2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知复数z=2−ii，则z的虚部为( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
3.“a=1”是“函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
5.过坐标原点O向圆C：x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为M，N，则tan∠MON=( )
A. 34B. 43C. 3D. 12
6.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是( )
A. [2,3]B. [0,1]C. [0,2]D. [−3,2]
7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y =0.4x+a ，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：i=16yi2=796,i=16(yi−y−)2=70.则下列说法不正确的是( )
A. 经验回归直线经过点(3.5,11)
B. a =9.6
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点(x4,y4)的残差为0.1
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 2的圆，圆心到伞柄底端距离为 2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. 2− 3B. 2−1C. 3−1D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sinx⋅|csx|，则( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)的最小值为−12D. f(x)在[0,π2]上单调递增
10.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
11.半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )
A. MQ⊥平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为60°
C. 该二十四等边体的体积为40 23D. 该二十四等边体外接球的表面积为16π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式(2 x+1x3)7的展开式中的常数项为______.(用数字作答)
13.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150,σ2)，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼170次之间的人数约为______．
14.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsC═ccsB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+ 3csC= 3ab．
(1)求角B；
(2)若a+c=2，b= 3，∠ABC的角平分线交AC于点D，求BD．
16.(本小题15分)
人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为50%．
(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(i)求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
(ii)若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点．
(1)求直线B1D与平面EFG所成角的正弦值；
(2)求平面C1GF与平面EGF的夹角的余弦值；
(3)若点H为棱DD1的中点，试探究点H是否在平面EFG上，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知数列{an}为等差数列，a1=1,a3=4 3+1，其前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn=Snn．
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)试探究数列{an}中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−1x．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数在其定义域上的单调性；
(3)若f(x)>ax，其中a>0，且a≠1，求实数a的值．
答案解析
1.D
【解析】解：当a=1时，b=1、0、−1，则a+b=2、1、0；
当a=−1时，b=1、0、−1，则a+b=0、−1、−2；
集合C={a+b|a∈A,b∈B}={−2,−1,0,1,2}．
故选D．
2.C
【解析】解：z=2−ii=(2−i)ii2=−1−2i，
则z的虚部为−2．
故选：C．
3.A
【解析】解：根据题意，若a=1，则f(x)=2x−12x+1，
则f(−x)=12x−112x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)，
所以f(x)是奇函数；
反之，若函数f(x)=2x−a2x+a在其定义域上为奇函数，
可得f(−x)=12x−a12x+a=1−a⋅2x1+a⋅2x=−f(x)=−2x−a2x+a=a−2x2x+a，
解得a=±1，
∴a=1是函数f(x)=2x−a2x+a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．
故选：A．
4.A
【解析】解：根据中位数的定义，该组数据的中位数是m+122，
根据极差的定义，该组数据的极差是21−1=20，
依题意得，m+122=20×25，解得m=4，
因为6×0.45=2.7∉Ζ，
根据百分位数的定义，
该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即为4．
故选：A．
5.B
【解析】解：解法一：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，
该圆的圆心为C(2,1)，半径为1，如图所示，连接OC，CN，
易知tan∠MOC=tan∠CON=|CN||ON|=12，
所以tan∠MON=tan(∠MOC+∠CON)=12+121−12×12=43，
解法二：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，
该圆的圆心为C(2,1)，半径为1，设直线OM的方程为y=kx，
则|2k−1| k2+1=1，解得：k=0或k=43，所以tan∠MON=43．
故选：B．
6.D
【解析】解：因为菱形ABCD中，AC=2，BD=4，
设对角线AC与BD相交于点O，则AC⊥BD，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,−1)，C(0,1)，B(2,0)，D(−2,0)，
因为点E在线段CD上，
所以设DE=λDC(0≤λ≤1)，即DE=λ(2,1)=(2λ,λ)，
所以AB=(2,1)，AE=AD+DE=(−2,1)+(2λ,λ)=(2λ−2,λ+1)，
所以AB⋅AE=2(2λ−2)+λ+1=5λ−3，
因为0≤λ≤1，所以5λ−3∈[−3,2]．
故选：D．
7.D
【解析】解：由表中数据可知，x−=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，
i=16yi2=796,i=16(yi−y−)2=70，
则i=16(yi−y−)2=i=16yi2−6y−2=70，解得y−=11，
故经验回归直线经过点(3.5,11)，故A正确；
经验回归方程为y =0.4x+a ，
则11=0.4×3.5+a ，解得a =9.6，故B正确；
当x=12时，y =0.4×12+9.6=14.4，
故该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元，故C正确；
点(x4,y4)的残差为11.1−(0.4×4+9.6)=−0.1，故D错误．
故选：D．
8.A
【解析】解：如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由OF⊥BC,|OF|=|OB|= 2，得a+c=|BF|=2，∠FBC=45°，|AB|=2a,|BC|=2 2，
在△ABC中，∠BAC=60°，则∠ACB=75°，
又sin75°=sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
由正弦定理得2asin75∘=2 2sin60°，
解得a= 2× 6+ 24 32=1+1 3，则c=1−1 3，
所以该椭圆的离心率e=ca= 3−1 3+1=2− 3．
故选：A．
9.AC
【解析】解：f(x)=sinx⋅|csx|=12sin2x,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−12sin2x,π2+2kπ其大致图象如图所示，
因为f(−x)=sin(−x)|cs(−x)|=−sinx|csx|=−f(x)，即f(x)为奇函数，A正确；
因为f(x+π)=sin(x+π)|cs(x+π)|=−sinx|csx|≠f(x)，即π不是f(x)的最小正周期，B错误；
结合函数图象可知，f(x)的最小值为−12，C正确；
函数f(x)在[0,π2]上不单调，D错误．
故选：AC．
10.AD
【解析】解：由f(x)=2x3−3ax2+1，得f′(x)=6x(x−a)，
对于A，当a>1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增；
f(x)的极大值f(0)=1>0，f(x)的极小值f(a)=1−a3<0，所以f(x)有三个零点，故A正确；
对于B，当a<0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，x=0是极小值点，故B错误；
对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；
对于D，当a=2时，f(x)=2x3−6x2+1=2(x−1)3−6(x−1)−3，关于点(1,−3)中心对称，故D正确．
故选：AD．
11.BCD
【解析】解：对于A中，若MQ⊥平面AEMH，因为MH⊂平面AEMH，所以MQ⊥MH，
又因为△MQH为等边三角形，所以∠QMH=60°，所以A不正确；
对于B中，因为BC//AD，所以异面直线BC和EA所成角即为直线AD和EA所成角，
设角∠EAD=θ，在正六边形ADGPNE中，可得θ=120°，
所以异面直线BC和EA所成角为60°，所以B正确；
对于C中，补全八个角构成一个棱长为2 2的一个正方体，
则该正方体的体积为V=(2 2)3=16 2，
其中每个小三棱锥的体积为V1=13×12× 2× 2× 2= 23，
所以该二十四面体的体积为16 2−8× 23=40 23，所以C正确；
对于D中，取正方形ACPM对角线的交点为O，即为该二十四面体的外接球的球心，
其半径为R=12 AC2+AM2=12 (2 2)2+(2 2)2=2，
所以该二十四面体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×22=16π，所以D正确．
故选：BCD．
12.448
【解析】解：根据(2 x+1x3)7的展开式的通项Tr+1=C7r⋅27−r⋅x7−r2⋅x−3r(r=0,1,2,3,4,5,6,7)，
当r=1时，展开式为常数项，即常数项为C71⋅26=448．
故答案为：448．
13.500
【解析】解：因为成绩X服从正态分布 N(150,σ2)，即正态曲线关于μ=150对称，
因为成绩小于 130的有 300 人，
所以P(X<130)=P(X>170)=3001600=316，
所以P(150即可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼170次之间的人数约516×1600=500．
故答案为：500．
14.2 73
【解析】解：因为2bcsC=ccsB，
所以2sinBcsC=sinCcsB，
即2tanB=tanC，
又因为A+B+C=π，
所以tanA=tan[π−(B+C)]=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC=−3tanB1−2tan2B，
所以1tanA+1tanB+1tanC
=1−2tan2B−3tanB+1tanB+12tanB
=2tan2B−13tanB+32tanB
=9+4tan2B−26tanB
=4tan2B+76tanB，
=23tanB+76tanB
≥2 23tanB×76tanB
=2 73(当且仅当23tanB=76tanB，即tanB= 72，取“=”)．
故答案为：2 73．
15.解：(1)∵sinC+ 3csC= 3ab= 3sinAsinB，∴sinBcinC+ 3sinBcsC= 3sinA= 3sin(B+C)，
整理得sinBsinC= 3csBsinC，C∈(0,π)，sinC≠0，
∴sinB= 3csB，即tanB= 3，B∈(0,π)，∴B=π3，
(2)由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，即(a+c)2−3ac=3，解得ac=13，
BD为∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD=π6，
∴S△ABC=12acsin∠ABC=12a⋅BD⋅sin∠CBD+12⋅c⋅sin∠ABD，
即 34ac=14⋅BD⋅(a+c)， 34×13=14×2×BD，解得BD= 36．
【解析】(1)利用三角变换即可求解；
(2)先利用余弦定理求ac，再结合三角形面积公式求BD即可．
16.解：(1)易知的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=C50C33C83=156，
P(ξ=1)=C51C32C83=1556，
P(ξ=2)=C52C31C83=3056=1528，
P(ξ=3)=C53C30C83=1056=528，
所以ξ的分布列为：
E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．
(2)(i)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“CℎatGP7的回答被采纳”为事件C，
则P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|B)=0.5，P(C|A)=0.85，
P(C)=P(CB)+P(CA)=P(B)P(C|B)+P(A)P(C|A)=0.1×0.5+0.9×0.85=0.815．
(ii)若CℎatGP7的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为P(A|C)=P(AC)P(C)=P(A)P(C|A)P(C)=0.9×．
【解析】(1)ξ服从超几何分布，直接用公式求解；
(2)(i)利用全概率公式求解CℎatGPT的回答被采纳的概率；
(ii)利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可．
17.解：如图建系，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点，
所以D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，
E(2,1,0)，F(1,2,2)，G(0,1,2)，
则DB1=(2,2,2)，EF=(−1,1,2)，EG=(−2,0,2)，
(1)设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EF=−x+y+2z=0n⋅EG=−2x+2z=0，
令z=1，则x=1，y=−1，
所以n=(1,−1,1)，
设直线B1D与平面EFG所成角的正弦值为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅DB1||n|⋅|DB1|=|2−2+2| 22+22+22× 1+1+1=13；
(2)因为CC1⊥平面C1GF，
易知m=(0,0,1)是平面C1GF的一个法向量，
设平面C1GF与平面EGF的夹角为α，
则csα=|cs|=|m⋅n||m||n|=1 3= 33；
(3)点H是否在平面EFG上，理由如下：
若点H为棱DD1的中点，则H(0,0,1)，
HE=(2,1,−1)，
令点H到平面EFG的距离为d，
则d=|HE⋅n||n|=|2×2+1×(−1)+(−1)×1| 3=0，
所以点H在平面EFG上．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，分别求出直线B1D的方向向量与平面EFG的法向量，利用向量夹角公式即可；
(2)分别求出平面C1GF与平面EGF的法向量，利用向量夹角公式即可；
(3)令点H到平面EFG的距离为d，得到d=0即可得证．
18.解：(1)证明：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a1=1,a3=4 3+1，则d=a3−a12=2 3，
则Sn=na1+n(n−1)d2=n+ 3n(n−1)= 3n2−( 3−1)n，
故bn=Snn= 3n−( 3−1)，
故当n≥2时，则有bn−bn−1= 3；
(2)根据题意，假设数列{an}中存在三项am、ak、an构成等比数列(m∈N且≥1，n∈N且≥1，k∈N且≥1，m、n、k互不相等)，
则有am⋅an=(ak)2，即( 3m− 3+1)( 3n− 3+1)=( 3k− 3+1)2，
变形可得：3mn− 3( 3−1)mn+( 3−1)2=3k2−2 3( 3−1)k+( 3−1)2，
又由m、n、k∈N且≥1， 3( 3−1)=3− 3为无理数，
则必有k2=mn2k=m+n，
变形可得(m+n)2=4mn，即(m−n)2=0，
与m、n、k互不相等相矛盾，
故数列{an}中不存在三项构成等比数列．
【解析】(1)根据题意，求出数列{an}的前n项和，进而可得数列{bn}的表达式，分析可得答案；
(2)假设数列{an}中存在三项am、ak、an构成等比数列，由等比中项的定义可得am⋅an=(ak)2，即( 3m− 3+1)( 3n− 3+1)=( 3k− 3+1)2，变形推出矛盾，即可得结论．
19.解：(1)由题意f(1)=e−1，即切点为(1,e−1),f′(x)=xex−ex+1x2,k=f′(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x−1+e−1，即y=x+e−2；
(2)由f′(x)=(x−1)ex+1x2，设g(x)=(x−1)ex+1，则g′(x)=xex，
所以当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)=0，
所以对于任意的x≠0有g(x)>0，即f′(x)>0，
因此f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递增，
即ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，
所以x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即ex−1>x，即ex−1x<1，x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即ex−1>x，即ex−1x>1，所以f(x)是其定义域上的增函数．
(3)由(2)可知，x<0时，f(x)<1，所以ax<1，故a>1，
令a=ek，k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，
由题意x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，
若k≥1，则当x>1时，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x≤1−e−kx−x<0，不满足条件，
所以0令G(x)=F′(x)，则G′(x)=(1−k)2e(1−k)x−k2e−kx=e−kx[(1−k)2ex−k2]，
令G′(x)=0，得x=2lnk1−k，
F′(x)在(−∞,2lnk1−k)单调递减，在(2lnk1−k,+∞)单调递增，
若2lnk1−k<0，则当2lnk1−k此时F(x)>F(0)=0，不满足题意；若2lnk1−k>0，
则当0此时F(x)则当x<0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)且当x>0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)>F(0)=0，满足题意，
所以2lnk1−k=0，解得k=12，
综上所述，a= e．
【解析】(1)首先代入x=1到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解．
(2)对f(x)求导，结合导数与单调性关系即可求解；
(3)由(2)得a>1，进一步令a=ek，k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，结合题意知x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，对k分类讨论即可求解．时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号x
1
2
3
4
5
6
y百亿元
y1
y2
y3
11.1
y5
y6
ξ
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528