2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练20同角三角函数的基本关系及诱导公式

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练20同角三角函数的基本关系及诱导公式，共5页。
一、选择题
1．sin eq \f(25,6)π＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
答案：C
解析：sin eq \f(25,6)π＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝ eq \f(1,2).
2．cs eq \f(π,5)＋cs eq \f(2,5)π＋cs eq \f(3,5)π＋cs eq \f(4,5)π的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
解析：cs eq \f(π,5)＋cs eq \f(2,5)π＋cs eq \f(3,5)π＋cs eq \f(4,5)π
＝cs eq \f(π,5)＋cs eq \f(2,5)π＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2,5)π))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))
＝cs eq \f(π,5)＋cs eq \f(2,5)π－cs eq \f(2,5)π－cs eq \f(π,5)
＝0.
3．若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，tan (α－7π)＝ eq \f(3,4)，则sin α＋cs α＝( )
A．± eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,5) C． eq \f(1,5) D．－ eq \f(7,5)
答案：D
解析：tan (α－7π)＝tan α＝ eq \f(3,4)>0，又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))，∴α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，∴sin α＝－ eq \f(3,5)，cs α＝－ eq \f(4,5)，∴sin α＋cs α＝－ eq \f(7,5).
4．已知2sin α－cs α＝0，则sin2α－2sinαcs α的值为( )
A．－ eq \f(3,5) B．－ eq \f(12,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(12,5)
答案：A
解析：2sin α－cs α＝0，∴tan α＝ eq \f(1,2)，
∴sin2α－2sinαcs α＝ eq \f(sin2α－2sinαcs α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(tan2α－2tanα,1＋tan2α)＝ eq \f(\f(1,4)－1,1＋\f(1,4))＝－ eq \f(3,5).
5．已知α是第二象限角，P(x， eq \r(5))为其终边上一点，且csα＝ eq \f(\r(2),4)x，则tan α＝( )
A． eq \f(\r(15),3) B．－ eq \f(\r(15),3)
C． eq \f(\r(5),3) D．－ eq \f(\r(5),3)
答案：B
解析：由三角函数的定义得cs α＝ eq \f(\r(2)x,4)＝ eq \f(x,\r(x2＋5))，解得x＝± eq \r(3)或x＝0.因为点P(x， eq \r(5))在第二象限内，所以x＝－ eq \r(3)，故tan α＝ eq \f(\r(5),x)＝ eq \f(\r(5),－\r(3))＝－ eq \f(\r(15),3).故选B.
6．已知sin α－cs α＝ eq \f(4,3)，则sin 2α＝( )
A．－ eq \f(7,9) B．－ eq \f(2,9)
C． eq \f(2,9) D． eq \f(7,9)
答案：A
解析：由sin α－cs α＝ eq \f(4,3)，得1－2sin αcs α＝ eq \f(16,9)，
∴2sin αcs α＝1－ eq \f(16,9)＝－ eq \f(7,9)，即：sin 2α＝－ eq \f(7,9).
7．[2024·全国甲卷(理)]已知 eq \f(cs α,cs α－sin α)＝ eq \r(3)，则tan (α＋ eq \f(π,4))＝( )
A．2 eq \r(3)＋1 B．2 eq \r(3)－1
C． eq \f(\r(3),2) D．1－ eq \r(3)
答案：B
解析：∵ eq \f(cs α,cs α－sin α)＝ eq \f(1,1－tan α)＝ eq \r(3)，∴tan α＝1－ eq \f(\r(3),3)，
∴tan (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝ eq \f(1－\f(\r(3),3)＋1,1－（1－\f(\r(3),3)）)＝2 eq \r(3)－1，故选B.
8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则 eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2cs （π－θ）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin （π－θ）)＝( )
A．－ eq \f(3,2) B． eq \f(3,2)
C．0 D． eq \f(2,3)
答案：B
解析：由三角函数的定义可知tan θ＝3，
∴ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋θ))＋2cs （π－θ）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin （π－θ）)＝ eq \f(－cs θ－2cs θ,cs θ－sin θ)
＝ eq \f(－3,1－tan θ)＝ eq \f(3,2).
9．已知α为第二象限角，则cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α· eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝( )
A．sin α－cs α
B．sin α＋cs α
C．cs α－sin α
D．－(sin α＋cs α)
答案：A
解析： eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝ eq \r(\f(（1－sin α）2,（1＋sin α）（1－sin α）))＝ eq \r(\f(（1－sin α）2,cs2α))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－sinα,cs α)))， eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝ eq \r(\f(（1－cs α）2,（1＋cs α）（1－cs α）))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs α,sin α)))，
根据三角函数性质知1－sin α>0，1－cs α>0，再根据α为第二象限角知cs α0，所以原式＝cs α× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1－sin α,cs α)))＋sin α× eq \f(1－cs α,sin α)＝sin α－cs α.
二、填空题
10．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，sin α＝－ eq \f(3,5)，则cs α＝________，tan (π＋α)＝________．
答案： eq \f(4,5) － eq \f(3,4)
解析：由α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，sin α＝－ eq \f(3,5)，得cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(4,5)，tan(π＋α)＝tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝－ eq \f(3,4).
11．若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝ eq \f(1,3)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋θ))＝________．
答案： eq \f(1,3)
解析：∵ eq \f(π,12)－θ＋ eq \f(5,12)π＋θ＝ eq \f(π,2)，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)π＋θ))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝ eq \f(1,3).
12．[2024·新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ eq \r(2)＋1，则sin (α＋β)＝__________．
答案：－ eq \f(2\r(2),3)
解析：∵tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ eq \r(2)＋1，
∴tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(4,－\r(2))＝－2 eq \r(2).
∵2k1π