初中第12章 整式的乘除综合与测试单元测试测试题

华师大版初中数学八年级上册第十二章《整式的乘除》单元测试卷 

考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，，则等于       (    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在关于，的二元一次方程组的下列说法中，正确的是(    )
   当时，方程的两根互为相反数；当且仅当时，解得与相等；，满足关系式；若，则．

A.  B.  C.  D.

4. 下列有四个结论，其中正确的是(    )
   若，则只能是；
   若的运算结果中不含项，则
   若，，则
   若，，则可表示为

A.  B.  C.  D.

5. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
   例如：
   
   
   
   
   
   
   请你猜想的展开式中所有系数的和是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果与的乘积不含的一次项，那么实数的值为．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：若@，则或；@@@不存在实数，，满足@；设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大其中正确的是        (    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，则可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知，，为的三边长，且，则的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若，则          ．
14. 我们知道下面的结论，若，且，则，利用这个结论解决下列问题：设，，，现给出、、三者之间的三个关系式：，，，其中正确的是________填编号
15. 已知，则________．
16. 如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如果，那么我们规定例如：因为，所以．

理解根据上述规定，填空：          ，            

说理记，，，试说明：

应用若，求的值．

18. 著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．
    实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．
    【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式．
    ______；
    【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．
    例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．
    解：原式
    【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：
    将代数式改成两个整数平方之和的形式其中、、、均为整数，并给出详细的推导过程
19. 欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为．
    式子中的、的值各是多少？
    请计算出原题的正确答案．
20. 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图可得到．
    
    
    
    写出由图所表示的数学等式：___________________；写出由图所表示的数学等式：_____________________；
    利用上述结论，解决下面问题：已知，，求的值．
21. 化简下列各式
      
    
    先化简再求值其中
22. 已知：，为正整数，能被整除．求证：也能被整除．
23. 杰杰在做练习册上的一道多项式除以单项式的计算题时，一不小心，一滴墨水污染了这道题，只看见被除式中第一项是，中间是“”被污染后的式子如下：，杰杰翻看了书后的答案，是“”，你能够复原这个式子吗请你试一试．
24. 对、定义一种新运算“”，规定：其中、均为非零常数，等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．
    已知，．
    求、的值；
    若关于的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围．
    若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，，结论“”都成立，试探索、所应满足的关系式．
25. 定义新运算：．

例如：，．

计算；计算；

已知，，说明：的值与无关；

已知，记，，试比较，的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘法则，考查学生灵活运用公式的能力．
由题意可知：，，然后利用，从而求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，，
，
，
，
，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，原式错误，符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除逐一判断可得．
本题主要考查幂的运算和合并同类项法则，熟练掌握幂的运算法则和合并同类项的法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
把代入中，得：，
把代入中，得：，
原方程组的解为．
方程的两根互为相反数，
，
即，
解得：，
正确；
当与相等时，，
即，
解得：，
正确；
在原方程中，我们消去，得到，的关系，
得：，
正确；
，
，
，
，
，
将方程组的解代入得：，
解得：，
正确．
综上所述，都正确．
故选：．
用代入消元法先求出方程组的解，根据互为相反数的两个数的和为，列出方程，求出即可判断；根据列出方程，求出即可判断；在原方程中，我们消去，即可得到，的关系；把底数统一化成，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到，的方程，把方程组的解代入求出．
本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了零次幂、多项式乘法、完全平方公式等基本内容，选择题恰当选用排除法，可使得问题简化．根据不等于的数的零次幂也为，可判断是否正确；再用排除法判断和C错误，然后只需判断是否正确即可．
【解答】
解：若，则可以为，此时，故错误，从而排除选项A和；
由于选项B和均含有，故只需考查

，故错误．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得为非负整数展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
本题考查了完全平方公式、展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．
【解答】
解：，展开式共有项，系数和，
，展开式共有项，系数和，

展开式共有项，系数和为．
的展开式中所有系数的和是：
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可．
【解答】
解：根据题意得：，
与的乘积中不含的一次项，
．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：@
，
整理得：，即，
解得：或，正确；
@


@@

，
@@@正确；
@，@，
令，
，即
解得，，，故错误；
@，
，则，即，
，
的最大值是，此时，
解得，，
@最大时，，故正确，
故选C．
根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、完全平方公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式的运用，解答本题的关键是掌握利用完全平方公式对等式进行变形的思路与方法；首先根据得出，根据得出，然后将等式的两边同时平方，利用完全平方公式将括号去掉，再将的值代入，即可求解．
【解答】
解：由可得，由可得，
将等式的两边同时平方，得，
，
又，
，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：法一：，
，
又由，，，
得，
同理得：，，
所以原式．
故选B．

法二：，
，
，
，
．
故选：．
已知条件中的几个式子有中间变量，三个式子消去即可得到：，，，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．根据整式的除法法则即可求出答案．
【解答】
解：原式
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多项式除以单项式、多项式乘以多项式的法则以及单项式乘以单项式法则，掌握多项式除以单项式、多项式乘以多项式法则以及单项式乘以单项式法则是解决此题的关键，根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则，单项式乘以单项式法则逐一检验即可．
【解答】
解：，故错误；
B.，故错误；
C.，故正确；
D.，故错误；
故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理将题中所给的等式移项并进行因式分解，化简，再根据勾股定理的逆定理，判断三条边、、之间的关系，即可得出本题答案掌握因式分解以及勾股定理是本题的关键，对题中式子进行因式分解，化简，利用勾股定理逆定理即可．

【解答】

解：，

，
，
，
，
或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了幂的乘方及积的乘方运算性质的应用，根据幂的乘方的运算性质可得，，由此可得，再根据积的乘方的运算性质进行运算即可．
【解答】
解：，
，
则，
或，
或，
或．
故答案为或．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型根据同底数幂的乘法公式即可求出、、的关系．
【解答】
解：因为，
所以，，
因为，
所以，
，故此结论正确；
，故此结论正确；


，故此结论错误；
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了了求代数式的值，整体代入和完全平方式的变形。由已知可得： ，  ，将要求的式子变形为   的形式整体代入即可。
【解答】
解： ，
， ，
，
原式   


，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
将两边平方，利用完全平方公式展开，将的值代入求出的值，即为两正方形的面积之和；由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积．此题考查了整式的混合运算，以及化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：将两边平方得：，
将代入得：，即，
则两个正方形面积之和为；
如图：

△BFG
​

．
故答案为．  

17.【答案】．
因为，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
设，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以． 

【解析】略
 

18.【答案】 

【解析】解：【动手一试】，
故答案为：；
【解决问题】，
证明：


．
【动手一试】根据题目中的式子可以写出相应的式子；
【解决问题】根据题目中的无中生有，可以证明结论成立．
本题考查分式的混合运算、数学常识、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并证明．
 

19.【答案】解：根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的的符号，得到的结果为，
那么，
可得
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，
可知
即，
可得，
解关于的方程组，可得，；
正确的式子：
 

【解析】根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的符号，得出；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的的系数，得到，解关于的方程组即可求出、的值；
把、的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
 

20.【答案】解：由图可得正方形的面积为：，
故答案为：
由图可得阴影部分的面积是：，
即：，
故答案为：
，，
由可得：． 

【解析】运用几何直观理解、通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式然后再通过化简可得．
可利用所得的结果进行等式变换直接带入求得结果．
本题主要是在完全平方公式的几何背景图形的基础上，利用其解题思路求得结果．
 

21.【答案】解：原式

；
原式


原式
；
原式

，
把，代入原式

． 

【解析】此题主要考查单项式乘单项式，整式的混合运算，整式的化简求值按照单项式乘单项式，整式的混合运算，整式的化简求值的计算法则进行计算即可．
首先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，然后根据同底数幂乘法的计算法则进行计算即可；
首先根据单项式乘多项式的计算法则进行计算，然后计算多项式除单项式即可解答；
首先计算括号，然后合并同类项即可；
首先根据整式混合运算的计算法则进行计算，然后把，的值代入计算即可．
 

22.【答案】解：能被整除，
可设为整数
，

，
为整数，
也能被整除． 

【解析】设为整数，用表示，再代入通过恒等变形，把化成与整数的积的形式，便可得结论．
此题是因式分解的应用，主要考查了数的整除问题，解本题的关键是把化成与整数的积的形式．
 

23.【答案】分三种情况：当答案中的是由除以除式得到时，

除式为，

所以被除式为，

所以原式为．

当答案中的是由除以除式得到时，除式为，

所以被除式为，

所以原式为

当答案中的是由除以除式得到时，除式为，

所以被除式为，

所以原式为

【解析】略
 

24.【答案】解：因为，，，
所以
解得：；
因为
所以，
，
即
解得：
因为关于的不等式组，有且只有一个整数解，
所以，
解得：，
即字母的取值范围是；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为、为任意数，
所以不一定等于，
所以，
即、所应满足的关系式是． 

【解析】本题考查了新定义问题、解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、因式分解的运用等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键．
根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可；
根据新运算得出等式，整理后即可得出答案．
 

25.【答案】解：，
；

，，

可得，
整理得 ，

得 

的值与无关。

，
，
即．

【解析】此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用题中新定义化简已知等式，确定出正整数解即可； 
利用题中新定义化简已知等式，确定出所求即可； 
利用题中新定义化简与，比较即可．