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华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(四)用乘法公式解决三类问题课件
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这是一份华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(四)用乘法公式解决三类问题课件，共18页。
专项素养综合全练(四)用乘法公式解决三类问题类型一 巧用乘法公式解决整除问题1.对于任意的正整数m,多项式(4m+5)2-9都能被 整 除.横线上应填 ( )A.8 B.m C.m-1 D.2m-1A解析 (4m+5)2-9=(4m+5-3)(4m+5+3)=(4m+2)·(4m+8)=2(2m+ 1)·4(m+2)=8(2m+1)(m+2).∴原式可以被8整除.故选A.2.发现:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整 除;验证:(1)92-62的结果是3的几倍?(2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整 除.延伸:(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差的值,被6除的 余数是几呢?请说明理由.解析 (1)∵92-62=45,45÷3=15,∴92-62的结果是3的15倍.(2)由题意得,偶数为2n,比它大3的数为(2n+3),∴(2n+3)2-(2n)2=4n2+12n+9-4n2=12n+9=3(4n+3).∵4n+3为整数,∴3(4n+3)能被3整除.(3)余数为3.理由:设这个数为n,比n大3的数为n+3,(n+3)2-n2=n 2+6n+9-n2=6n+9=6(n+1)+3.∴6(n+1)+3被6除的余数为3.类型二 巧用乘法公式解决规律问题3.观察下列等式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……,这些 等式反映正整数间的某种规律,设n(n≥1)表示自然数,用关 于n的等式表示这个规律为 ( )A.(n+1)2-n2=2n+1B.(2n+1)2-n2=(3n+1)(n+1)C.(n+2)2-n2=4(n+1)D.(n+2)2-n2=2n+2C 解析 9-1=32-12=8=4×2;16-4=42-22=12=4×3;25-9=52-32=16=4×4;36-16=62-42=20=4×5,……依此类推,(n+2)2-n2=4(n+1).故选C.4.(新考向·规律探究试题)(2023浙江嘉兴、舟山中考)观察下 面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,……(1)写出192-172的结果.(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示, n为正整数).(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.解析 (1)8×9.(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n.(3)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.∴结论正确.5.(新考向·教材拓展探究试题)同学们还记得吗?下图是华东 师大版八年级上数学教材第37页“阅读材料”中我们研究 过的图形,受这个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下问 题,请你回答: (1)(a+b)5的展开式共有 项;(a+b)6的第三项的系数是 .(2)计算与猜想:①计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1;②猜想:(2x-1)6的展开式中含x3项的系数是 .(3)运用:若今天是星期五,过7天仍是星期五,那么再过86天是 星期 .615-160六解析 (1)6;15.(2)①25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=1.②(2x-1)6=(2x)6-6×(2x)5+15×(2x)4-20×(2x)3+15×(2x)2-6×2x+1, ∴含x3项的系数为-20×23=-160,故答案为-160.(3)86=(7+1)6=76+6×75+15×74+20×73+15×72+6×7+1,∴再过86天 是星期六.故答案为六.6.(2024吉林舒兰期末)有一系列等式:1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2;2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2;3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2;4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2;……(1)根据你发现的规律,写出8×9×10×11+1的结果: .(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证 明.892解析 (1)8×9×10×11+1=(82+3×8+1)2=892.故答案为892.(2)猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.证明如下:等式左边=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等式右边=(n2+1)2+2·3n·(n2+1)+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+ 6n3+11n2+6n+1,∴左边=右边.∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.类型三 巧用乘法公式解决最值问题7.a2(a2-1)-a2+1的值 ( )A.不是负数 B.恒为正数C.恒为负数 D.不等于0A解析 ∵a2(a2-1)-a2+1=a2(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)·(a2-1)=(a2-1)2≥0, ∴a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A.8.(2024河南周口太康期中)阅读理解:①32+42>2×3×4;②32+32=2×3×3;③(-2)2+42>2×(-2)×4;④(-5)2+(-5)2=2×(-5)×(-5).(1)观察以上各式,你发现它们有什么规律吗?请用含有a、b 的式子表示上述规律.(2)运用你所学的知识证明你发现的规律.(3)已知a+b=4,求ab的最大值.解析 (1)规律:如果a、b是两个实数,则有a2+b2≥2ab.(2)证明:∵(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab.(3)∵a2+b2≥2ab,∴(a+b)2-2ab≥2ab,∴(a+b)2≥4ab,∴ab≤ (a+b)2,∵a+b=4,∴ab≤ ×16=4.故ab的最大值是4.9.(新考向·阅读理解试题)先阅读下面的内容,再解答问题.例题:求多项式m2+2mn+n2+4的最小值.解:m2+2mn+n2+4=(m2+2mn+n2)+4=(m+n)2+4,∵(m+n)2≥0,∴(m+n)2+4≥4,∴多项式m2+2mn+n2+4的最小值是4.(1)例题的解答过程中把一个二次三项式转化为一个二项式 的平方运用的公式是 .(2)求多项式-2x2+4xy-2y2+30的最大值.完全平方公式解析 (1)完全平方公式.(2)原式=-2(x2-2xy+y2)+30=-2(x-y)2+30,∵-2(x-y)2≤0,∴-2(x-y)2 +30≤30,即多项式-2x2+4xy-2y2+30的最大值为30.
专项素养综合全练(四)用乘法公式解决三类问题类型一 巧用乘法公式解决整除问题1.对于任意的正整数m,多项式(4m+5)2-9都能被 整 除.横线上应填 ( )A.8 B.m C.m-1 D.2m-1A解析 (4m+5)2-9=(4m+5-3)(4m+5+3)=(4m+2)·(4m+8)=2(2m+ 1)·4(m+2)=8(2m+1)(m+2).∴原式可以被8整除.故选A.2.发现:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整 除;验证:(1)92-62的结果是3的几倍?(2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整 除.延伸:(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差的值,被6除的 余数是几呢?请说明理由.解析 (1)∵92-62=45,45÷3=15,∴92-62的结果是3的15倍.(2)由题意得,偶数为2n,比它大3的数为(2n+3),∴(2n+3)2-(2n)2=4n2+12n+9-4n2=12n+9=3(4n+3).∵4n+3为整数,∴3(4n+3)能被3整除.(3)余数为3.理由:设这个数为n,比n大3的数为n+3,(n+3)2-n2=n 2+6n+9-n2=6n+9=6(n+1)+3.∴6(n+1)+3被6除的余数为3.类型二 巧用乘法公式解决规律问题3.观察下列等式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……,这些 等式反映正整数间的某种规律,设n(n≥1)表示自然数,用关 于n的等式表示这个规律为 ( )A.(n+1)2-n2=2n+1B.(2n+1)2-n2=(3n+1)(n+1)C.(n+2)2-n2=4(n+1)D.(n+2)2-n2=2n+2C 解析 9-1=32-12=8=4×2;16-4=42-22=12=4×3;25-9=52-32=16=4×4;36-16=62-42=20=4×5,……依此类推,(n+2)2-n2=4(n+1).故选C.4.(新考向·规律探究试题)(2023浙江嘉兴、舟山中考)观察下 面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,……(1)写出192-172的结果.(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示, n为正整数).(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.解析 (1)8×9.(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n.(3)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.∴结论正确.5.(新考向·教材拓展探究试题)同学们还记得吗?下图是华东 师大版八年级上数学教材第37页“阅读材料”中我们研究 过的图形,受这个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下问 题,请你回答: (1)(a+b)5的展开式共有 项;(a+b)6的第三项的系数是 .(2)计算与猜想:①计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1;②猜想:(2x-1)6的展开式中含x3项的系数是 .(3)运用:若今天是星期五,过7天仍是星期五,那么再过86天是 星期 .615-160六解析 (1)6;15.(2)①25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=1.②(2x-1)6=(2x)6-6×(2x)5+15×(2x)4-20×(2x)3+15×(2x)2-6×2x+1, ∴含x3项的系数为-20×23=-160,故答案为-160.(3)86=(7+1)6=76+6×75+15×74+20×73+15×72+6×7+1,∴再过86天 是星期六.故答案为六.6.(2024吉林舒兰期末)有一系列等式:1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2;2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2;3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2;4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2;……(1)根据你发现的规律,写出8×9×10×11+1的结果: .(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证 明.892解析 (1)8×9×10×11+1=(82+3×8+1)2=892.故答案为892.(2)猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.证明如下:等式左边=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等式右边=(n2+1)2+2·3n·(n2+1)+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+ 6n3+11n2+6n+1,∴左边=右边.∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.类型三 巧用乘法公式解决最值问题7.a2(a2-1)-a2+1的值 ( )A.不是负数 B.恒为正数C.恒为负数 D.不等于0A解析 ∵a2(a2-1)-a2+1=a2(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)·(a2-1)=(a2-1)2≥0, ∴a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A.8.(2024河南周口太康期中)阅读理解:①32+42>2×3×4;②32+32=2×3×3;③(-2)2+42>2×(-2)×4;④(-5)2+(-5)2=2×(-5)×(-5).(1)观察以上各式,你发现它们有什么规律吗?请用含有a、b 的式子表示上述规律.(2)运用你所学的知识证明你发现的规律.(3)已知a+b=4,求ab的最大值.解析 (1)规律:如果a、b是两个实数,则有a2+b2≥2ab.(2)证明:∵(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab.(3)∵a2+b2≥2ab,∴(a+b)2-2ab≥2ab,∴(a+b)2≥4ab,∴ab≤ (a+b)2,∵a+b=4,∴ab≤ ×16=4.故ab的最大值是4.9.(新考向·阅读理解试题)先阅读下面的内容,再解答问题.例题:求多项式m2+2mn+n2+4的最小值.解:m2+2mn+n2+4=(m2+2mn+n2)+4=(m+n)2+4,∵(m+n)2≥0,∴(m+n)2+4≥4,∴多项式m2+2mn+n2+4的最小值是4.(1)例题的解答过程中把一个二次三项式转化为一个二项式 的平方运用的公式是 .(2)求多项式-2x2+4xy-2y2+30的最大值.完全平方公式解析 (1)完全平方公式.(2)原式=-2(x2-2xy+y2)+30=-2(x-y)2+30,∵-2(x-y)2≤0,∴-2(x-y)2 +30≤30,即多项式-2x2+4xy-2y2+30的最大值为30.
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