f(a－cs x,sin x)＝ eq \r(3)，
可得a＝ eq \r(3)sin x＋cs x＝2sin (x＋ eq \f(π,6))，
因为x∈(0， eq \f(π,2))，
所以x＋ eq \f(π,6)∈( eq \f(π,6)， eq \f(2π,3))，则2sin (x＋ eq \f(π,6))∈(1，2]，
所以a的取值范围为(1，2].