[数学]辽宁省名校联盟2024届高考模拟卷(信息卷)(二)(解析版)

这是一份[数学]辽宁省名校联盟2024届高考模拟卷(信息卷)(二)(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，即，
，故.
故选：A.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 6B. 3C. 6D. 15
【答案】C
【解析】设复数，
由，得，
化简得，则，解得，
于是，所以的虚部为6．
故选：C.
3. 在平行四边形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，由题意,可知是的中点，
所以．
故选：C．
4. 2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（ ）
A. 167B. 168C. 169D. 170
【答案】A
【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
则既是3的倍数，也是4的倍数，
故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，
所以，
令，即，且，解得，
且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．
故选:A.
5. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
.
综上，．
故选：B.
6. 现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A. 52B. 72C. 76D. 100
【答案】D
【解析】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，
则不同的选择方案有种；
所以共有种选择方案.
故选：D.
7. 已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为过点的弦中最短的弦长为8，所以，
即的方程为．
设，
由是线段上靠近点的五等分点，得，
所以，
故，即，
不妨设点在第一象限，易知为锐角，
当取最大值时，直线的斜率也最大，
又，
当且仅当，即时取等号，
此时，
，，
，
即的最大值为．
故选：B．
8. 若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点x2,3-tlnx2x2>0，
则切线方程分别为，，
所以
由①得，
代入②得．
令hx=8x2lnx-8x2(x>0)，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
又当时，，
所以的值域为，
所以的取值范围是．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于A项，若，则或与异面，A项错误；
对于B项，因为，则，且，可得，
又因为，所以，B项正确；
对于C项，当时，或或或与相交，C项错误；
对于D项，若，则，又，所以，D项正确．
故选：BD．
10. 设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则能被17整除
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：若，
则，
所以，故A项正确；
对于选项B：由，
得，
所以，解得或，故B项错误；
对于选项C：若，则，
所以
，
所以能被17整除，故C项正确；
对于选项D：若，
则，，
所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误．
故选：AC．
11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为
B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C. 当时，的面积为12
D. 当时，
【答案】ABD
【解析】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，
对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；
对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由，得，即，所以，
设，则，
因为，所以，整理得，
解得或（舍去），所以，，
所以的面积，所以C错误；
对于D项，在直角中，，
所以，所以D正确．故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若随机变量，且，则____________．
【答案】0.1
【解析】因为，且，则，
所以．
13. 已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________
【答案】
【解析】圆0，即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以．
14. 已知函数满足，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为____________．（用区间表示）
【答案】
【解析】由题意可知的最小正周期，
因为，所以直线为图像的一条对称轴，
则在直线右侧的零点依次为，
若在区间上恰有2个零点，则．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；
（2）设，求数列的前100项和．
（1）证明：数列中，，当时，，两式相减得，
而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以
．
16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，底面三角形是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是边长为2的菱形，且．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
解：（1）取的中点，连接，
因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又平面平面平面，平面平面，
所以平面，
所以的长即为点到平面的距离，
又，
故点到平面的距离为．
（2）连接，因为，所以，则两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题可知，
则．
由，得．
设平面的法向量为，，
则，
取，得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
17. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．
解：（1），令，得．
当时，由，得，由，得，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值；
当时，由，得，由，得，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
综上，当时，的极小值为，无极大值；
当时，的极大值为，无极小值．
（2）时，等价于，
则在区间内有解．
令，则，
令，
则在上单调递增，有，
所以在区间内单调递增，即，
所以在区间内恒成立，
所以在区间内单调递增，即，即，
故的取值范围是．
18. 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.
（1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立；
（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望.
（2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值.
解：（1）（i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为，
甲回答了5道题进入决赛的概率为，
所以甲至多回答了5道题就进入决赛概率为.
（ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7，
则，
，
，
，
所以X的分布列为
则.
（2）设乙答对第3道题的概率为y，则，
所以
，，
则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
19. 设动点到点的距离与它到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）为与轴的负半轴的交点，为直线与在第一象限的交点，直线过点，且与相交于两点，过点作垂直于轴的直线分别与直线相交于点，分别记与的面积为与，求证：．
（1）解：由已知可得，整理得，
即的方程为．
（2）证明：由的方程可知，将，可求得，
由题意知直线的斜率一定存在，故可设，
，
联立得，
Δ=[8k(2k+3)]2-4(3+4k2)[4(2k+3)2-12]>0，解得，
所以．
因为，所以直线的方程是，
联立，得，即，
直线的方程为，
联立，得，即，
则
，
又
，
所以，
所以为的中点，所以．X
4
5
6
7
P