2022-2023学年海南省海口市海南中学高二下学期期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年海南省海口市海南中学高二下学期期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年海南省海口市海南中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若，则m＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（5分）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝2﹣5P（X＝1）＝a，则a＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）某冷饮店日盈利y（单位：百元）与当天气温x（单位：℃）之间有如下数据：
x/°C
15
20
25
30
35
y/百元
1
2
2
4
5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（　　）
A．＝0.2x﹣2 B．＝0.2x+2.2 C．＝0.2x+2 D．＝0.2x﹣2.2
4．（5分）某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是（　　）
A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
5．（5分）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为p和1﹣p．假设发送信号0和1是等可能的．已知接收到1的概率为0.525，则p的值为（　　）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
6．（5分）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则（　　）
A．A与B互斥 B．B与C相互独立
C． D．A与C互斥
7．（5分）衣柜里有5副不同颜色的手套，从中随机选4只，在取出两只是同一副的条件下，取出另外两只不是同一副的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（　　）

A．众数为33
B．第70百分位数是33
C．中位数是32
D．前4天的方差小于后4天的方差
（多选）10．（5分）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED），则下面正确的是（　　）
A．从5个AED中随机取出3个，共有10种不同的取法
B．从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法
C．把5个AED安放在宿舍、教学楼体育馆三个不同的地方，共有129种方法
D．把5个AED安放在宿舍、教学楼体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方法
（多选）11．（5分）已知函数的定义域为R．则下列说法正确的有（　　）
A．a1+a2+...+a6＝0
B．a1+a3+a5＝﹣728
C．a1+2a2+3a3+...+6a6＝12
D．f（4）被6整除余数为1
（多选）12．（5分）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此反复．记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月（30天）后，记甲、乙、丙三位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法中正确的是（　　）
A．An+Bn＝1 B．数列是等比数列
C．E（X）＝1.5 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知n∈N*，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为 　 　．
14．（5分）设样本数据x1，x2，⋯，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝mxi+3，i＝1，2，⋯，10，且y1，y2，⋯，y10的均值为5，则方差为 　 　．
15．（5分）若随机变量X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则m+n＝　 　，的最小值为 　 　．
16．（5分）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 　 　种．（用数字作答）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持．某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”．现从该校随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：

航天达人
非航天达人
合计
男
20
_____
26
女
_____
14
_____
合计
_____
_____
_____
（1）补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
（2）现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女“航天达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18．（12分）某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示．

（1）由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）近似服从正态分布N（μ，13.42），其中μ为样本中课外活动时间的平均数．用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在（35.7，75.9]内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）．
参考数据：当t服从正态分布N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜t≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜t≤μ+3σ）＝0.9973．
19．（12分）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
平均收入y（千元）
59
61
64
68
73
（1）根据表中数据，现有y＝a+bx与y＝c+dx2两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．
参考数据及公式：，，其中．＝，＝​．
20．（12分）“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局．已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
（1）求甲以3：1赢得比赛的概率；
（2）设比赛的总局数为ξ，求E（ξ）．
21．（12分）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型α1和α2．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂α1和α2合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．
（1）设经过两次检测后两类试剂α1和α2合格的种类数为X，求X的分布列；
（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为f（p），若当p＝p0时，f（p）最大，求p0的值．

22．（12分）现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
（1）记盒子乙中的小球个数为随机变量X，求X的数学期望；
（2）对于两个不互相独立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，称为事件M，N的相关系数．
①若ρ（M，N）＞0，求证：P（M|N）＞P（M）；
②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有两个盒子不空，求ρ（M，N）．


2022-2023学年海南省海口市海南中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【答案】C
【分析】根据已知条件，结合组合数与排列数公式，即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
又∵m≥3，
∴m＝8．
故选：C．
2．【答案】A
【分析】根据两点分布得P（X＝0）+P（X＝1）＝1，与条件联立解得结果．
【解答】解：因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）+P（X＝1）＝1，
又P（X＝0）＝2﹣5P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝2﹣5[1﹣P（X＝0）]，
所以，所以．
故选：A．
3．【答案】D
【分析】先求出样本中心点，代入选项中的方程检验即可求解．
【解答】解：线性回归方程必过样本中心点，由题意得，
结合选项可知，2.8＝0.2×25﹣2.2，即y与x的线性回归方程是．
故选：D．
4．【答案】C
【分析】利用离散型随机变量的定义进行判断即可．
【解答】解：因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，
因为ξ＝5，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】分发送信号0或1两类情况，利用全概率事件的概率求解．
【解答】解：由题意得：，
解得p＝0.95，
故选：D．
6．【答案】B
【分析】由互斥事件的定义即可判断A；由相互独立事件的定义即可判断B，D；利用古典概型的概率公式即可判断C．
【解答】解：对于A，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：
第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；
对于B，，，
所以B与C相互独立，故B正确；
对于C，先后两次掷一枚质地均匀的骰子，共有36个基本事件，
其中事件A包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，
所以P（A）＝，故C错误；
对于D，因为，，，P（AC）≠P（A）⋅P（C），
所以A与C不相互独立，故D错误．
故选：B．
7．【答案】B
【分析】设A为“从中随机选4只，取出两只是同一副”，B为“从中随机选4只，有两只不是同一副”，再根据古典概型的概率公式可求P（A）、P（AB）后可得条件概率．
【解答】解：设A为“从中随机选4只，取出两只是同一副”，
B为“从中随机选4只，有两只不是同一副”，
则，而，
故．
故选：B．
8．【答案】D
【分析】在他10次投篮中，投中的次数X～B（10，），，由此能求出结果．
【解答】解：某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，
在他10次投篮中，投中的次数X～B（10，），
∴P（X＝m）＝，
∴，即，
∵m∈N*，∴m＝8．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【答案】AC
【分析】结合折线图求众数、中位数及百分位数，并求出前后4个数据的方差比大小即可．
【解答】解：由图知：指标值从小到大为17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
所以众数为33，中位数为，A、C对；
由10×70%＝7，故第70百分位数是，B错；
前4天均值为，则方差为；
后4天均值为，则方差为，D错．
故选：AC．
10．【答案】ABD
【分析】根据排列组合公式分别进行计算即可．
【解答】解：A.5个AED随机取出三个共有＝10种，故A正确．
B.5个AED选出来三个分别给3位教师志愿者，有＝60种方法，故B正确．
C．把5个AED安放在三个不同的地方，每个AED都有3种安放情况，则有3×3×3×3×3＝35＝243种排列方式，故C不正确．
D．把5个AED安放在二个不同地方目每个地方至少放一个，共有两种情况，1，1，3或2，2，1，
对于1，1，3这种情况，有＝60种，对于1，2，2这种情况，有••＝90种，所以一共有60+90＝150种方法，故D正确．
故选：ABD．
11．【答案】ACD
【分析】根据二项展开式的性质逐项判断即可．
【解答】解：又，
所以f′（1）＝﹣12（1﹣2）5＝a1+2a2+3a3+...+6a6＝12，故C正确；
已知函数，
则当x＝1时，a0+a1+a2+...+a6＝1①，当x＝0时，a0＝1，所以a1+a2+...+a6＝0，故A正确；
当x＝﹣1时，②，由可得a1+a3+a5＝﹣364，故B错误；
又，
除最后一项外每一项都能被6整除，故f（4）被6整除余数为1，故D正确．
故选：ACD．
12．【答案】ABD
【分析】对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，
对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．
【解答】解：对于A，由于学校食堂每天中都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），
故An+Bn＝1，故A正确，
对于B，由题意可得，，
则，
又∵n＝1时，，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，
当n＞30时，，
∴，
故BD正确，C错误．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】6（答案不唯一）．
【分析】由已知可知展开式的通项为Tr+1＝xn﹣r（﹣）r＝（﹣1）rxn﹣3r，结合常数项的指数特点可求．
【解答】解：因为的展开式的通项为Tr+1＝xn﹣r（﹣）r＝（﹣1）rxn﹣3r，
令n﹣3r＝0可得r＝，
因为n为正整数，r为自然数，
故符合题意的一个n为6．
故答案为：6（答案不唯一）．
14．【答案】16．
【分析】利用均值的性质有E（Y）＝E（mX+3）＝m+3＝5求参数，再由方差性质求新数据方差即可．
【解答】解：由题设E（Y）＝E（mX+3）＝mE（X）+3＝m+3＝5，则m＝2，
所以D（Y）＝D（mX+3）＝m2D（X）＝4×4＝16．
故答案为：16．
15．【答案】；6+．
【分析】由正态分布曲线的对称性求出m+n＝，再由基本不等式求最值．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），∴P（X≥10）＝，
由P（8≤X≤10）＝n，得P（10≤X≤12）＝n，
又P（X＞12）＝m，
∴m+n＝，且m＞0，n＞0，
则＝（）（2m+2n）＝6+≥6+2＝6+4，
当且仅当，即m＝，n＝时等号成立，
∴的最小值为6+4．
故答案为：；6+．
16．【答案】1560．
【分析】区域A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，然后利用分类讨论思想进行计算即可．
【解答】解：区域A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，
若颜色都不相同，则有＝720种，
若只有A，C颜色相同，则有＝360种，
若只有B，D颜色相同，则有＝360种，
若AC，BD同时颜色相同，则有＝120种，
则共有720+360+360+120＝1560种．
故答案为：1560．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】（1）表格见解析，“航天达人”与性别无关；
（2）分布列见解析，1．
【分析】（1）由已知补全2×2列联表，假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到χ2，再根据小概率值α＝0.010的χ2独立性检验可得答案；
（2）在“航天达人”中按性别分层抽样抽取男航天达人有4人，女航天达人有2人，X所有可能取值为：0，1，2，求出所对应的概率可得分布列和期望．
【解答】解：（1）补全2×2列联表如下表：

航天达人
非航天达人
合计
男
20
6
26
女
10
14
24
合计
30
20
50
所以，
查表可知6.464＜6.635＝χ0.010，
因此可以认为H0成立，因此“航天达人”与性别无关；
（2）在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有人，女航天达人有2人，
X所有可能取值为：0，1，2，
则，，，
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
P



X的数学期望为．
18．【答案】（1）平均数为62.5；
（2）数学期望为8.2．
【分析】（1）由题意，根据频率直方图所给信息以及平均数公式进行求解即可；
（2）先利用正态曲线的对称性求出P（35.7＜t≤75.9），再结合二项分布的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）平均数为：10（35×0.005+45×0.015+55×0.02+65×0.03+75×0.02+85×0.01）＝62.5；
（2）μ＝62.5，σ＝13.4，
此时μ﹣2σ＝62.5﹣2×13.4＝35.7，μ+σ＝62.5+13.4＝75.9，
所以，
此时X～B（10，0.8186），
则E（X）＝10×0.8186≈8.2．
19．【答案】（1）y＝3.5x+54.5，y＝0.6x2+58.4；
（2）回归方程y＝0.6x2+58.4拟合效果更好，预测2023年该农户种植药材的平均收入为8万元．
【分析】（1）根据最小二乘法结合条件可得回归方程；
（2）根据回归方程分别计算残差平方和，进而可得y＝0.6x2+58.4拟合效果更好，然后根据回归方程结合条件即得．
【解答】解：（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
，，
所以，，
则＝＝＝3.5，
＝＝65﹣3.5×3＝54.5​．
设t＝x2，则y＝c+dx2＝c+dt，所以，
则＝＝≈0.6，＝＝65﹣0.6×11＝58.4，
所以两种模型的回归方程分别为y＝3.5x+54.5，y＝0.6x2+58.4．
（2）回归方程为y＝3.5x+54.5时，将x值代入可得估计值分别为58，61.5，65，68.5，72，
则残差平方和为（59﹣58）2+（61﹣61.5）2+（64﹣65）2+（68﹣68.5）2+（73﹣72）2＝3.5．
回归方程为y＝0.6x2+58.4时，将x值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为（59﹣59）2+（61﹣60.8）2+（64﹣63.8）2+（68﹣68）2+（73﹣73.4）2＝0.24．
因为0.24＜3.5，所以回归方程y＝0.6x2+58.4拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．
当x＝6时，y＝0.6×62+58.4＝80，
故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元．
20．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；
（2）确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望．
【解答】解：（1）甲以3：1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局，第4局甲获胜，
所以甲以3：1赢得比赛的概率为．
（2）ξ的可能取值为3，4，5，
设甲获胜的概率为P甲，乙获胜的概率为P乙，
；；；；
；；
则，
所以．
21．【答案】（1）分布列见解析；
（2）．
【分析】（1）先得到剂型α1与α2合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列；
（2）求出f（p）＝（1﹣p）2p+（1﹣p）3p＝（1﹣p）2p（2﹣p），令x＝1﹣p，得到g（x）＝x2（1﹣x2）（0＜x＜1），利用基本不等式求出最值，注意取值条件．
【解答】解：（1）剂型α1合格的概率为：；剂型α2合格的概率为：．
由题意知：X的所有可能取值为0，1，2．则，
，，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为（1﹣p）2p，
检测4人确定“感染高危户”的概率为（1﹣p）3p，
则f（p）＝（1﹣p）2p+（1﹣p）3p＝（1﹣p）2p（2﹣p）．
令x＝1﹣p，因为0＜p＜1，所以0＜x＜1，
原函数可化为g（x）＝x2（1﹣x2）（0＜x＜1）．
因为，当且仅当x2＝1﹣x2，即时等号成立．
此时，即．
22．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）每个小球的选择都是一次独立重复试验，而每个小球选择盒子乙的概率为，所以可知随机变量X服从二项分布；
（2）①由条件概率的公式很容易证明；②主要是根据题意，确定是平均分组还是非平均分组，进而根据排列组合的公式即可得到相关事件的概率；由于某些分组情况比较复杂，因此考虑其对立事件，会减少计算量．
【解答】解：（1）由题意可知，X的可能的取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），
故E（X）＝4×．
（2）①因为，且ρ（M，N）＞0，
所以P（MN）﹣P（M）P（N）＞0，即＞P（M），而P（M|N）＝，
所以P（M|N）＞P（M）成立．
②事件M：盒子乙不空，则事件：盒子乙空，
由第1问可知P（）＝＝，所以P（M）＝1﹣P（）＝，
事件N：至少有两个盒子不空，则事件：有一个盒子不空，
P（）＝，所以P（N）＝1﹣P（）＝，
事件MN：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可，
故P（MN）＝+＝，
所以ρ（M，N）＝＝．