专题05 公式法与因式分解（原卷版讲义）

这是一份专题05 公式法与因式分解（原卷版讲义），共16页。试卷主要包含了完全平方公式，几个特征，几何背景，完全平方式的定义等内容，欢迎下载使用。

知识点1：完全平方公式
1.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
2.几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
3.几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
4.完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
知识点2：平方差公式
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3.平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
知识点3：因式分解
1.分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2.因式分解与整式乘法的关系：它们是相反方向的变形，即互逆运算.
知识点4：因式分解-提公因式法
1.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2.口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
知识点5：因式分解-公式法
1.平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2.特征：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
注意：要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
知识点6：因式分解-分组分解法
1.定义：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2.常见两种形式：①二二分法，②三一分法．
知识点7：因式分解-十字相乘法
1.定义：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
2.特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
题型归纳
【题型1 完全平方公式】

1．（2023春•瑶海区期中）若，那么等于
A．B．C．0D．
2．（2024春•庐阳区校级期中）已知，则的值为
A．19B．18C．23D．24
3．（2024春•瑶海区校级期中）已知，则的值是
A．4B．11C．15D．22
4．（2024春•庐阳区校级期中）已知：，，试求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【题型2 完全平方公式的几何背景】
5．（2024春•蜀山区校级期中）有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和15，则正方形，的边长之和为
A．5B．6C．5或6D．无法确定
6．（2024春•蜀山区校级期中）如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为，同时此图形中四个半圆面积之和为，则长方形的面积为
A．10B．20C．40D．80
7．（2023春•泗县期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出，，之间的等量关系 ．
8．（2024春•埇桥区期中）如图是宿州市希尔顿大酒店的一间办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含、的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
（2）如果，，会议厅比会客室大多少平方米？
【题型3 完全平方式】
9．（2024春•安庆期中）下列多项式中，完全平方式是
A．B．C．D．
10．（2024春•大观区校级期中）如果是一个完全平方式，则的值是
A．B．4C．D．8
11．（2024春•蜀山区校级期中）如果是完全平方式，那么的值是
A．8B．4C．D．
12．（2024春•埇桥区校级期中）若是一个完全平方式，则的值为 ．
【题型4 平方差公式】
13．（2024春•包河区期中）下列不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
14．（2024春•长丰县期中）下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是
A．B．
C．D．
15．（2024春•包河区期中）如果，那么的值为 ．
16．（2024春•泗县期中）已知：，，则 ．
17．（2023春•淮北期中）观察下列等式：
①；
②；
③；
利用你发现的规律解决下列问题：
（1）猜想： ；
（2）若，则代数式 ．
【题型5 平方差公式的几何背景】
18．（2024春•蜀山区校级期中）如图，点、、在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积是
A．12B．18C．24D．32
19．（2023春•包河区期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式
A．B．
C．D．
20．（2023春•涡阳县期中）如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是
A．B．
C．D．
21．（2023春•裕安区校级期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式
A．B．
C．D．
【题型6 因式分解的意义】
22．（2022春•包河区期末）下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是
A．B．
C．D．
23．（2022春•肥东县期末）若多项式能因式分解成，则等于
A．B．C．12D．6
24．（2023春•潜山市期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【题型7 因式分解-提公因式法】
25．（2023春•宣城期末）计算结果是
A．B．C．D．
26．（2023春•阜南县校级期末）分解因式： ．
27．（2024•肥东县校级模拟）因式分解： ．
【题型8 因式分解-运用公式法】
28．（2024春•安庆期中）若，则
A．12B．10C．8D．6
29．（2023春•庐阳区校级期末）已知，则的值是
A．2B．6C．4D．8
30．（2023•合肥模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
31．（2023春•东至县期末）分解因式：．
【题型9 提取公因式法与公式法的综合运用】
32．（2023春•金安区校级期末）因式分解： ．
33．（2023春•裕安区校级期中）分解因式： ．
34．（2023春•亳州期末）分解因式： ．
35．（2023春•长丰县期末）因式分解： ．
【题型10 因式分解-分组分解法】
36．（2023春•金安区校级期末）因式分解： ．
37．（2022春•怀宁县期中）分解因式：
①；
②．
38．（2022春•定远县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若，都是正整数且满足，求的值；
（2）若，为实数且满足，，求的最小值．
【题型11 因式分解-十字相乘法】
39．（2023春•肥西县期末）下列因式分解错误的是
A．B．
C．D．
40．（2023春•淮北期中）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
41．（2023春•蚌埠期末）下列各式的因式分解正确的是
A．B．
C．D．
42．（2023春•定远县校级期中）若，则常数的值是 ．
43．若，则 ．
44．因式分解： ．
【题型12 因式分解的应用】
45．（2023春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如，，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为
A．160B．164C．168D．177
46．（2024春•蜀山区校级期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美小西数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“完美小西数”．
（1）最大的两位数的完美小西数是 ．
（2）介于50到101之间所有“完美小西数”之和为 ．
47．（2023春•砀山县校级期中）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“开心智慧数”．比如：，则1就是“开心智慧数”； ，则5就是“开心智慧数”．
（1）从0开始第10个智慧数是 ；
（2）不大于2024的智慧数共有 个．
48．（2024春•庐阳区校级期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
（1）【验证】 ；
（2）【证明】设两个正整数为、，请验证“发现”中的结论正确；
（3）【拓展】请说明当两个正整数、同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
49．（2024春•庐阳区校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：．
（1）由图2可以得到： ；
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数，，满足，，则的值为 ；
②若实数，，满足，，求的值．
过关检测
1．（2024•蜀山区校级三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
2．（2024•天长市三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
3．（2024春•埇桥区校级月考）下列多项式中，可以用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
4．（2024春•贵池区校级月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为
A．3B．19C．21D．28
5．（2024•庐阳区校级三模）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
6．（2022春•蜀山区校级期中）若，，则的值为
A．B．5C．D．4
7．（2023春•宿州月考）已知是完全平方式，则的值为 ．
8．（2024春•萧县月考）已知，，那么 ．
9．（2023春•泗县期中）因式分解： ．
10．（2024春•庐阳区校级期中）因式分解： ．
11．（2024•庐阳区校级三模）计算：．
12．（2024春•砀山县月考）已知，，求的值．
13．（2024春•萧县月考）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2阴影部分面积为 ；并请直接写出三个代数式，，之间的等量关系 ；
（2）解决问题：
①若满足，求的值；
②已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形．求阴影部分的面积．
14．（2024春•泗县期中）如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图②所示的长方形．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（填序号）
①；②；③．
（2）根据（1）中的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：．
满分技法
用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可.
满分技法
解决这类问题的关键是利用数形结合思想，建立图形与算式的对应关系，通过运用完全平方公式计算说明理由.
满分技法
用完全平方公式的应用一般有下面几种变形:
满分技法
平方差公式的应用一般有下面几种变形:
（1）位置变化:
（2）符号变化:
（3）系数变化:
（4）指数变化:
（5）增项变化:
（6）增因式变化:
（7）连用公式变化:
满分技法
解决这类问题的关键是利用数形结合思想，建立图形与算式的对应关系，通过运用平方差公式计算说明理由.
满分技法
判断一个式子的恒等变形是否为因式分解的方法:一看形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式;二看类型，等号左右两边都是整式;三看结果,结果分解彻底.
满分技法
(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“-”号,同时多项式中的各项都变号.
(2)如果多项式中,某些项的系数为小数(或分数)那么一般要提取小数(或分数)，使多项式的各项的系数为整数.
(3)当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项式作为一个整体,提取公因式时比较简便.
(4)要检验分解因式的结果是否正确,可以用整式的乘法进行验证.
满分技法
分解因式的两步骤、一注意
两步骤:
(1)看公因式，如果有公因式，那么要先提取公因式.
(2)看能否用公式，如果有两项，考虑平方差公式;如果有三项，考虑两数和(或差)的完全平方公式.
一注意:
分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
满分技法
(1)解题时要遵循“一提、二套、三检查”的原则,先考虑提公因式法，再考虑公式法，最后检查分解是否彻底.
(2)对不能直接运用提公因式法和公式法的含有乘积形式的多项式，不妨先运用乘法公式展开，合并同类项后，再选择合适的方法分解.
满分技法
如果多项式有三项以上，且整体没有公因式，那么可考虑分组分解,分组应满足各组有公因式或符合公式特征，且各组之间有公因式或符合公式特征,如果分解成的几个因式中有相同的因式，一定要写成幂的形式.
满分技法
1.用十字相乘法分解的多项式的特征
（1）必须是一个二次三项式;
（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式=
2.用十字相乘法分解因式的符号规律
（1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同;
（2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大;
（3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项.
满分技法
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．