山东省淄博市桓台县（五四制）2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省淄博市桓台县（五四制）2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，第二、三题必须用0，不按以上要求作答的答案无效．， 计算的结果等于等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟）
本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码．
2.第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3.第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．
4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5.不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 化简等于（）
A. 2B. C. D.
答案：A
解析：
解：，
故选：A．
2. 如图，，若，则的度数为（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解：如图所示：
故选：C
3. 2023年淄博市经济运行回升向好．全年全市生产总值约为4561亿元．按不变价格计算，比上年增长．将4561亿用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解：亿，
故选：B
4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解：棱柱主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
5. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（）
A. B. C. 2D.
答案：B
解析：
解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 如图，的直径与弦交于点，且．若弧的度数为，则弧的度数为（）
A. 50°B. 60°C. 75°D. 85°
答案：B
解析：
解：连接，如图所示：
弧的度数为
，
，
，
，
，
，
，
则弧的度数为，
故选：B
7. 计算的结果等于（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解：
；
故选：C．
8. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故选B．
9. 关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＞﹣1C. k＜1D. k＜﹣1
答案：B
解析：
解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．
11. 分解因式：______．
答案：
解析：
解：原式
．
故答案为：．
12. 若实数、分别满足，，且，则___．
答案：
解析：
设，依题，满足方程，是这个方程的两根，
∴，，
∵；
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
答案：
解析：
解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
14. 如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是________．
答案：
解析：
解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为______________．
答案：4
解析：
解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，
∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：.
（2）解不等式组：
答案：4，
解析：
解：（1）
，
（2）
解①得：
解②得：，
则不等式的解集为：，
17. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．
答案：详见解析
解析：
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
答案：（1）k=12，C（0，9）；（2）4
解析：
解：（1）把点代入，，
反比例函数的解析式为，
将点向右平移2个单位，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
，
当时，，
；
（2）由（1）知，
．
19. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
答案：（1）登山缆车上升的高度；
（2）从山底A处到达山顶处大约需要.
解析：
【小问1】
解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
【小问2】
解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
答案：（1）60（2）见解析
（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）所选2人恰好是一男一女的概率为．
解析：
【小问1】
解：（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
【小问2】
解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
【小问3】
解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
【小问4】
解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
21. 某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
答案：（1）4万元（2）
（3）当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
解析：
【小问1】
解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
【小问2】
∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
【小问3】
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
22. 如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
答案：（1）见解析（2）见解析
（3）
解析：
【小问1】
证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴
即
在和中
，
∴，
∴；
【小问2】
证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴垂直平分，
∴
又∵，
∴，
∴,
∴在的垂直平分线上，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴垂直平分
∴，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
在与中，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问3】
解：依题意，如图所示，延长交于点，
由（2）可知等边三角形，
∴
∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
由（2）可知是的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴，
又，
∴，
∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
∴，
∴，
∴．
23. 如图1，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，连接，点为上方抛物线上的一个动点，过点作于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）是定值，8
解析：
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法函数的解析式，等腰直角三角形的性质、根和系数的关系等，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程，掌握等腰直角三角形的性质、根和系数的关系等．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求的解析式，设，过点D作轴交直线于点F，则F的坐标是，用含t的代数式表示的长度，证明是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（3）由翻折抛物线的解析式为，可得求出直线的表达式为：，得到，同理可得，即可求解．
【小问1】
解：由题意得，抛物线的表达式为：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2】
解：过点D作轴交直线于点F，
当时，，
点C的坐标为．
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
当最大时，线段有最大值，
设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
直线的解析式为．
设点，则点F的坐标是
当时，线段的最大值为，
线段的最大值为，
【小问3】
解：是定值，理由如下：
将抛物线：沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，
抛物线：，顶点，
直线过点，故设直线表达式为：，
设，，
联立和并整理得：，
则，
直线经过点可设直线的表达式为：，
直线又经过点，
把代入解析式解得：
直线的表达式为：，
令，则，
，
，
同理，