2023-2024学年海南省海口市高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1}，B={1,2,3}，则A∪B=( )
A. 1B. 1,2C. {0,1,2,3}D. 1,2,3
2.张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有5班，铁路有高铁10趟、动车6趟，城际大巴有12班．则其出行方案共有( )
A. 22种B. 33种C. 300种D. 3600种
3.函数y=lgax−1+2(a>0，且a≠1)的图象一定经过点( )
A. 1,0B. 1,1C. −1,0D. 2,2
4.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中R指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中R指标的值X服从正态分布N3,σ2.且PX<5=0.7，则P1A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
5.小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付0.5元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬( )
A. 第一种B. 第二种C. 第三种D. 无法判断
6.某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点(以下简称强基计划)，以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次(无并列名次).甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有( )
A. 48种B. 54种C. 60种D. 72种
7.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，PF2⋅F1F2=0，∠PF1F2=π6，则C的离心率为( )
A. 33B. 3−12C. 3−1D. 3
8.已知函数f(x)=lg0.5x，设a=f(sin(−0.01))，b=fe0.01−1，c=f0.01，则a,b,c的大小关系为( )
A. b二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为r1,S12,R12和r2,S22,R22，则( )
A. 若r1>r2，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
B. 若r12>r22，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
C. 若S12D. 若R1210.一个质点在随机外力的作用下，从数轴原点O出发，每隔l s等概率向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点所在位置对应的数为随机变量ξn，则( )
A. Pξ4=0Pξ6=0
C. Eξ5=Eξ4D. Eξ5>Eξ4
11.已知函数fx的定义域为D，若∀m∈D，都存在唯一的n∈D，使fm⋅fn=1成立，则称该函数为“依赖函数”.则( )
A. fx=sinxcsx是“依赖函数”
B. fx=ax(a>0，且a≠1)是“依赖函数”
C. 若函数y=fx为“依赖函数”，且函数fx图象连续不断，则该函数为单调函数
D. 当2≤x≤t，t>a>0时，若函数fx=2x2−7x+2a22x是“依赖函数”，则a的最大值为2，此时t=11+ 574
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=5−2i2(i为虚数单位)，则复数z的实部是 ．
13.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csA=45，B=π3，b= 3，则a= ．
14.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1−c,0，F2c,0c>0，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆C的离心率为 ；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，F2在l上的射影H在圆x2+y2=8上，则椭圆C的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
己知函数fx=12x2−x−2lnx．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx在区间1,e上的最小值．
16.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，数列bn是正项等比数列，且a1=1，a4=7，b1是a1和a3的等差中项，a5是b1和b3的等比中项．
(1)求数列an和数列bn的通项公式；
(2)从集合{a1,a2,a3,a4,a5,a6}中任取3个元素形成一个组合，记组合中这3个元素能成等差数列为事件A，求事件A发生的概率PA．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，2AB=2BC=PA，AP=PC，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD//平面PAB；
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)
(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．
19.(本小题12分)
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元nn∈N∗次复系数多项式方程fx=0至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元nn∈N∗次复系数多项式fx在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元nn∈N∗次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计)．
如对于一元二次实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)，在Δ≥0时的求根公式为x=−b± b2−4ac2a在Δ<0时的求根公式为x=−b± −(b2−4ac)i2a.所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式ax2+bx+c(a≠0)可以因式分解为ax2+bx+c=ax−x1x−x2．
(1)在复数集C中解方程：x2+x+1=0；
(2)(i)在复数集C中解方程：x4+2x3−x=2；
(ii)写出一个以−12、13、1+i、2−i为根的一元六次实系数多项式方程；(不需要写证明过程)；
(3)已知一元十次实系数多项式fx满足f(k)=1k+1(k=0,1,2,⋯,10)，求f11的值．
答案解析
1.C
【解析】解：集合A={0,1}，B={1,2,3}，所以A∪B={0,1,2,3}．
故选：C．
2.B
【解析】解：由分类加法计数原理得，
从甲地到乙地不同的方案数为5+10+6+12=33．
故选：B．
3.D
【解析】解：因为lga1=0(a>0且a≠1)，
所以在函数y=lga(x−1)+2中，
令x−1=1，则x=2，y=2，
所以函数y=lga(x−1)+2的图象一定经过点(2,2)．
故选：D．
4.A
【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N3,σ2，且P(X<5)=0.7，
所以均值μ=3，密度曲线关于x=μ=3对称，
所以P(X>5)=P(X<1)=0.3，
所以P(1故选：A．
5.C
【解析】解：第一种可以领取报酬150×12=1800元；
第二种每天的报酬构成以10为首项，公差为20的等差数列，
则第二种可以领取报酬10×12+12×112×20=1440元；
第三种每天的报酬构成以12为首项，公比为2的等比数列，
则第三种可以领取报酬121−2121−2=2047.5元，
因为2047.5>1800>1440，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．
故选：C．
6.B
【解析】解：依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，
①甲排在第五名，则有A31A33=18种排法；
②甲没有排在第五名，则甲、乙有A32种排法，其余人全排列，故有A32A33=36种排法；
综上可得一共有18+36=54种不同的排法．
故选：B
7.A
【解析】解：
因为PF2⋅F1F2=0,所以PF2⊥F1F2，
在Rt▵PF1F2中，∠PF1F2=π6,F1F2=2c,tan∠PF1F2=PF2F1F2= 33,
所以PF2=2 3c3,PF12=PF22+F1F22=4c23+4c2=163c2，
所以PF1=4 3c3,2a=PF1+PF2=4 3c3+2 3c3=2 3c，
所以ca=2c2a=2c2 3c= 33．
故选：A．
8.C
【解析】解：因为f(x)=lg0.5x的定义域为−∞,0∪0,+∞，
又f(−x)=lg0.5|−x|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
所以a=f(sin(−0.01))=f(−sin0.01)=f(sin0.01)，b=f(e0.01−1)，c=f(0.01)，
构建函数g(x)=x−sinx，x∈(0,+∞)，g′(x)=1−csx≥0恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，所以x>sinx，
构建函数ℎ(x)=ex−x−1，x∈(0,+∞)，ℎ′(x)=ex−1>0在x∈(0,+∞)恒成立，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以ex−1>x，
综上所述，在x∈(0,+∞)时，ex−1>x>sinx，
所以e0.01−1>0.01>sin0.01，
又因为函数f(x)=lg0.5|x|在(0,+∞)单调递减，
所以f(e0.01−1)故选：C．
关键点点睛：本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，解题的关键是通过导数证明在x∈(0,+∞)，ex−1>x>sinx．
9.BD
【解析】解：由r越趋近1，数据的线性相关关系越强知，A错误；B正确；
由残差平方和越小，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，C错误；
由决定系数越大，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，D正确，
故选：BD
10.BC
【解析】解：由题意知，随机变量ξn∈−n,n，且质点向左或向右移动一个单位的概率均为12，
若ξ4=0，则移动4次后质点一共向右移动2次，向左移动2次，则Pξ4=0=C42×122×122=38，
若ξ4=2，则移动4次后质点一共向右移动3次，向左移动1次，则Pξ4=2=C43×123×121=14，
所以Pξ4=0>Pξ4=2，故 A错误；
若ξ6=0，则移动6次后质点一共向右移动3次，向左移动3次，则Pξ6=0=C63×123×123=516，
所以Pξ4=0>Pξ6=0，故 B正确；
移动n次后质点一共向右移动r次，向左移动n−r次，有ξn=r+−n−r=2r−n，
故Pξn=2r−n=Cnr×12r×12n−r=Cnr×12n，
则Eξn=r=0nCnr2r−n2n=0，故 C正确，D错误，
故选：BC．
11.BCD
【解析】解：A选项，fx=sinxcsx的定义域为R，当m=0时，f0=0，
此时不存在n∈D，fm⋅fn=1， A错误；
B选项，fx=ax(a>0，且a≠1)，定义域为R，
对于∀m∈R，都存在唯一的n=−m，
使得am⋅a−m=1， B正确；
C选项，函数y=fx为“依赖函数”，且函数fx图象连续不断，
对于m0∈D，存在n0∈D，使fm0⋅fn0=1，
假设y=fx为不单调，且存在n1∈D,n1≠n0，使得fn1=fn0，
此时fm0⋅fn1=1，
这与条件中的唯一的n∈D相矛盾，故假设不成立，
则该函数为单调函数，C正确；
D选项，fx=2x2−7x+2a22x=x+a2x−72，
由C选项可知，要想满足fx=x+a2x−72在2,t上为“依赖函数”，
则要满足fx=x+a2x−72在2,t上单调，
因为t>a>0，由对勾函数性质可知，fx=x+a2x−72在0,a上单调递减，
在a,+∞上单调递增，
故a≤2，即a的最大值为2，
且当a=2时，由单调性可知f2ft=1，其中f2=2+222−72=12，
所以ft=t+4t−72=2，即2t2−11t+8=0，
解得t=11+ 574，或t=11− 574<2舍去，
此时t=11+ 574， D正确．
故选：BCD
12.21
【解析】解：由题意z=(5+2i)2=25+2×5×2i+(2i)2=21+20i，其实部为21．
13.65或1.2
【解析】解：因为csA=45，A∈0,π，所以sinA= 1−cs2A=35，
由正弦定理asinA=bsinB，即a35= 3 32，解得a=65．
故答案为：65
14.12或0.5；x28+y26=1
【解析】解：设椭圆C的长轴长为2a(a>0)，
因为由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c，
所以2a+2a=4a=8c，得a=2c，
所以椭圆C的离心率为e=12，
如图，延长F2H,F1P交于点F0，
在▵PF2F0中，PH⊥F0F2，由反射角等于入射角，可得∠F2PH=∠F0PH，
所以F2P=F0P，且H为F0F2的中点，
在▵F1F0F2中，OH=12F1F0=12(PF1+PF0)=12(PF1+PF2)，
因为F2在l上的射影H在圆x2+y2=8上，所以OH=2 2，
所以PF1+PF2=4 2=2a，
所以a=2 2,c= 2，
所以b2=a2−c2=8−2=6，
所以椭圆的方程为x28+y26=1．
故答案为：12，x28+y26=1
15.解：(1)因为：f1=12−1−0=−12，所以切点坐标为：1,−12，
又f′x=x−1−2x，f′1=−2，即为所求切线的斜率．
所以切线方程为：y+12=−2x−1，化简得：4x+2y−3=0
(2)f′x=x−1−2x=x2−x−2x=x−2x+1x，(x>0)
由f′x>0⇒x>2；由f′x<0⇒0所以fx在1,2上单调递减，在2,e上单调递增．
所以函数fx在区间1,e上的极小值为f2=−2ln2，也是最小值．
【解析】(1)先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程．
(2)分析函数的单调性，可得函数的最小值．
16.解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
因为a4=7,a1=1，
所以a4−a1=3d，即d=2，
故等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=1+(n−1)×2=2n−1，
所以a3=5，a5=9，
又因为b1是a1和a3的等差中项，a5是b1和b3的等比中项，
所以2b1=a1+a3=6b1b3=a52=81，解得b1=3，b3=27，
所以q2=b3b1=9，即q=3(负值已舍)，
所以等比数列{bn}的通项公式为bn=b1qn−1=3n．
(2)集合{a1,a2,a3,a4,a5,a6}={1,3,5,7,9,11}，
从集合中任取3个元素有C63=20种组合，
这3个元素能构成等差数列的有
{1,3,5},{3,5,7},{5,7,9},{7,9,11},{1,5,9},{3,7,11}共6种组合，
故P(A)=620=310．

【解析】(1)根据等差数列基本量的运算求解数列{an}的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列{bn}的通项公式；
(2)先计算出所有组合数，再计算事件A包含的样本点个数，最后由古典概型的概率计算公式即可求解．
17.解：(1)因为点O，D分别是AC，PC的中点，
所以OD//PA，又OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以OD//平面PAB；
(2)连接OB，因为AB=BC，点O是AC的中点，所以BO⊥AC，
又OP⊥底面ABC，AC,OB⊂底面ABC，所以OP⊥AC，OP⊥OB，
如图建立空间直角坐标系，不妨设AB=aa>0，则PA=2a，BC=a，又AB⊥BC，
所以AC= a2+a2= 2a，AO=12AC= 22a，OP= 2a2− 22a2= 142a，
所以A 22a,0,0，B0, 22a,0，C− 22a,0,0，P0,0, 142a，
所以PA= 22a,0,− 142a，BC=− 22a,− 22a,0，PB=0, 22a,− 142a，
设平面PBC的法向量为n=x,y,z，则n⋅BC=− 22ax− 22ay=0n⋅PB= 22ay− 142az=0，取n=1,−1,− 77，
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
所以sinθ=PA⋅nPA⋅n= 22a+ 142a× 77 22a2+− 142a2× 12+−12+− 772= 21030，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 21030．
【解析】(1)依题意可得OD//PA，即可得证；
(2)连接OB，即可得到BO⊥AC，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
18.解：(1)设事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件Aj=“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，Aj相互独立，
又甲队明星队员M前四局不出场，故：P(Aj)=12，j=1，2，3，4，
B=A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4，
所以P(B)=C31(12)4=316;
(2)设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，
则由全概率公式可知：P(C)=P(D)⋅P(C|D)+P(D)⋅P(C|D).
因为每名队员上场顺序随机，故P(D)=C42⋅A33A53=35，
P(D)=1−35=25，
P(C|D)=(12)2×(34)=316，P(C|D)=(12)3=18，
所以P(C)=316×35+18×25=1380;
(3)P(D|C)=P(CD)P(C)=P(C|D)⋅P(D)P(C)=316×351380=913．
【解析】(1)设事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件Aj=“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，得B=A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4，利用P(B)=C31(12)4即可求解;
(2)讨论M上场和不上场两种情况，利用全概率公式即可求解;
(3)利用贝叶斯公式即可求解．
19.解：(1)方程x2+x+1=0，则Δ=12−4×1×1=−3，
所以x1=−1+ 3i2、x2=−1− 3i2，
即原方程在复数集C中解为−1+ 3i2，−1− 3i2；
(2)(i)因为x4+2x3−x=2，
所以x+2x3−x+2=0，
即x+2x3−1=0，
即x+2x−1x2+x+1=0，
所以x3=−2，x4=1，x5=−1+ 3i2、x6=−1− 3i2，
即原方程在复数集C中解为−2，1，−1+ 3i2，−1− 3i2；
(ii)因为1+i为该方程(实系数)为根，则1−i也为方程的根，
2−i为该方程(实系数)为根，则2+i也为方程的根，
又1+i与1−i可为方程x2−2x+2=0的两个虚根；
2−i与2+i可为方程x2−4x+5=0的两个虚根；
所以以−12、13、1+i、2−i为根的一元六次实系数多项式方程可以为2x+13x−1x2−2x+2x2−4x+5=0．
(3)依题意可得k+1fk−1=0k=0,1,2,⋯,10，
令gx=x+1fx−1，
因为十一次多项式方程gx=x+1fx−1=0有11个根x=0,1,2,⋯,10，
令gx=axx−1x−2⋯x−10a≠0，
所以x+1fx−1=axx−1x−2⋯x−10，
令x=−1，可得−1=a−1×−2×−3⋯−11，所以a=111!，
所以fx=1x+1gx+1=1x+1111!xx−1x−2⋯x−10+1，
gx=111!xx−1x−2⋯x−10，
则g11=111!×11×10×⋯×1=1，又gx=x+1fx−1，
所以g11=11+1f11−1=1，则f11=16．
【解析】(1)按照实系数一元二次方程的解法计算可得；
(2)(i)将方程左边因式分解，变形为x+2x−1x2+x+1=0，即可得解；
(ii)根据虚根成对原理，可知1−i、2+i也为方程的根，从而得到一个符合题意的一元六次实系数多项式方程；
(3)依题意可得k+1fk−1=0k=0,1,2,⋯,10，则gx=axx−1x−2⋯x−10a≠0，令x=−1，即可求出a，从而求出gx，再令x=11，即可得解．