2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过(−2,0)和(0,2)两点的直线的斜率是( )
A. 1B. −1C. π4D. 3π4
2.用最小二乘法得到一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为y =2x+3，若i=16xi=30，则i=16yi=( )
A. 11B. 13C. 63D. 78
3.若圆C：(x−a)2+(y−4a)2=4被直线l：3x−y+2=0平分，则a=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
4.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下命题正确的是( )
A. f(−1)是函数的最小值
B. f(−1)是函数的极值
C. y=f(x)在区间(−3,1)上不单调
D. y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0
5.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间( )
参考数据及公式如下：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A. 不能根据小概率的α=0.05的χ2独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的α=0.001的χ2独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的α=0.05的χ2独立性检验认为两者无关
6.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为( )
A. 20B. 25C. 225D. 450
7.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=90°，∠BPC=∠APC=60°，M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为( )
A. 2
B. 52
C. 32
D. 62
8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5=3，则数列{2an+an+1}的前24项和为( )
A. 3 22B. 3C. 3 2D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若a1+a3=5，a4+a6=135，则( )
A. a1=14B. q=3C. an=14×3n−1D. Sn=14(3n−1)
10.已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1、A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是( )
A. P(A1)=34B. P(B|A2)=14C. P(A1B)=916D. P(A2|B)=211
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的点，点E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1
B. 当点E为线段CC1的中点时，点B1到平面AED1的距离为2
C. 点E到直线BD1的距离的最小值为 22
D. 当点E为棱CC1的中点，存在点P，使得平面PBD与平面EBD所成角为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x− 2x)6展开式中x2项的系数为______．
13.已知f(x)=mex−x2，若f′(x)为奇函数，则m= ______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若2sin∠ABF2=3sin∠BAF2，cs∠ABF2=−18，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=85，且a6=7a1．
(Ⅰ)求an和Sn；
(Ⅱ)设bn=5anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点E是棱PC上一点．
(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(2)当E为PC中点时，求二面角A−BE−D的正弦值．
17.(本小题15分)
已知F1，F2分别为椭圆W：x24+y2=1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
(1)若点M的坐标为(1,m)(m>0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0,y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
18.(本小题17分)
为营造浓厚的全国文明城市创建㞣围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动．
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E(X)；
(3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望E(Y)．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x−a)ex−x，(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线为x轴，求a的值；
(2)在(1)的条件下，判断函数f(x)的单调性；
(3)g(x)=(x2−ax+1)ex−(12x2+x+1)，若−1是g(x)的极大值点，求a的取值范围．
答案和、解析
1.A
【解析】解：由题意得：直线的斜率k=2−00−(−2)=1．
故选：A．
2.D
【解析】解：∵i=16xi=30，∴x−=16×30=5，
∵线性回归方程y =2x+3一定过点(x−,y−)，
∴y−=2x−+3=2×5+3=13，
∴i=16yi=6×13=78．
故选：D．
3.D
【解析】解：由题意得圆心(a,4a)在直线l：3x−y+2=0上，
则3a−4a+2=0，解得a=2．
故选：D．
4.D
【解析】解：由图可知，当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，当x∈(−3,+∞)时，f′(x)≥0，
故f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增，
故f(−3)是函数的最小值，也是函数的极小值，
y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增，
y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0，即A、B、C错误，D正确．
故选：D．
5.B
【解析】解：由数表知，χ2=50×(5×10−15×20)220×30×25×25=253，
而6.635<253<10.828，
所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关．
故选：B．
6.C
【解析】解：甲和乙的选择方法分别有C51+C52=15种方法，
所以甲和乙不同的选择方法有15×15=225种．
故选：C．
7.C
【解析】解：由题意得PQ=12PA+12PM=12PA+14PB+14PC，
故PQ2=14PA2+116PB2+116PC2+14PA⋅PB+14PA⋅PC+18PB⋅PC，
=1+14+14+0+12+14=94，
则PQ=32．
故选：C．
8.D
【解析】解：依题意，an+12−an2=2，即{an2}是公差为2的等差数列，而a5=3，
于是an2=a52+2(n−5)=2n−1，即an= 2n−1，
则2an+an+1=2 2n−1+ 2n+1=2( 2n+1− 2n−1)( 2n+1+ 2n−1)( 2n+1− 2n−1)= 2n+1− 2n−1，
所以数列{2an+an+1}的前24项和为：( 3−1)+( 5− 3)+( 7− 5)+⋯+( 49− 47)=7−1=6．
故选：D．
9.BD
【解析】解：依题，a1(1+q2)=5a1q3(1+q2)=135，解得a1=12q=3，故A错误，B正确；
则an=a1qn−1=12×3n−1，
Sn=a1(1−qn)1−q=−14(1−3n)=14(3n−1)，故C错误，D正确．
故选：BD．
10.ACD
【解析】解：对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以P(A1)=34，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A2)=24=12，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为P(B|A1)=34，所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=34⋅34=916，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以P(A2)=14，结合以上分析，
所以P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(B|A2)P(A2)P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=12⋅1434⋅34+12⋅14=211，故D正确．
故选：ACD．
11.ABD
【解析】解：对A选项，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图：
则根据题意可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，A(2,0,0)，
设E(0,2,a)(0≤a≤2)，
所以AD1=(−2,0,2)，AB1=(0,2,2)，A1E=(−2,2,a−2)，
假设存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1，
则AD1⋅A1E=4+2(a−2)=0，AB1⋅A1E=4+2(a−2)=0，解得a=0，
所以存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1，此时点E与点C重合，故A正确；
对于B，点E为线段CC1的中点时，E(0,2,1)，AE=(−2,2,1)，AD1=(−2,0,2)，
设平面AED1的一个法向量为m=(x,y,z)，
则AD1⋅m=−2x+2z=0AE⋅m=−2x+2y+z=0，取x=2，则m=(2,1,2)，又AB1=(0,2,2)，
故点B1到平面AED1的距离为|AB1⋅m||m|=2+43=2，故B正确；
对C选项，E(0,2,a)(0≤a≤2)，BE=(−2,0,a),BD1=(−2,−2,2)，
则点E到直线BD1的距离为 BE2−(BE⋅BD1|BD1|)2= 4+a2−(4+2a2 3)2= 63 (a−1)2+3，
故当a=1时，即点E为CC1中点时，
此时点E到直线BD1的距离最小，且最小值为 2，故C错误；
对D选项，点E为线段CC1的中点时，E(0,2,1)，
则DE=(0,2,1)，DB=(2,2,0)，
设平面EBD的一个法向量为a=(x1,y1,z1)，由a⊥DE，a⊥DB，
可得DE⋅a=2y1+z1=0DB⋅a=2x1+2y1=0，取x1=1，则a=(1,−1,2)，
设P(x,0,2−x)(0≤x≤2)，DP=(x,0,2−x)，DB=(2,2,0)，
设平面PBD的一个法向量为b=(x2,y2,z2)，由b⊥DP，b⊥DB，
可得DP⋅b=xx2+(2−x)z2=0DB⋅b=2x2+2y2=0，取x2=2−x，则b=(2−x,x−2,−x)，
若存在点P，使得平面PBD与平面EBD所成角为π4，
则|cs|=|a⋅b||a||b|=|2−x−x+2−2x| 2(2−x)2+x2× 6= 22，
化简得7x2−8x−8=0，解得x=4+6 27或4−6 27，
由于0≤x≤2，所以x=4+6 27，故D正确．
故选：ABD．
12.30
【解析】解：(x− 2x)6展开式的通项公式为Tr+1=(−1)rC6rx6−r( 2x)r=(−1)rC6r( 2)rx6−2r，
当6−2r=2时，r=2，
所以T3=(−1)2C62( 2)2x2=30x2，即x2项的系数为30．
故答案为：30．
13.0
【解析】解：根据题意，f(x)=mex−x2，则f′(x)=mex−2x，
若f′(x)为奇函数，则me−x−2(−x)=−mex+2x，
变形可得m(ex+e−x)=0，必有m=0．
故答案为：0．
14.2 2
【解析】解：如图，在ΔABF2中，2sin∠ABF2=3sin∠BAF2，设|AF2|=t，
由正弦定理得|AF2|sin∠ABF2=|BF2|sin∠BAF2，则|BF2|=23t，
所以由双曲线的定义可知|AF1|=t−2a，|BF1|=2a+23t，
故|AB|=|BF1|−|AF1|=4a−13t，在ΔABF2中，
由余弦定理可得cs∠ABF2=(4a−13t)2+(23t)2−t22×(4a−13t)×23t=−18，解得t=4a，
所以在△BF1F2中，|BF1|=14a3，|BF2|=8a3，|F1F2|=2c，
又cs∠F1BF2=(83a)2+(143a)2−4c22×83a×143a=−18，解得c2=8a2，
所以离心率c=ca=2 2．
故答案为：2 2．
15.解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d(d>0)，
因为S5=5a3=85，所以a3=17，
由a6=7a1得，a3+3d=7(a3−2d)，
所以17+3d=7(17−2d)，解得d=6，
所以a1=a3−2d=5，
所以an=a1+(n−1)d=5+(n−1)×6=6n−1，Sn=n(a1+an)2=n(5+6n−1)2=3n2+2n．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，bn=5anan+1=5(6n−1)(6n+5)=56(16n−1−16n+5)，
所以Tn=56(15−111+111−117+⋯+16n−7−16n−1+16n−1−16n+5)=56(15−16n+5)=n6n+5．
【解析】(Ⅰ)结合等差数列前n项和的性质与通项公式，求出公差d与a1，再由等差数列的通项公式与前n项和公式，得解；
(Ⅱ)采用裂项求和法，即可得解．
16.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
又PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD⊂平面BDE，
所以平面PAC⊥平面BDE．
(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，E(1,1,1)，
所以BE=(−1,1,1)，AB=(2,0,0)，BD=(−2,2,0)，
设平面ABE的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BE=−x+y+z=0m⋅AB=2x=0，
取y=1，则x=0，z=−1，所以m=(0,1,−1)，
设平面BDE的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅BE=−a+b+c=0n⋅BD=−2a+2b=0，
取a=1，则b=1，c=0，所以n=(1,1,0)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=1 2× 2=12，
由图知，二面角A−BE−D为锐角，
所以二面角A−BE−D的大小为π3，
故二面角A−BE−D的正弦值为 32．
【解析】(1)由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，结合BD⊥AC，可证BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
17.解：(1)因为点M(1,m)在椭圆上，
所以14+m2=1，
因为m>0，所以m= 32，
因为a=2，b=1，所以c= a2−b2= 3，所以F1(− 3,0)，F2( 3,0)，
所以S△F1MF2=12|F1F2|m=12×2 3× 32=32；
(2)因为点M在椭圆上，所以−2≤x0≤2，
由余弦定理得：
cs∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|MF|⋅|MF2|=(x0+ 3)2+y02+(x0− 3)2+y02−122|MF1|1F2|，
因为∠F1MF2是钝角，所以(x0+ 3)2+y02+(x0− 3)2+y02−12<0，
又因为y02=1−x024，所以x02<83，解得−2 63故横坐标x0的范围为(−2 63 ,2 63)．
【解析】(1)代入法求得m值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；
(2)由余弦定理可得．
18.解：(1)设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动为事件B，
则P(AB)=12C41CC62=815，P(A)=12C41C+C22C62=35，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=81535=89；
(2)依题意知X服从超几何分布，
所以P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41⋅C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×25+1×815+2×115=23；
(3)设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，
则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，
P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=3×12+6×12=92，
P(X2=6)=P(X2=9)=12，E(X2)=6×12+9×12=152，
有X名女生参加活动，则男生有2−X名参加活动，Y=92X+152(2−X)=15−2X，
所以E(Y)=E(15−3X)=15−3E(X)=15−3×23=13，
即两人工时之和的期望为13个工时．
【解析】(1)根据条件概率公式可求出结果；
(2)根据超几何分布概率公式可求出结果；
(3)先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果．
19.解：(1)根据题意，由已知f′(x)=(x−a+1)ex−1，则f′(0)=(−a+1)e0−1=−a，
由于曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线为x轴，
所以−a=0，
所以a=0；
(2)当a=0时，f′(x)=(x+1)ex−1，令ℎ(x)=(x+1)ex−1，
则ℎ′(x)=(x+2)ex，
当x<−2时，ℎ′(x)<0，f′(x)单调递减，当x>−2时，ℎ′(x)>0，f′(x)单调递增，
又当x<−2时，f′(x)<0恒成立，f′(−2)=−e−2−1，f′(0)=e0−1=0，
所以当x<0时f′(x)<0，x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；
(3)由已知g′(x)=(x2−ax+1+2x−a)ex−(x+1)=(x+1)[(x−a+1)ex−1]，
令v(x)=(x−a+1)ex−1，则v′(x)=(x−a+2)ex，
当xa−2时，v′(x)>0，v(x)单调递增，
又当x当x→+∞时，v(x)>0，即v(x)在(a−2,+∞)上有且只有一个零点，设为x0，
当x0<−1，即v(−1)=(−1−a+1)e−1−1>0，解得a<−e，
此时若g′(x)<0，解得x0若g′(x)>0，解得x−1，g(x)在(−∞,x0)，(−1,+∞)上单调递增，
此时g(x)在x=−1处取极小值，不符合题意，舍去；
当x0>−1，即v(−1)=(−1−a+1)e−1−1<0，解得a>−e，
此时若g′(x)<0，解得−1若g′(x)>0，解得x<−1或x>x0，g(x)在(−∞,−1)，(x0,+∞)上单调递增，
此时g(x)在x=−1处取极大值，符合−1是g(x)的极大值点，
当x0=−1时，即v(−1)=(−1−a+1)e−1−1=0，解得a=−e，
此时g′(x)≥0恒成立，g(x)无极值点，
综上所述：a的取值范围为(−e,+∞)．
【解析】(1)求导，然后根据f′(0)=0列式计算即可；
(2)求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；
(3)求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点．喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
25
815
115