海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了 已知，，则， 若函数，， “绿水青山就是金山银山”等内容，欢迎下载使用。

数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 陀螺是中国民间较早娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
8. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（ ）

A. 海口市这一周AQI的平均数为22
B. “某市”这一周AQI的中位数为40
C. 两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D. 海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差
10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ）
A. 对任意的，，
B. 对任意的，且，
C. 函数是定义域为的奇函数
D. 函数在定义域上是增函数
11. 如图，棱长为1正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（ ）

A. 动点所在轨迹长为
B. 平面平面
C. 平面截正方体所得的截面图形始终是四边形
D. 点和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
12. 复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.
13. 平面向量，为单位向量，且，则______.
14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；
（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
16. 已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
17. 已知函数，的最小值为.
（1）求的值；
（2）求的解集；
（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.
18. 如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.
（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，，求二面角的大小；
（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.
19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.
（1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
（2）请确认是否存在函数：，满足对，都有：
①；②同时成立.
（3）求证：对，，.机密★启用前
海口市2023～2024学年第二学期高一年级期末考试（数学）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，则，
所以，
又，
所以.
故选：C
2. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭复数的概念即可得解.
【详解】，
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
3. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.
【详解】因为向量，，与共线，
所以，解得，
故选：D.
4. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的定义求出，，再由诱导公式计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，所以，，
所以.
故选：C
5. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得.
【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得，
所以，
所以该几何体的表面积.
故选：A
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又，
所以.
故选：C.
7. 若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期求出，再根据为最大值求出.
【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即，
又，所以，解得，
所以，又恒成立，所以，
解得，又，所以.
故选：B
8. 中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积．
【详解】因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，可得，
而，可得，
由余弦定理可得，
即，①
因为边上的中线为，设中线为，
则，
两边平方可得，
即，②
②①可得，即，
所以．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（ ）

A. 海口市这一周AQI的平均数为22
B. “某市”这一周AQI的中位数为40
C. 两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D. 海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差
【答案】AB
【解析】
【分析】由散点图计算平均数和中位数判断A、B;根据方差的意义和散点图分析数值波动程度可判定C、D.
【详解】对于A，根据散点图分析可知，海口市这一周AQI的平均数为
，A正确
对于B，观察散点图“某市”这一周AQI有，可知中位数为40，B正确；
对于C，两市这一周AQI指数的方差或标准差不能完全反映出两市空气质量变化的稳定情况，C错误；
对于D.根据散点图观察海口市这一周AQI指数的波动小于“某市”这一周AQI指数的波动，
所以海口市这一周AQI指数方差小于“某市”这一周AQI指数的方差，D错误；
故选:AB.
10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ）
A. 对任意的，，
B. 对任意的，且，
C. 函数是定义域为的奇函数
D. 函数在定义域上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D．
【详解】对于A：对任意的，，，故A正确；
对于B：对任意的，且，，，
由基本不等式，由于，且，，
即，故B错误；
对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为，
又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确；
对于D，，设，易得在区间上为减函数，
而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误．
故选：AC．
11. 如图，棱长为1的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（ ）

A. 动点所在轨迹长为
B. 平面平面
C. 平面截正方体所得的截面图形始终是四边形
D. 点和点到平面的距离相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：得出点在以为圆心，1为半径的圆弧上，即可求解；对于B：通过条件证出平面，即可得证；对于C：通过条件得出平面截正方体的图形还可以是五边形，即可判断；对于D：根据为中点，得到点和到平面的距离相等，即可判断．
【详解】对于A，因为平面，连接，则即为与侧面成角，
所以，则，

所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧长为，故A正确；
对于B，在正方形内，，，又，
所以，
所以，又平面，平面，
所以，，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面，故B正确；
对于C，取的中点，当与重合时，连接，则有，
，，，四点共面，
即平面截正方体的图形是四边形，如下图：


当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，
交于，连接，
因为，所以，，，四点共面，平面，，
即平面截正方体的图形是五边形，故C错误；
对于D：因为为中点，所以点和到平面的距离相等，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：对于A关键是确定线面角，从而确定动点的轨迹长度，对于C，关键是分类讨论要全面.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，第14题第一问2分，第二问3分，共15分.
12. 复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数几何意义得到，再根据复数的模计算可得.
【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，
所以，又，解得（舍去）或.
故答案为：
13. 平面向量，为单位向量，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积运算法则和性质即可求解.
【详解】因为平面向量，为单位向量，所以
因为，所以，
所以；
所以；
即.
故答案为：.
14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆半径为，再利用勾股定理求出球半径，即可求解．
【详解】平面，平面，所以，
又与底面所成的角为，即，
，，，
又因为，
取的中点，连接，因为，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，所以，
设三角形外接圆半径为，则，解得，
所以所在平面与球的交线长即为外接圆周长，即，
设球到平面的距离为，则有，解得，
从而球半径为，
所以球的表面积为．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.

（1）求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；
（2）若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
【答案】（1）第百分位数为，平均数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数及平均数计算规则计算可得；
（2）设最低分数线定为，首先判断，从而得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因为，
，
所以第百分位数位于，设为，
则，解得，
所以第百分位数为，
平均数；
【小问2详解】
设最低分数线定为，由频率分布直方图可得，
分数在的人数为人；
分数在的人数为人；
所以，则，解得，
所以可估计参加面试最低分数线分.
16. 已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为直线是函数的图象的一条对称轴，
所以，解得，又，
所以，所以，所以函数的最小正周期，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，即在上的值域为.
17. 已知函数，的最小值为.
（1）求的值；
（2）求的解集；
（3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）化简，求出最小值，建立关于的方程，解方程得解；
（2）解三角函数方程可得或，最后写成集合形式得解；
（3）求周长范围转化为求的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围.
【小问1详解】
因为的最小值为，所以当时，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，即，
所以或，解得或，，
的解集为：或.
【小问3详解】
因为在锐角中，，，，
所以，即
所以，所以，
设的外接圆半径为R，则有
所以
所以
又
所以，所以，
所以周长的取值范围为
18. 如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.
（1）要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；
（2）若，，，求二面角的大小；
（3）试求切割开的两部分木料的体积之比.
【答案】（1）作图见解析，平面，证明见解析
（2）
（3）（或）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、、，再证明四边形为平行四边形，从而得到，即可证明平面；
（2）首先证明平面，过点作，连接，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；
（3）依题意可得，不妨设，则，连接，求出，即可得解.
【小问1详解】
取的中点，连接、、，作图如下所示：
因为为的中点，所以，又，所以，
所以、、、四点共面，所以过点，和将木料锯开，截面为；
平面，证明如下：
因为为的中点，，分别为和的中点，
所以且，又底面为菱形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
过点作，连接，又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，
又，，，，所以，
所以，则，即二面角的大小为；
【小问3详解】
切割后两块木料分别为四棱锥和多面体，
又四棱锥和四棱锥同底，且为的中点，
所以，不妨设，则，
连接，由于为的中点，所以，
所以，
所以，则，
所以切割后两块木料体积之比为（或）.
19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.
（1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
（2）请确认是否存在函数：，满足对，都有：
①；②同时成立.
（3）求证：对，，.
【答案】（1）
（2）不存在 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先判断，再分、分别求出方程的解，即可得解；
（2）依题意可得，从而得到，再令推出矛盾，即可得解；
（3）令，推导出，再说明当时，即可得证.
【小问1详解】
因，所以，所以，
由，则，所以，
当时，，，
由，即，解得，
当时，，，
由，即，解得，
因为，所以；
【小问2详解】
不成立，理由如下：
在②中，用代换并结合①可得，
所以，
再令②中可得，又左边，右边，不成立，
所以不存在满足条件的函数；
【小问3详解】
令，
则
，
所以为的一个周期，
当时，所以，
所以，
由周期性可知，对，，，
因此对，，.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解高斯函数的定义，从而推导出，第三问关键是构造函数，推导出.