2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷 数学（19题型）（新高考地区专用）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ）
A． B． C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．若数列的通项公式为，则（ ）
A．数列是首项为，公比为的等比数列
B．数列是首项为，公比为的等比数列
C．数列是首项为，公比为的等比数列
D．数列是首项为，公比为的等比数列
4．展开式中项的系数为（ ）
A．80B．C．40D．
5．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.该“升”的容积约是（ ）（约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长.）
A．B．C．D．
6．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据，，…，，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下列判断正确的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差
D．若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的分位数小于原数据的分位数
10．已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）．
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
11．如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得二面角大小为
B．存在点，使得平面与平面平行
C．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为
D．当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 .
13．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
14．已知，则当取得最大值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求的大小；
(2)若面积为，外接圆面积为，求周长.
16．如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.
(1)证明：；(2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.
17．已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
18．某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
(2)请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
19．已知函数为的导函数.
(1)若是的极大值点，求的取值范围；
(2)已知，若存在，使得成立，证明：.