2023-2024学年海南省高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省高一（下）期末数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−ax=0}，B={2a,0,1}，若A⊆B，则a的值可以为( )
A. 1B. 0C. 0或1D. 1或2
2.命题“∃x0>1，x0−2lnx0≤1”的否定为( )
A. ∀x>1，x−2lnx≤1B. ∃x0≤1，x0−2lnx0>1
C. ∀x>1，x−2lnx>1D. ∃x0≤1，x0−2lnx0≤1
3.复数1−2ii3(i为虚数单位)的虚部是( )
A. iB. −2C. −1D. 1
4.若tanα=2，tan(2α+β)=8，则tan(α+β)=( )
A. 1017B. −35C. 25D. 617
5.下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y=x2+1B. y= xC. y=−1xD. y=−|x|+1
6.已知向量a=(x,2)，b=(3,−1).若a⊥b，则x=( )
A. 23B. 32C. −3D. −6
7.要得到函数f(x)=12sin2x+ 32cs2x的图象，只需把函数g(x)=sin2x的图象( )
A. 向左平移π6个单位长度B. 向右平移π6个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度
8.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f(θ)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面给出的关系式中，正确的是( )
A. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2B. a⋅b=a⋅c⇒b=c
C. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)D. |a⋅b|≥a⋅b
10.已知函数f(x)在R上是减函数，且a+b>0，则下列说法正确的是( )
A. f(a)+f(b)>0B. f(a)−f(−b)>0
C. f(−a)−f(b)>0D. f(a)+f(b)11.已知函数f(x)=sinx− 3csx，则( )
A. f(x)的最大值为2
B. 函数y=f(x)的图象关于点(π3,0)对称
C. 直线x=π3是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D. 函数y=f(x)在区间(−π2,0)上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=1 1−4x2+ln(3x−1)的定义域为______．
13.已知函数f(x)=(m2−3m−3)xm是幂函数，则m的值为______．
14.若关于x的不等式mx2+x+1>0的解集为R，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x．
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y=f(x)与y=m有3个交点，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[0,π3]时，求函数g(x)的值域．
17.(本小题15分)
已知向量a，b满足(2a+b)⋅(a−2b)=2，且|a|= 2，|b|=2．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a+b|.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+12(x∈R,ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)单调递增区间；
(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的值域．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=4x+m⋅4−x．
(1)诺f(x)为偶函数，求m的值；
(2)若f(x)为奇函数，求m的值；
(3)在(2)的情况下，若关于x的不等式4xf(x)>k在[0,1]上恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：对于集合B，由元素的互异性知a≠0且a≠12，则A={0,a}．
由A⊆B得{0,a}⊆{2a,0,1}．
若a=1，则B={2,0,1}，满足A⊆B；
若a=2a，则a=0，矛盾，舍去．
故选：A．
根据互异性可知a≠0且a≠12，求出集合A，然后根据包含关系求解即可．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题的否定书写要求存在量词变全称量词，后续结论相反，
所以命题“∃x0>1，x0−2lnx0≤1”的否定为“∀x>1，x−2lnx>1”．
故选：C．
根据命题否定的书写格式书写即可．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：1−2ii3=1−2i−i=(1−2i)i−i2=2+i，
则其虚部为1．
故选：D．
根据复数的除法和乘方以及复数虚部的概念即可得到答案．
本题主要考查了复数的四则运算及基本概念，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：已知tanα=2，tan(2α+β)=8，
则 tan(α+β)=tan(2α+β−α)=tan(2α+β)−tanα1+tan(2α+β)tanα=8−21+8×2=617．
故选：D．
结合两角和与差的三角函数求值即可．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x2+1是二次函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
对于B，y= x是幂函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
对于C，y=−1x，是反比例函数，在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
对于D，当x>0时，y=−|x|+1=−x+1，则f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：向量a=(x,2)，b=(3,−1)；
若a⊥b，则a⋅b=0，
即3x+2×(−1)=0，
解得x=23．
故选：A．
根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，
要得到f(x)的图象，只需要把函数g(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位即可．
故选：A．
利用辅助角公式求出f(x)，然后利用三角函数图象变换关系进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵甲的速度是乙的速度的两倍，
∴由题意知当θ=π时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D．
故选：B．
根据题意分析，当θ=π时两人相遇，再根据距离一定非负，即可得到答案．
本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对A：由a⊥b，得a⋅b=0，而(a⋅b)2=02=0，故A正确；
对B：取a=0，则a⋅b=a⋅c成立，但b=c不一定成立，故B错误；
对C：(a⋅b)⋅c表示与c共线的向量，而a⋅(b⋅c)表示与a共线的向量，
所以(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)不一定成立，故C错误；
对D：因为|a⋅b|=|a|⋅|b|⋅|cs|，a⋅b=|a|⋅|b|cs，
又|cs|≥cs，所以|a⋅b|≥a⋅b，故D正确．
故选：AD．
由向量数量积的概念、性质及运算律即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积的运算律，属中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：根据题意，由a+b>0，则a>−b，b>−a，
因为函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)则f(−a)−f(b)>0，f(a)+f(b)故选：CD．
根据题意，分析可得a>−b，b>−a，结合函数单调性的定义分析可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：f(x)=sinx− 3csx=2sin(x−π3)，
根据正弦函数的性质可知，sin(x−π3)=1时，函数取得最大值2，A正确；
因为f(π3)=0，即函数的图象关于(π3,0)对称，B正确，C错误；
令−π2故函数在(−π2,−π6)上单调递减，在(−π6,0)上单调递增，D错误．
故选：AB．
先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】(13,12)
【解析】解：由题意可知，1−4x2>03x−1>0，
解得13即函数f(x)的定义域为(13,12).
故答案为：(13,12).
由题意可知，1−4x2>03x−1>0，从而求出x的取值范围．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
13.【答案】−1或4
【解析】解：由题意知，m2−3m−3=1，解得m=−1或m=4．
故答案为：−1或4．
根据幂函数的定义求出m的值即可．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
14.【答案】{m|m>14}
【解析】解：当m=0时，x+1>0，x>−1，不满足题意；
当m≠0时，m>0Δ=1−4m<0，所以m>14，
综上，实数m的取值范围为{m|m>14}.
故答案为：{m|m>14}.
由一元二次不等式的解集为R，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)①由于函数f(x)是定义域R的奇函数，f(0)=0；
②当x<0时，−x>0，因f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)．
所以f(x)=−f(−x)=−[(−x)2+2x]=−x2−2x，
综上：函数f(x)在R上的解析式为：f(x)=x2−2x,x>00,x=0−x2−2x,x<0；
(2)图象如下图所示
单调增区间：(−∞,−1)，(1,+∞)，单调减区间：(−1,1)；
(3)因为方程f(x)=m有三个不同的解，由图象可知，
满足题意的m的取值范围为：(−1,1)．
【解析】(1)利用奇函数的定义即可求解；(2)利用二次函数的图象性质即可画出图象，再根据图象写出单调区间；
(3)根据图象易得m的取值范围．
本题考查了函数的奇偶性以及函数的图象，考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
16.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A= 3，12⋅2πω=5π6−π3=π2，所以ω=2，
再根据五点法作图可得2⋅π3+φ=π，
所以φ=π3，故f(x)= 3sin(2x+π3)．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，
可得y= 3sin[2(x−π3)x+π3]= 3sin(2x−π3)的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，
得到函数g(x)= 3sin(4x−π3)的图象，
由x∈[0,π3]，可得4x−π3∈[−π3,π]，
由于函数g(x)在[0,5π24]上单调递增，在[5π24,π3]单调递减，
g(0)=−32，g(5π24)= 3，g(π3)=0
所以，g(x)= 3sin(4x−π3)∈[−32, 3]
所以，函数g(x)在[0,π3]的值域为[−32, 3]．
【解析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
(2)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得函数g(x)的值域．
17.【答案】解：(1)已知向量a，b满足(2a+b)⋅(a−2b)=2，
则2a2−3a⋅b−2b2=2，
又|a|= 2，|b|=2，
则2×2−3a⋅b−2×4=2，
即a⋅b=−2，
则csθ=a⋅b|a||b|=−2 2×2=− 22，
又θ∈[0,π]，
则θ=3π4，
即a与b的夹角为3π4；
(2)(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=2+2×(−2)+4=2，
即|a+b|= 2．
【解析】(1)由csθ=a⋅b|a||b|，结合平面向量数量积运算求解即可．
(2)由(a+b)2=a2+2a⋅b+b2，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的夹角及向量模的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)∵函数f(x)的最小正周期为π且ω>0，
∴T=π，即2π2ω=π，得ω=1，
则f(x)=sin(2x+π6)+12，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得2kπ−2π3≤2x≤2kπ+π3，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
(2)∵x∈[0,π3]，∴2x∈[0,2π3]，2x+π6∈[π6,5π6]，
当2x+π6=π6或5π6时，函数f(x)取得最小值，函数f(x)的最小值为f(x)=sinπ6+12=12+12=1，
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值，函数f(x)的最大值为f(x)=sinπ2+12=1+12=32，
即函数的值域为[1,32].
【解析】(1)根据三角函数最小正周期的定义求出ω，求出f(x)的解析式，根据函数单调性进行求解即可．
(2)求出角的范围，结合正弦函数的最值性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据周期公式求出函数的解析式，利用函数的单调性的性质和函数的最值性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
19.【答案】解：(1)若f(x)为偶函数，则f(−x)=4−x+m⋅4x=f(x)=4x+m⋅4−x，
即(m−1)(4x−4−x)=0，
则m−1=0，解得m=1．
(2)若f(x)为奇函数，则f(−x)=4−x+m⋅4x=−f(x)=−4x−m⋅4−x，
即(m+1)(4x+4−x)=0，
则m+1=0，解得m=−1．
(3)由题意可得f(x)=4x−4−x，则4xf(x)=(4x)2−1=16x−1，
因为函数y=16x−1在[0,1]上单调递增，
所以(16x−1)min=160−1=0，
则k<0，故k的取值范围为(−∞,0)．
【解析】(1)根据偶函数的定义求参数；
(2)根据奇函数的定义求参数；
(3)将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可．
本题考查了函数的奇偶性，考查了指数函数的性质，属于中档题．