（高考数学新题型）2024年名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷数学（九）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U={x∈Z|x2−6x≤0}，A={1,3,5}，B={2,3,4}，则(∁UA)∪B=( )
A. {2,4}B. {0,6}C. {1,2,3,4,5}D. {0,2,3,4,6}
2.已知命题p:∀x>1，lnx>13−13x3，则¬p为( )
A. ∀x>1，lnx≤13−13x3B. ∃x≤1，lnx<13−13x3
C. ∃x≤1，lnx≤13−13x3D. ∃x>1，lnx≤13−13x3
3.已知抛物线x2=−2py(p>0)的准线平分圆x2+(y−2)2=1，则p=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.已知直线nx−y+2=0与函数f(x)=8πcs(π2x)+x12的图象在x=1处的切线没有交点，则n=( )
A. 6B. 7C. 8D. 12
5.某高校计划从符合条件的大学三年级的5名男生、4名女生中，选拔5人参加全国大学生运动会志愿者活动，则至少选中2名女生的选法共有( )
A. 105种B. 106种C. 125种D. 126种
6.已知向量a=(4,2)，b=(2csα,2sinα)，则当a⋅b取得最大值时，tanα=( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
7.中国是外来物种入侵最严重的国家之一.外来物种对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍.假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要( )(参考数据：lg2≈0.3010)
A. 20年B. 12年C. 10年D. 8年
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，点P在y轴上.若△PF1F2内切圆的圆心为A且PF1⊥F1B，则C的离心率为( )
A. 24B. 12C. 23D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且当n≥2时，14an=Sn−1an−1，则( )
A. an=n+1B. a10=20
C. Sn=n(n+1)D. 数列{Snan}是等差数列
10.已知正实数a，b满足sina+lna=b+lnb，则( )
A. 2a>bB. a−12>b−12C. lg1eae1b
11.已知定义域为R的函数f(x)满足：①f(x−1)=−f(x+1)，f(12)=0;②y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称;③对任意的实数x1，x2∈(−2,0)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则( )
A. f(x)是偶函数B. f(cs1)>f(sin1)
C. f(x)的图象关于(−3,0)对称D. f(2024)+f(2025)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=a−1+(a+3)i，a∈R，则当|z|最小时，z在复平面内对应点的坐标为__________.
13.已知函数f(x)=sin(ωπx−π6)(ω>0)在[1,32]内有且仅有2个极值点，则ω的最小值为__________.
14.在正三棱锥A−BCD中，二面角B−AC−D的余弦值为14，BC=2 3，E为AB的中点，F为△ABC边上一动点，当截面EFD将正三棱锥分为体积之比为1:2的两部分时，|AB|=__________.|AF|=__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3b−asinC= 3acsC.
(1)求A;
(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AC=3，A1C1=A1A=AB=2，A1B= 3，∠A1AC=∠BAC=π3，A1O⊥AC，垂足为O，连接BO.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面A1OB;
(2)求直线B1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间[88,100]直接定为优秀，评分在区间[84,88),[76,84),[72,76)，分别对应为良好、合格、不合格.然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评.在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有14的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立.
(1)估计该企业初评成绩的中位数;(结果精确到0.1)
(2)在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为X，求X的分布列和数学期望;
(3)从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率.
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=3与C的左、右两支分别交于M，N两点，四边形MF1F2N为矩形，且面积为12.
(1)求四边形MF1F2N的外接圆方程;
(2)设A，B为C的左、右顶点，直线l过点(−3,0)与C交于P，Q两点(异于A，B)，直线AP与BQ交于点R，证明：点R在定直线上.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x+1)+12x2，g(x)=csx+12x2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于正实数x1，x2，满足f(ex12)+1=g(x2).
(ⅰ)证明：x2>ex12；
(ⅱ)证明：f(x22)>g(x1+1)−1.