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2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0.C．D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B．数轴上的点表示的数都是有理数
C．一个三角形的最大内角不会小于60° D．同旁内角互补
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点，一束光从点C（2，0）发出，射向y轴上的点D（0，1），经点D反射后经过AB上一点E，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
10．（3分）点A（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为 ．
11．（3分）若一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，则n＝ ．
12．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（3分）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程组是 ．
14．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，共55分）
15．（8分）计算题：
（1）； （2）．
16．（6分）解方程组．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相关的数据信息：
七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10
七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有 人．
18．（8分）列方程解应用题：某校举行了“歌唱祖国，爱我中华”合唱比赛，学校购买了A，B两种型号的笔记本对表现优异的班级进行奖励．若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同，请计算A，B两种笔记本的单价分别是多少元？
19．（8分）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
20．（8分）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示．
（1）当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为 L．
（2）某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≥3）的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
21．（9分）点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（4，0），
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP′+QP′是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0.C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义逐一判断，即可解答．
【解答】解：A、∵＝2，
∴是有理数，
故A不符合题意；B、0.是有理数，故B不符合题意；C、是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A、当x＝1，y＝﹣1时，x﹣2y＝1﹣2×（﹣1）＝3，是方程的解，不合题意；
B、当x＝﹣1，y＝﹣3时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣3）＝5，不是方程的解，符合题意；
C、当x＝5，y＝1时，x﹣2y＝5﹣2×1＝3，是方程的解，不合题意；
D、当x＝﹣1，y＝﹣2时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，是方程的解，不合题意；
故选：B．
3．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、×＝2，故C符合题意；
D、2﹣＝，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠GDB＝45°，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠GDB＝∠E＝45°，
∴∠BGE＝∠B+∠GDB＝60°+45°＝105°，
故选：B．
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．数轴上的点表示的数都是有理数
C．一个三角形的最大内角不会小于60°
D．同旁内角互补
【答案】C
【分析】根据有理数、平行线的性质、三角形的内角、无理数的概念判断即可．
【解答】解：A、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、数轴上的点表示的数都是实数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、一个三角形的最大内角不会小于60°，是真命题，符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和表格中的数据，可以列出方程组，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】设正方形EFGH的边长为a，用a表示四个全等的直角三角形和一个小正方形的面积，由正方形ABCD的面积为10，建立方程求a．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴CH⊥BE，
∵EC＝BC，
∴HE＝HB，
∴BE＝2HE，
∴HC＝2HE，
设正方形EFGH的边长为a，则HB＝HE＝a，HC＝2a，
∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BHC＝a2+4××HB•HC＝a2+4××a•2a＝5a2＝10，
∴a2＝2，
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点，一束光从点C（2，0）发出，射向y轴上的点D（0，1），经点D反射后经过AB上一点E，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在D上方取点F，使DF＝OD＝1，过F作FG⊥y轴交DE延长线于G，证明△FDG≌△ODC（AAS），可求出G（2，2），直线DG函数表达式为y＝x+1，联立，解得E（，）．
【解答】解：在D上方取点F，使DF＝OD＝1，过F作FG⊥y轴交DE延长线于G，如图：
由反射定律可得，∠EDF＝∠CDO，
∵OD＝DF．∠DFG＝90°＝∠AOD，
∴△FDG≌△ODC（AAS），
∴FG＝OC＝2，
∴G（2，2），
由G（2，2），D（0，1）得直线DG函数表达式为y＝x+1，
联立，解得，∴E（，），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
10．（3分）点A（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，易得答案．
【解答】解：根据平面内关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
已知点A（﹣2，1），则点A关于y轴对称的点的横坐标为﹣（﹣2）＝2，纵坐标为1，
故点（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标是（2，1）．
故答案为（2，1）．
11．（3分）若一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，则n＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】根据一个正数的平方根有两个且互为相反数列出方程，求出n的值即可．
【解答】解：∵一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，
∴n﹣1+2n﹣5＝0，
解得：n＝2．
故答案为：2．
12．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 ＞ S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：＞．
13．（3分）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程组是 （答案不唯一） ．
【分析】根据二元一次方程组的定义，结合方程组的解即可得到结论．
【解答】解：根据二元一次方程组的定义，结合方程组无解得，
14．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．
【答案】．
【分析】由折叠可知∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，易通过AAS证明△EFO≌△GAO，得到OF＝OA，OE＝OG，于是AE＝FG，设BE＝x，则EF＝AG＝x，AE＝FG＝6﹣x，进而可得DG＝8+x，CG＝14﹣x，在Rt△CDG中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠D＝90°，
由折叠可知，∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，
∴∠EFO＝90°＝∠GAO，
在△EFO和△GAO中，
，
∴△EFO≌△GAO（AAS），
∴OF＝OA，OE＝OG，
∴OF+OG＝OA+OE，即AE＝FG，
设BE＝x，则EF＝AG＝x，AE＝FG＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴DG＝AD+AG＝8+x，CG＝CF+FG＝8+6﹣x＝14﹣x，
在Rt△CDG中，CD2+DG2＝CG2，
∴62+（8+x）2＝（14﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，共55分）
15．（8分）计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3；
（2）4﹣3．
【分析】（1）原式第一项分母有理化，第二项利用平方差公式化简，计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式性质，零指数幂，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝+5﹣4
＝2+5﹣4
＝3；
（2）原式＝3+1﹣3+﹣1
＝4﹣3．
16．（6分）解方程组．【答案】．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：原方程组化为，
①﹣②得：x＝4，
将x＝4代入②得：4﹣y＝1，
解得：y＝3，故原方程组的解为．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相关的数据信息：
七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10
七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 11 ，b＝ 10 ，c＝ 9.5 ；
（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有 200 人．
【答案】（1）11，10，9.5；
（2）200人．
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用1000乘样本中每周课外阅读时间不低于12小时所占比例即可．
【解答】解：（1）七年级10名学生数据中，11出现的次数最多，故众数a＝11，
把七年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、11，故中位数b＝＝10，
把八年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、10中位数b＝＝9.5，
故答案为：11，10，9.5；
（2）1000×＝200（人），
即估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的大约共有200人．
故答案为：200．
18．（8分）列方程解应用题：某校举行了“歌唱祖国，爱我中华”合唱比赛，学校购买了A，B两种型号的笔记本对表现优异的班级进行奖励．若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同，请计算A，B两种笔记本的单价分别是多少元？
【答案】A型笔记本的单价为5元，B型笔记本的单价为3元．
【分析】设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，由“若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A型笔记本的单价为5元，B型笔记本的单价为3元．
19．（8分）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BD的长为．
【分析】（1）由CE⊥BA，得∠BEF＝90°＝∠AEC，又BD⊥CA，∠DAB＝∠EAC，可得∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，根据AAS即可证明△BEF≌△CEA；
（2）由△BEF≌△CEA，得BE＝CE＝2，利用勾股定理得BC＝＝2，EF＝＝1，利用BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，可得（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，即可解得答案．
【解答】（1）证明：∵CE⊥BA，
∴∠BEF＝90°＝∠AEC，
∵BD⊥CA，
∴∠ADB＝90°＝∠AEC，
∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，
在△BEF和△CEA中，
，
∴△BEF≌△CEA（AAS）；
（2）解：由（1）知△BEF≌△CEA，
∴BE＝CE＝2，
∴BC＝＝＝2，EF＝＝＝1，
∴CF＝CE+EF＝2+1＝3；
∵BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，
∴BC2﹣BD2＝CF2﹣（BF﹣BD）2，
∴（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，
解得BD＝；
∴BD的长为．
20．（8分）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示．
（1）当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为 2.5 L．
（2）某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≥3）的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
【答案】（1）2.5；
（2）①y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②前25个同学接完水共需多6min．
【分析】（1）由表列出算式计算即可；
（2）①求出打开其中两个放水管，当x＝3时，饮水机的存水量y＝25﹣×3＝20（L），再用待定系数法可得饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②求出每个同学接水＝0.5（L），可知前25个同学共接水0.5×25＝12.5（L），此时饮水机中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，故12.5＝﹣2.5x+27.5，即可解得答案．
【解答】解：（1）由表可知，当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为＝2.5（L），
故答案为：2.5；
（2）①根据题意知，打开其中两个放水管，每分钟的总出水量为×2＝（L），
∴当x＝3时，饮水机的存水量y＝25﹣×3＝20（L），
当x≥3时，设y＝kx+b，把（3，20），（5，15）代入得：
，
解得，
∴饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②∵前3分钟恰好有10名同学接完水，
∴每个同学接水＝0.5（L），
∴前25个同学共接水0.5×25＝12.5（L），
此时饮水机中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，
∴12.5＝﹣2.5x+27.5，
解得x＝6，
∴前25个同学接完水共需多6min．
21．（9分）点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（4，0），
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 （4，4）或（4，﹣4） ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP′+QP′是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】（1）①（4，4）或（4，﹣4）；②（﹣，﹣4）或（，4）；（2）OP′+QP′有最小值，最小值为．
【分析】（1）①利用等垂点的定义，画出图形解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：Ⅰ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′A⊥x轴于点A，设P′（m，2m+3），则P′A＝﹣2m﹣3，利用全等三角形的判定与性质得到AP′＝OQ＝4，则﹣2m﹣3＝4，求得m值，则结论可得；Ⅱ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′B⊥x轴于点B，利用Ⅰ中的方法解答即可得出结论；
（2）过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，利用全等三角形的判定与性质得到PC＝QD＝4，则BD＝BQ+QD＝1+4＝5，于是得到点P′的横坐标为5，即点P′在直线x＝5上运动，再利用将军饮马模型解答即可得出结论．
【解答】解：（1）①作出点P关于点Q的等垂点，如图，
则P′Q＝PQ，
∵点Q的坐标为（4，0），若点P为原点，
∴PQ＝4，
∴P′Q＝PQ＝4，
∵P′Q⊥x轴，
∴P关于Q的等垂点P′的坐标为（4，4）或（4，﹣4）．
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）；
②Ⅰ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′A⊥x轴于点A，如图，
∵P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，
∴设P′（m，2m+3），
∴P′A＝﹣2m﹣3，
∵点Q的坐标为（4，0），
∴OQ＝4．
∵PQ⊥P′Q，
∴∠PQA+∠AQP′＝90°，
∵∠AQP′+∠AP′Q＝90°，
∴∠AP′Q＝∠OQP．
在△AP′Q和△OQP中，
，
∴△AP′Q≌△OQP（AAS），
∴AP′＝OQ＝4，
∴﹣2m﹣3＝4，
∴m＝﹣，
∴P′（﹣，﹣4）；
Ⅱ．当点P在y轴的负半轴上时，过点P′作P′B⊥x轴于点B，如图，
∵P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，
∴设P′（m，2m+3），
∴P′B＝2m+3，
同Ⅰ可得：△P′BQ≌△QOP，
∴P′B＝OQ＝4，
∴2m+3＝4，
∴m＝，
∴P′（，4）．
综上，点P′的坐标为（﹣，﹣4）或（，4）；
（3）OP′+QP′有最小值，最小值为，理由：
过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，如图，
则OB＝2，BQ＝1，PA＝2，AC＝OB＝2，
∴PC＝PA+AC＝4．
∵∠CPQ+∠CQP＝90°，∠CQP+∠P′QD＝90°，
∴∠CPQ＝∠DQP′．
在△PCQ和△QDP′中，
，
∴△PCQ≌△QDP′（AAS），
∴PC＝QD＝4，
∴BD＝BQ+QD＝1+4＝5，
∴点P′的横坐标为5，即点P′在直线x＝5上运动，
作点O关于直线x＝5的对称点O′，连接O′Q，交直线x＝5于点P″，
则P″O＝P″O′，
∴当点P′与点P″重合时，且Q，P″，O′在一条直线上时，OP′+QP′的值最小，最小值为O′Q．
过点Q作QE⊥OO′于点E，则OE＝1，QE＝2，
∴O′E＝OO′﹣OE＝10﹣1＝9，
∴O′Q＝＝＝．
∴OP′+QP′有最小值，最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/30 19:40:40；用户：初中数学；邮箱：zqxdwh@xyh.cm；学号：37246586
菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序甲食材
乙食材
每克所含蛋白质
0.3单位
0.7单位
每克所含碳水化合物
0.6单位
0.4单位
平均数
众数
中位数
七年级
10
a
b
八年级
9
10
c
放水时间（分）
0
3
8
…
直饮水机的存水量（升）
25
17.5
5
…
甲食材
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每克所含蛋白质
0.3单位
0.7单位
每克所含碳水化合物
0.6单位
0.4单位
平均数
众数
中位数
七年级
10
a
b
八年级
9
10
c
放水时间（分）
0
3
8
…
直饮水机的存水量（升）
25
17.5
5
…
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0.C．D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B．数轴上的点表示的数都是有理数
C．一个三角形的最大内角不会小于60° D．同旁内角互补
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点，一束光从点C（2，0）发出，射向y轴上的点D（0，1），经点D反射后经过AB上一点E，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
10．（3分）点A（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为 ．
11．（3分）若一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，则n＝ ．
12．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（3分）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程组是 ．
14．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，共55分）
15．（8分）计算题：
（1）； （2）．
16．（6分）解方程组．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相关的数据信息：
七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10
七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有 人．
18．（8分）列方程解应用题：某校举行了“歌唱祖国，爱我中华”合唱比赛，学校购买了A，B两种型号的笔记本对表现优异的班级进行奖励．若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同，请计算A，B两种笔记本的单价分别是多少元？
19．（8分）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
20．（8分）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示．
（1）当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为 L．
（2）某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≥3）的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
21．（9分）点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（4，0），
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP′+QP′是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0.C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义逐一判断，即可解答．
【解答】解：A、∵＝2，
∴是有理数，
故A不符合题意；B、0.是有理数，故B不符合题意；C、是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A、当x＝1，y＝﹣1时，x﹣2y＝1﹣2×（﹣1）＝3，是方程的解，不合题意；
B、当x＝﹣1，y＝﹣3时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣3）＝5，不是方程的解，符合题意；
C、当x＝5，y＝1时，x﹣2y＝5﹣2×1＝3，是方程的解，不合题意；
D、当x＝﹣1，y＝﹣2时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，是方程的解，不合题意；
故选：B．
3．（3分）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、×＝2，故C符合题意；
D、2﹣＝，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）将一副直角三角板如图放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，则∠BGE的度数为（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠GDB＝45°，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠GDB＝∠E＝45°，
∴∠BGE＝∠B+∠GDB＝60°+45°＝105°，
故选：B．
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
6．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．数轴上的点表示的数都是有理数
C．一个三角形的最大内角不会小于60°
D．同旁内角互补
【答案】C
【分析】根据有理数、平行线的性质、三角形的内角、无理数的概念判断即可．
【解答】解：A、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、数轴上的点表示的数都是实数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、一个三角形的最大内角不会小于60°，是真命题，符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和表格中的数据，可以列出方程组，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】设正方形EFGH的边长为a，用a表示四个全等的直角三角形和一个小正方形的面积，由正方形ABCD的面积为10，建立方程求a．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴CH⊥BE，
∵EC＝BC，
∴HE＝HB，
∴BE＝2HE，
∴HC＝2HE，
设正方形EFGH的边长为a，则HB＝HE＝a，HC＝2a，
∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BHC＝a2+4××HB•HC＝a2+4××a•2a＝5a2＝10，
∴a2＝2，
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点，一束光从点C（2，0）发出，射向y轴上的点D（0，1），经点D反射后经过AB上一点E，则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在D上方取点F，使DF＝OD＝1，过F作FG⊥y轴交DE延长线于G，证明△FDG≌△ODC（AAS），可求出G（2，2），直线DG函数表达式为y＝x+1，联立，解得E（，）．
【解答】解：在D上方取点F，使DF＝OD＝1，过F作FG⊥y轴交DE延长线于G，如图：
由反射定律可得，∠EDF＝∠CDO，
∵OD＝DF．∠DFG＝90°＝∠AOD，
∴△FDG≌△ODC（AAS），
∴FG＝OC＝2，
∴G（2，2），
由G（2，2），D（0，1）得直线DG函数表达式为y＝x+1，
联立，解得，∴E（，），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
10．（3分）点A（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，易得答案．
【解答】解：根据平面内关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
已知点A（﹣2，1），则点A关于y轴对称的点的横坐标为﹣（﹣2）＝2，纵坐标为1，
故点（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标是（2，1）．
故答案为（2，1）．
11．（3分）若一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，则n＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】根据一个正数的平方根有两个且互为相反数列出方程，求出n的值即可．
【解答】解：∵一个正数的平方根为n﹣1和2n﹣5，
∴n﹣1+2n﹣5＝0，
解得：n＝2．
故答案为：2．
12．（3分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 ＞ S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：＞．
13．（3分）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程组是 （答案不唯一） ．
【分析】根据二元一次方程组的定义，结合方程组的解即可得到结论．
【解答】解：根据二元一次方程组的定义，结合方程组无解得，
14．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．
【答案】．
【分析】由折叠可知∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，易通过AAS证明△EFO≌△GAO，得到OF＝OA，OE＝OG，于是AE＝FG，设BE＝x，则EF＝AG＝x，AE＝FG＝6﹣x，进而可得DG＝8+x，CG＝14﹣x，在Rt△CDG中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠D＝90°，
由折叠可知，∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，
∴∠EFO＝90°＝∠GAO，
在△EFO和△GAO中，
，
∴△EFO≌△GAO（AAS），
∴OF＝OA，OE＝OG，
∴OF+OG＝OA+OE，即AE＝FG，
设BE＝x，则EF＝AG＝x，AE＝FG＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴DG＝AD+AG＝8+x，CG＝CF+FG＝8+6﹣x＝14﹣x，
在Rt△CDG中，CD2+DG2＝CG2，
∴62+（8+x）2＝（14﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，共55分）
15．（8分）计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3；
（2）4﹣3．
【分析】（1）原式第一项分母有理化，第二项利用平方差公式化简，计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式性质，零指数幂，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝+5﹣4
＝2+5﹣4
＝3；
（2）原式＝3+1﹣3+﹣1
＝4﹣3．
16．（6分）解方程组．【答案】．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：原方程组化为，
①﹣②得：x＝4，
将x＝4代入②得：4﹣y＝1，
解得：y＝3，故原方程组的解为．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三届深圳读书月盛大开幕，本届读书月以“读时代新篇创文明典范”为年度主题，2300余场文化活动“阅”动全城．春海学校积极响应深圳读书月的号召，在校内推广课外阅读活动．为了解七、八年级学生每周课外阅读的情况，分别从两个年级随机抽取了10名学生进行调查，并对调查数据进行整理分析．现将参与调查的每个学生每周课外阅读的时间用x（小时）表示，并将两个年级的调查数据分别分成四组：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相关的数据信息：
七年级学生调查数据：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年级学生调查数据位于C组中的是：9，10，10，10
七、八年级抽取的学生每周课外阅读时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 11 ，b＝ 10 ，c＝ 9.5 ；
（2）若七、八年级共有1000名学生，请你估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的共有 200 人．
【答案】（1）11，10，9.5；
（2）200人．
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用1000乘样本中每周课外阅读时间不低于12小时所占比例即可．
【解答】解：（1）七年级10名学生数据中，11出现的次数最多，故众数a＝11，
把七年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、11，故中位数b＝＝10，
把八年级10名学生数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为9、10中位数b＝＝9.5，
故答案为：11，10，9.5；
（2）1000×＝200（人），
即估计该校七、八年级学生每周课外阅读时间不低于12小时的大约共有200人．
故答案为：200．
18．（8分）列方程解应用题：某校举行了“歌唱祖国，爱我中华”合唱比赛，学校购买了A，B两种型号的笔记本对表现优异的班级进行奖励．若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同，请计算A，B两种笔记本的单价分别是多少元？
【答案】A型笔记本的单价为5元，B型笔记本的单价为3元．
【分析】设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，由“若购买40本B型笔记本比20本A型笔记本多20元，购买30本A型笔记本和50本B型笔记本价格相同”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设A型笔记本的单价为x元，B型笔记本的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A型笔记本的单价为5元，B型笔记本的单价为3元．
19．（8分）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BD的长为．
【分析】（1）由CE⊥BA，得∠BEF＝90°＝∠AEC，又BD⊥CA，∠DAB＝∠EAC，可得∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，根据AAS即可证明△BEF≌△CEA；
（2）由△BEF≌△CEA，得BE＝CE＝2，利用勾股定理得BC＝＝2，EF＝＝1，利用BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，可得（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，即可解得答案．
【解答】（1）证明：∵CE⊥BA，
∴∠BEF＝90°＝∠AEC，
∵BD⊥CA，
∴∠ADB＝90°＝∠AEC，
∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，
在△BEF和△CEA中，
，
∴△BEF≌△CEA（AAS）；
（2）解：由（1）知△BEF≌△CEA，
∴BE＝CE＝2，
∴BC＝＝＝2，EF＝＝＝1，
∴CF＝CE+EF＝2+1＝3；
∵BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，
∴BC2﹣BD2＝CF2﹣（BF﹣BD）2，
∴（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，
解得BD＝；
∴BD的长为．
20．（8分）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示．
（1）当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为 2.5 L．
（2）某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间x（min）（x≥3）的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
【答案】（1）2.5；
（2）①y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②前25个同学接完水共需多6min．
【分析】（1）由表列出算式计算即可；
（2）①求出打开其中两个放水管，当x＝3时，饮水机的存水量y＝25﹣×3＝20（L），再用待定系数法可得饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②求出每个同学接水＝0.5（L），可知前25个同学共接水0.5×25＝12.5（L），此时饮水机中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，故12.5＝﹣2.5x+27.5，即可解得答案．
【解答】解：（1）由表可知，当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为＝2.5（L），
故答案为：2.5；
（2）①根据题意知，打开其中两个放水管，每分钟的总出水量为×2＝（L），
∴当x＝3时，饮水机的存水量y＝25﹣×3＝20（L），
当x≥3时，设y＝kx+b，把（3，20），（5，15）代入得：
，
解得，
∴饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②∵前3分钟恰好有10名同学接完水，
∴每个同学接水＝0.5（L），
∴前25个同学共接水0.5×25＝12.5（L），
此时饮水机中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，
∴12.5＝﹣2.5x+27.5，
解得x＝6，
∴前25个同学接完水共需多6min．
21．（9分）点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（4，0），
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 （4，4）或（4，﹣4） ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP′+QP′是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】（1）①（4，4）或（4，﹣4）；②（﹣，﹣4）或（，4）；（2）OP′+QP′有最小值，最小值为．
【分析】（1）①利用等垂点的定义，画出图形解答即可；
②利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：Ⅰ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′A⊥x轴于点A，设P′（m，2m+3），则P′A＝﹣2m﹣3，利用全等三角形的判定与性质得到AP′＝OQ＝4，则﹣2m﹣3＝4，求得m值，则结论可得；Ⅱ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′B⊥x轴于点B，利用Ⅰ中的方法解答即可得出结论；
（2）过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，利用全等三角形的判定与性质得到PC＝QD＝4，则BD＝BQ+QD＝1+4＝5，于是得到点P′的横坐标为5，即点P′在直线x＝5上运动，再利用将军饮马模型解答即可得出结论．
【解答】解：（1）①作出点P关于点Q的等垂点，如图，
则P′Q＝PQ，
∵点Q的坐标为（4，0），若点P为原点，
∴PQ＝4，
∴P′Q＝PQ＝4，
∵P′Q⊥x轴，
∴P关于Q的等垂点P′的坐标为（4，4）或（4，﹣4）．
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）；
②Ⅰ．当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′A⊥x轴于点A，如图，
∵P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，
∴设P′（m，2m+3），
∴P′A＝﹣2m﹣3，
∵点Q的坐标为（4，0），
∴OQ＝4．
∵PQ⊥P′Q，
∴∠PQA+∠AQP′＝90°，
∵∠AQP′+∠AP′Q＝90°，
∴∠AP′Q＝∠OQP．
在△AP′Q和△OQP中，
，
∴△AP′Q≌△OQP（AAS），
∴AP′＝OQ＝4，
∴﹣2m﹣3＝4，
∴m＝﹣，
∴P′（﹣，﹣4）；
Ⅱ．当点P在y轴的负半轴上时，过点P′作P′B⊥x轴于点B，如图，
∵P′恰好在一次函数y＝2x+3的图象上，
∴设P′（m，2m+3），
∴P′B＝2m+3，
同Ⅰ可得：△P′BQ≌△QOP，
∴P′B＝OQ＝4，
∴2m+3＝4，
∴m＝，
∴P′（，4）．
综上，点P′的坐标为（﹣，﹣4）或（，4）；
（3）OP′+QP′有最小值，最小值为，理由：
过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，如图，
则OB＝2，BQ＝1，PA＝2，AC＝OB＝2，
∴PC＝PA+AC＝4．
∵∠CPQ+∠CQP＝90°，∠CQP+∠P′QD＝90°，
∴∠CPQ＝∠DQP′．
在△PCQ和△QDP′中，
，
∴△PCQ≌△QDP′（AAS），
∴PC＝QD＝4，
∴BD＝BQ+QD＝1+4＝5，
∴点P′的横坐标为5，即点P′在直线x＝5上运动，
作点O关于直线x＝5的对称点O′，连接O′Q，交直线x＝5于点P″，
则P″O＝P″O′，
∴当点P′与点P″重合时，且Q，P″，O′在一条直线上时，OP′+QP′的值最小，最小值为O′Q．
过点Q作QE⊥OO′于点E，则OE＝1，QE＝2，
∴O′E＝OO′﹣OE＝10﹣1＝9，
∴O′Q＝＝＝．
∴OP′+QP′有最小值，最小值为．
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0.7单位
每克所含碳水化合物
0.6单位
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平均数
众数
中位数
七年级
10
a
b
八年级
9
10
c
放水时间（分）
0
3
8
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直饮水机的存水量（升）
25
17.5
5
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