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海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案
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这是一份海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案，共7页。试卷主要包含了 已知，，则， 若函数，， “绿水青山就是金山银山”等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺是中国民间较早娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
8. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（ ）
A. 海口市这一周AQI的平均数为22
B. “某市”这一周AQI的中位数为40
C. 两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D. 海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差
10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ）
A. 对任意的，，
B. 对任意的，且，
C. 函数是定义域为的奇函数
D. 函数在定义域上是增函数
11. 如图，棱长为1正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 动点所在轨迹长为
B. 平面平面
C. 平面截正方体所得的截面图形始终是四边形
D. 点和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
12. 复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.
13. 平面向量，为单位向量，且，则______.
14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；
（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
16. 已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
17. 已知函数，的最小值为.
（1）求的值；
（2）求的解集；
（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.
18. 如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.
（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，，求二面角的大小；
（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.
19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.
（1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
（2）请确认是否存在函数：，满足对，都有：
①；②同时成立.
（3）求证：对，，.参考答案
1. C
2. C.
3. D.
4. C
5. A
6. C.
7. B
8. A．
9. AB.
10. AC．
11. ABD．
12.
13. .
14. ；．
15. （1）第百分位数为，平均数为
（2）
16. （1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）
17. （1）
（2）或
（3）
18. （1）取的中点，连接、、，作图如下所示：
因为为的中点，所以，又，所以，
所以、、、四点共面，所以过点，和将木料锯开，截面为；
平面，证明如下：
因为为的中点，，分别为和的中点，
所以且，又底面为菱形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）
（3）（或）
19. （1）
（2）不存在
（3）证明：
令，
则
，
所以为的一个周期，
当时，所以，
所以，
由周期性可知，对，，，
因此对，，.
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺是中国民间较早娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
8. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（ ）
A. 海口市这一周AQI的平均数为22
B. “某市”这一周AQI的中位数为40
C. 两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D. 海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差
10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ）
A. 对任意的，，
B. 对任意的，且，
C. 函数是定义域为的奇函数
D. 函数在定义域上是增函数
11. 如图，棱长为1正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 动点所在轨迹长为
B. 平面平面
C. 平面截正方体所得的截面图形始终是四边形
D. 点和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
12. 复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.
13. 平面向量，为单位向量，且，则______.
14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；
（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
16. 已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
17. 已知函数，的最小值为.
（1）求的值；
（2）求的解集；
（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.
18. 如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.
（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，，求二面角的大小；
（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.
19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.
（1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
（2）请确认是否存在函数：，满足对，都有：
①；②同时成立.
（3）求证：对，，.参考答案
1. C
2. C.
3. D.
4. C
5. A
6. C.
7. B
8. A．
9. AB.
10. AC．
11. ABD．
12.
13. .
14. ；．
15. （1）第百分位数为，平均数为
（2）
16. （1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）
17. （1）
（2）或
（3）
18. （1）取的中点，连接、、，作图如下所示：
因为为的中点，所以，又，所以，
所以、、、四点共面，所以过点，和将木料锯开，截面为；
平面，证明如下：
因为为的中点，，分别为和的中点，
所以且，又底面为菱形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）
（3）（或）
19. （1）
（2）不存在
（3）证明：
令，
则
，
所以为的一个周期，
当时，所以，
所以，
由周期性可知，对，，，
因此对，，.
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