2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若A2n3=10An3，则n=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
2.设某商场今年上半年月销售额y(万元)关于月份x(x=1,2,…,6)的经验回归方程为y=1.2x+a，已知上半年的总销售额为120万元，则该商场12月份销售额预计为( )
A. 24B. 27.8C. 30.2D. 32
3.已知函数fx=lnx−ax在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. a≥1B. a>1C. a≥13D. a>13
4.已知随机变量X的分布列为PX=i=iai=1,2,3,4，则P(2≤X<4)=( )
A. 12B. 35C. 710D. 910
5.已知随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，且Pξ<2=0.6，则P0<ξ<2等于( )
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
6.将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 90种B. 150种C. 180种D. 250种
7.已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−2f(x)<0,f(0)=1，则( )
A. e2f(−1)<1B. f(1)>e2C. f(2)>e4D. f(2)8.在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：C11+C21+C31+⋯+Cn1=Cn+12，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )
A. 2C20233−2B. 2C20243−2C. C20244−2D. C20234−2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量X∼Nμ,σ2且P(X≤2)=0.5，随机变量Y∼B(3,p)，若E(Y)=E(X)，则( )
A. μ=2B. DX=2σ2C. p=23D. D(3Y)=2
10.已知函数fx及其导函数f′x的部分图象如图所示，设函数gx=fxex，则gx( )
A. 在区间a,b上单调递减B. 在区间a,b上单调递增
C. 在x=a时取极小值D. 在x=b时取极小值
11.关于函数f(x)=(2x−x2)ex，下列结论错误的是( )
A. f(x)>0的解集是{x|0C. f(x)没有最小值，也没有最大值D. f(x)有最大值，没有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=e2x，则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 ．
13.对于随机事件A,B，记A为事件A的对立事件，且PA=23,PB∣A=25,PA∣B=37，则PB= ．
14.(x2+y+1x+1y)7展开式中的常数项为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=x3−3lnx．
(1)求fx的最小值；
(2)设gx=x3+3x−3，证明：fx≤gx
16.(本小题12分)
现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为93%，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%,40%．
(1)从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
(2)从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X的数学期望EX．
17.(本小题12分)
规定Cxm=x(x−1)⋅⋅⋅(x−m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且Cx0=1，这是组合数Cnm(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求C−124的值；
(2)设x>0，当x为何值时，Cx3(Cx1)3取得最小值？
(3)组合数的两个性质：①Cnm=Cnn−m.②Cnm+Cnm−1=Cn+1m.是否都能推广到Cxm(x∈R,m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
18.(本小题12分)
为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程y=4.7x−9459.2，且销量y的方差为sy2=2545，年份x的方差为sx2=2．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
①参考数据： 5×127= 635≈25．
②参考公式：线性回归方程为y=bx+a，其中b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx；
相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2i=1nyi−y2，若r>0.9，则可判断y与x线性相关较强；
K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.附表：
19.(本小题12分)
已知函数fx=x−aex−x,a∈R,f′x是fx的导函数．
(1)证明：f′x在−∞,+∞上存在唯一零点x0；
(2)设函数gx=x2−ax+1ex−12x2+x+1．
①当a=2e−1e时，求函数gx的单调区间；
②当a∈−∞,e−42时，讨论函数gx零点的个数．
答案解析
1.B
【解析】解：∵A2n3=10An3，
∴2n(2n−1)(2n−2)=10n(n−1)(n−2)，
∴n=8．
故选B．
2.C
【解析】由已知数据可得x=1+2+3+4+5+66=216=3.5,y=1206=20，
因为经验回归方程经过样本的中心点x,y，
所以20=1.2×3.5+a，解得a=15.8，
则经验回归方程为y=1.2x+15.8．
所以，该商场12月份销售额预计为1.2×12+15.8=30.2．
故选：C．
3.A
【解析】因为fx=lnx−ax，所以f′x=1x−a，
因为fx在区间1,3上单调递减，
所以f′x≤0，即1x−a≤0，则a≥1x在1,3上恒成立，
因为y=1x在1,3上单调递减，所以ymax=1，故a≥1．
故选：A．
4.A
【解析】依题意，分布列概率之和为1，则1a+2a+3a+4a=1，解得a=10．
即P(X=i)=i10(i=1,2,3,4)，所以P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)=210+310=12.
故选：A．
5.C
【解析】由已知可得曲线关于直线x=1对称，Pξ<2=0.6，
所以Pξ≥2=Pξ≤0=0.4，故P0<ξ<2=1−0.4−0.4=0.2．
故选：C
6.B
【解析】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种，
①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有C52C32A22⋅A33=90种分法，
②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有C51C41A22⋅A33=60种分法，
所以由分类加法原理可知共有90+60=150种分法，
故选：B
7.D
【解析】设g(x)=f(x)e2x，则g′(x)=f′(x)e2x−2f(x)e2xe4x=f′(x)−2f(x)e2x，
因f′x−2fx<0,，故得g′(x)<0，即g(x)在R上为减函数．
对于A项，因−1<0，则g(−1)>g(0)，即f(−1)e−2>f(0)=1，即e2f(−1)>1，故 A错误；
对于B项，因1>0，则g(1)对于C项，因2>0，则g(2)对于D项，因2>1，则g(2)故选：D．
8.B
【解析】解：由杨辉三角中观察得可得1+3+6+10=20．
推广，得到C22+C32+C42+⋯+Cn+12=Cn+23，
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
S=2×3+3×4+4×5+⋯+2022×2023
=2C32+C42+⋯+C20232
=2C20243−1．
故选：B．
9.AC
【解析】对AB，因为X∼Nμ,σ2且P(X≤2)=0.5，所以μ=2，
故E(X)=μ=2，Dx=σ2，选项 A正确，选项B错误；
对C，因为Y∼B(3,p)，所以E(y)=3p=E(X)，所以3p=2，解得p=23，选项 C正确；
对D，D3Y=9DY=9×3×23×1−23=6，选项 D错误，
故选：AC．
10.BC
【解析】解：结合图像可知，当x0，当a当x>b时，fx−f′x>0，
g′x=f′x−fxex，因ex>0，
故当x当a0，gx在区间a,b上单调递增，
当x>b时，g′x=f′x−fxex<0，gx在区间b,+∞上单调递减，
故gx在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值，
故选：BC
11.CD
【解析】函数f(x)=(2x−x2)ex的定义域为R，
对于A，f(x)>0⇔2x−x2>0，解得00的解集是{x|0对于BCD，f′(x)=(2−x2)ex，当x<− 2或x> 2时，f′(x)<0，当− 20，
则函数f(x)在(−∞,− 2),( 2,+∞)上单调递减，在(− 2, 2)上单调递增，
因此f(− 2)是极小值，f( 2)是极大值， B正确；
显然当x<0时，f(x)<0恒成立，当x>3时，2x−x2<−3，(2x−x2)ex<−3ex，
而当x>3时，函数y=−3ex的值域为(−∞,−3e3)，而f 2=2 2−1e 2>0，因此f(x)有最大值f 2，没有最小值， C错误，D正确．
故选：CD
12.2ex−y=0
【解析】设切点坐标为t,e2t，∵f(x)=e2x，∴f′(x)=2e2x，f′(t)=2e2t，
则曲线y=f(x)在点t,e2t处的切线方程为y−e2t=2e2t(x−t)，
由于该直线过原点，则−e2t=−2te2t，得t=12，
因此，则过原点且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2ex，
故答案为：2ex−y=0．
13.715
【解析】由题意可得，PB|A=PABPA=25，且PA=23，则PAB=415，
又因为PA|B=37，则PA|B=1−PA|B=47，
且PA|B=PABPB，所以PB=PABPAB=41547=715．
故答案为：715．
14.630
【解析】解：(x2+y+1x+1y)7表示7个x2+y+1x+1y相乘，
要得到常数项，需要1个x2，2个1x，2个y和2个1y，
故常数项为：C71C62C42C22=630．
故答案为：630．
15.(1)
因为fx=x3−3lnx，x>0，则f′x=3x2−3x=3x3−1x，
令f′x<0，得00，得x>1；
所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以fx最小值为f1=1−3ln1=1．
(2)
因为fx=x3−3lnx，gx=x3+3x−3，
所以由fx≤gx，得x3−3lnx≤x3+3x−3，即lnx+1x−1≥0，
令ℎx=lnx+1x−1，x>0，则ℎ′x=1x−1x2=x−1x2，
令ℎ′x<0，得00，得x>1；
所以ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
则ℎx≥ℎ1=ln1+1−1=0，即lnx+1x−1≥0恒成立，
所以fx≤gx．
【解析】(1)利用导数与函数性质的关系即可得解；
(2)构造函数ℎx=lnx+1x−1，利用导数证得ℎx≥0恒成立，从而得证．
16.(1)
不难知，第1台加工零件的次品率为5%，第2台加工零件的次品率为7%．
记事件A表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件Bi表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i台车床加工的”，i=1,2．
则PB2∣A=PAB2PA=0.4×0.070.6×0.05+0.4×0.07=1429．
(2)
X的可能取值为0,1,2,3,⋯,10，且X服从二项分布．
由(1)知，PA=0.6×0.05+0.4×0.07=0.058．
∴X∼B10,0.058,∴EX=10×0.058=0.58．
【解析】(1)由条件概率求解即可；
(2)求出X的可能取值，则X服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可．
17.解：(1)由题意可得C−124=(−12)(−13)(−14)(−15)4!=1365．
(2)因为Cx3(Cx1)3=x(x−1)(x−2)6x3=16[2(1x)2−3(1x)+1]，
则1x=34，即x=43时，Cx3(Cx1)3取得最小值，最小值为−148；
(3)性质①不能推广，例如C−124有意义，C−12−16无意义；
性质②能推广，它的推广形式为Cxm+Cxm−1=Cx+1m(x∈R,m是正整数)，
证明如下：
当m=1时，Cx1+Cx0=x+1=Cx+11；
当m≥2时，Cxm+Cxm−1=x(x−1)(x−2)⋯(x−m+1)m!+x(x−1)(x−2)⋯(x−m+2)(m−1)!=x(x−1)(x−2)⋯(x−m+2)(m−1)!·x−m+1m+1=(x+1)x(x−1)(x−2)⋯(x−m+2)m!=Cx+1m．
【解析】(1)由新定义代入计算即可．
(2)由组合数公式转化成关于x的函数，利用二次函数求最值．
(3)利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．
18.(1)
由sx2=2，得i=1nxi−x2=nsx2=2n，由sy2=2545，得i=1nyi−y2=nsy2=254n5，
因为线性回归方程y=4.7x−9459.2，则b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=4.7，
即i=1nxi−xyi−y=4.7i=1nxi−x2=4.7×2n=9.4n，
因此相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2i=1nyi−y2=9.4n 2n×254n5=4.7× 5×127127≈4.7×25127≈0.93>0.9，
所以电动汽车销量y与年份x的线性相关性的较强．
(2)
零假设H0：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：K2=9039×15−30×6245×45×69×21≈5.031>3.841，
依据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(3)
按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有7×66+15=2人，女性有5人，
则X的可能值为0,1,2，P(X=0)=C53C73=27,P(X=1)=C21C52C73=47,P(X=1)=C22C51C73=17，
所以X的分布列为：
X的数学期望E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
【解析】(1)根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答．
(2)根据给定的列联表求出K2的观测值，再与临界值表比对作答．
(3)利用分层抽样求出男女性人数，再求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答．
19.(1)
由题意可知f′x=x−a+1ex−1，由f′x=0得x−a+1ex−1=0，
即x−a+1−e−x=0，
令ℎx=x−a+1−e−x，易知y=ℎx在R上单调递增，
又ℎa−1=−e−a−1=−1ea−1<0，
若a≥0，由于a+1>a−1且ℎa+1=2−1ea+1>0；
若a<0，由于−a>a−1且ℎ−a=1−2a−1e−a=1−1e−a−2a>0；
所以在−∞,+∞上存在唯一零点x0，使得ℎx0=0，
即f′x在−∞,+∞上存在唯一零点x0．
(2)
①当a=2e−1e时，易求g′x=x2+2−ax+1−aex−x+1=x+1x−a+1−e−xex，
由(1)知ℎx=x−a+1−e−x单调递增，且只存在一个零点x0，
所以g′x有两个零点，分别是x0和−1，
注意到ℎ−1=−a−e≤−3e−42<0，所以x0>−1，
可得在区间−∞,−1和x0,+∞上，g′x>0，即此时gx单调递增，
在−1,x0上，g′x<0，即此时gx单调递减；
②易知g0=0，即gx的一个零点为x=0，
(i)当a∈−e,e−42时，由上可知ℎ−1=−a−e<0，即x0>−1，
此时在区间在区间−∞,−1和x0,+∞上，g′x>0，gx单调递增，
在−1,x0上，g′x<0，gx单调递减，则x0=−1时取得极大值g−1=2a+4−e2e<0，
又g2=5−2ae2−5>9−ee2>0，即此时gx的零点只一个为x=0；
(ii)当a=−e时，易知x0=−1，此时g′x≥0，则gx在R上单调递增，所以此时gx的零点只有一个为x=0；
(iii)当a<−e时，易知x0<−1，此时在区间−∞,x0和−1,+∞上，g′x<0，gx单调递增，
在x0,−1上，g′x<0，gx单调递减，
则x=x0时取得极大值，即
gx0=x02−ax0+1ex0−12x02+x0+1因为x0<−1，所以12x02+x0+1>12×−12+−1+1>0，
若x02+ex0+1≤0，则x02+ex0+1ex0−12x02+x0+1<0，
若x02+ex0+1>0，则x02+ex0+1ex0−12x02+x0+1所以gx0<0，同上此时gx的零点只有一个为x=0．
综上所述：gx的零点只有一个为x=0．
【解析】(1)对原函数求导，然后构造函数ℎx=x−a+1−e−x，利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；
(2)①先求原函数的导函数，构造函数ℎx=x−a+1−e−x，利用其单调性及ℎ−1<0，得出x0>−1，从而判定单调区间；②利用(1)和①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可．性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
PK2≥k0
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
27
47
17