第12章 整式的乘除 华东师大版数学八年级上册复习教案

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第12章 整式的乘除
一、 知识结构幂的运算
a·a＝a a÷a＝a
（a）＝a （ab）＝ab
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
因式分解
提公因式法
公式法
单项式除以单项式

多项式除以单项式
乘法公式（a＋b）（a－b）＝a－b
（a＋b）＝a＋2ab＋b

二、 【方法指导与教材延伸】
(一)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础，其他的如：后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则：
1．同底数幂的相乘的法则是：底数不变，指数相加.即am·an＝am＋n，
幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘.即 (am)n＝am n，
积的乘方法则是：积的乘方等于乘方的积.即 (a b)n＝an b n，
同底数幂的相除的法则是：底数不变，指数相减.即am÷an＝am-n
2．其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式.
3．幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处，即运算中底数不变，但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加
4．这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幂”、“幂的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述，运用法则计算时，要注意识别是同底数幂的相乘、幂的乘方还是积的乘方，法则中各字母分别代表什么？再对照法则运算.
（二）整式的乘法
1．单项式与单项式相乘：
由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作：(1)系数相乘的积作为积的系数；(2)同字母的指数相加的和作为积中这个字母的指数；(3)只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式.
单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立.
2．单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋m b＋mc
单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同.
3．多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即(m＋n)(a＋b)＝a(m＋n)＋b(m＋n)，再用一次单项式与多项式相乘，得(m＋n)(a＋b)＝ma＋n a＋m b＋b n.
多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和.
（三）乘法公式
1．“两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征：① 公式的左边是两个二项式相乘；并且这两个二项式中有一项是完全相同的项a，另一项是相反数项b；② 公式的右边是相同项的平方a2减去相反数项的平方b2.
公式中的a和b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.
2．“两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍”.即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.要理解公式的特征：① 公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.公式的适用范围：公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算.
（四）整式的除法
整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除的法则。
1、单项式除以单项式的一般步骤是：将单项式的系数相除作为商的系数，同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母连同它的指数一起作为商的因式。
2、多项式除以单项式应转化为单项式除以单项式，运算时要注意确定商的符号和杜绝漏项现象。
(五) 因式分解
因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．
1.在运用提取公因式法分解因式时，系数要取多项式的各项系数的最大公约数；字母要取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；
2．多项式的第一项系数是负数时，一般要提出 “－”号，使括号的第一项是正的， 在提出“－”号时，多项式的各项都变号.
3.在因式分解时一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
③如果用上述方法都不能分解，那么可以用分组分解法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
【例题选讲】
例1、计算下列各式：
(1) (－2)2·(－2)3 ； (2) a2·a4·a3 ；
(3) x5·x·(－x)3 ； (4) (a＋b－c)2·(c－a－b)3
(5) 100·10n＋1·10n－1 ；(6) (x＋2)n－1·(2＋x)n＋1－(x＋2)2n
解：(1) (－2)2·(－2)3＝(－2)2＋3＝(－2)5＝－32 ；
(2) a2·a4·a3＝a6·a3＝a9
(3) x5·x·(－x)3＝－x5·x·x3＝－x5＋1＋3＝－x9 ；
(4) (a＋b－c)2·(c－a－b)3＝(a＋b－c)2·[－(a＋b－c)]3＝－(a＋b－c)5
(5) 100·10n＋1·10n－1＝102·10n＋1·10n－1＝102n＋2
(6) (x＋2)n－1·(2＋x)n＋1－(x＋2)2n＝(x＋2)2n－(x＋2)2n＝0
解题方法：熟记公式是解这类题的前提，当题中幂的底数不同时，必须利用乘法和乘方的意义变形，化成同底数幂；当题目中有加、减、乘混合运算时，应计算同底数幂的乘法，然后再合并同类项.
例2、计算下列各式：
(1) [(－2)2]6 ；(2) [(x＋y)3]4 ；(3) (a4n)n－1 ；
(4) －(y4)2·(y2)3 ；
(5) (－a3)2＋(－a2)3－(－a2)·(－a)4 ；
(6) x3·x2·x4＋(－x4)2＋4(－x2)4
解：(1) [(－2)2]6＝(－2)2 × 6＝(－2)12＝212 ；
(2) [(x＋y)3]4＝(x＋y)3×4＝(x＋y)12
(3) (a4n)n－1＝a4n(n－1)＝ ；
(4) －(y4)2·(y2)3＝－y8·y6＝－y14
(5) (－a3)2＋(－a2)3－(－a2)·(－a)4＝a6－a6＋a2·a4＝a6－a6＋a6＝a6
(6) x3·x2·x4＋(－x4)2＋4(－x2)4＝x9＋x8+4x8＝x9+5x8
例3、计算下列各式：
(1) (－3a4)3 ；(2) (a2b3)m ；(3) [(x＋y)(x－y)]5 ；
(4) (x m＋2·y 2n－1)2 ；
(5) (－0.125)8×225 ；(6) (1990)n·()n＋1 ；
解：(1) (－3a4)3＝(－3)3·(a4)3＝－27a12 ；(2) (a2b3)m＝(a2)m·(b3)m＝a2m·b3m ；
(3) [(x＋y)(x－y)]5＝(x＋y)5(x－y)5；
(4) (xm＋2·y2n－1)2＝(xm＋2)2·(y2n－1)2＝x2m＋4y4n－2
(5) (－0.125)8×225＝(0.53)8×225＝0.524×225＝0.524×224·2＝(0.5×2)24·2＝2
(6) (1990)n·()n＋1＝(1990)n·()n·()＝(1990×)n·
＝1·＝
例4、已知22x＋1＋4x＝48，求x的值.
解：∵22x＋1＋4x＝2×22x＋22x＝3×22x
且22x＋1＋4x＝48
∴3×22x＝48，∴22x＝16，∴22x＝2 4，∴2x＝4，∴x＝2.
解题方法：解这种有关指数方程的基本方法是，将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可.
例5、计算：
(1) 3x2y·(－2xy3) (2) (－5a2b3)·(－4b2c)·a2b
(3) [2(a－b)3][－3(a－b)2][－(a－b)]
(4) (－3xy)2(－x2y)3·(－yz2)2
(5) (－4xy3)(－xy)3－(x2y3)2
(6) (2xyz2)2·(－xy2z)－(－xyz)3·(5yz)(－3z)
解：(1) 3x2y·(－2xy3)＝－6x3y4
(2) (－5a2b3)·(－4b2c)·a2b＝10a4b6c
(3) [2(a－b)3][－3(a－b)2][－(a－b)]＝4(a－b)6
(4) (－3xy)2(－x2y)3·(－yz2)2
＝9x2y2·(－x6y3)·y2z4＝－x8y7z4
(5) (－4xy3)(－xy)3－(x2y3)2＝－4xy3·(－x3y3)－x4y6
＝x4y6－x4y6＝x4y6
(6) (2xyz2)2·(－xy2z)－(－xyz)3·(5yz)(－3z)
＝4x2y2z4·(－xy2z)－(－x3y3z3)·(5yz)(－3z)＝－4x3y4z5－15x3y4z5＝－19x3y4z5
例6、计算：
(1) (－2a2)·(3ab2－5ab3) (2) (－2x2y)2(－y2＋xy＋x3)
(3) xn－1(2xn－4xn＋1＋5xn＋3) (4) 2a(－ab－b2)－3ab(4a－2b)
(5) x3－2x[x－3(x－1)]
解：(1) (－2a2)·(3ab2－5ab3)＝－6a3b2＋10a3b3
(2) (－2x2y)2(－y2＋x y＋x3)＝4x4y2(－y2＋x y＋x3)
＝－x4y4＋6x5y3＋x7y2
(3) x n－1(2xn－4xn＋1＋5xn＋3)＝2x2n－1－4x2n＋5x2n＋2
(4) 2a(－a b－b2)－3ab(4a－2b)＝－2a2b－2ab2－12a2b＋6ab2
＝－14a2b＋4ab2
(5) x3－2x[x－3(x－1)]＝x3－2x[x－x＋3]
＝x3－x2＋2x2－6x ＝x3＋x2－6x
例7、已知x＋y＝4，x－y＝6，
求代数式x y(y2＋y)－y2(x y＋2x)－3x y的值
解：由 解得 x＝5，y＝－1
原式＝x y3＋xy2－x y3－2xy2－3x y ＝－x y2－3x y
当x＝5，y＝－1时
原式＝－5×(－1)2－3×5×(－1)＝10
例8、计算：
(1) (3x2－2x－5)(－2x＋3)(2) (2x－y)(4x2＋2xy＋y2)
(3) (3a＋2b)2(4) (x－1)(2x－3)(3x＋1)
解：(1) (3x2－2x－5)(－2x＋3)＝－6x3＋9x2＋4x2－6x＋10x－15
＝－6x3＋13x2＋4x－15
(2) (2x－y)(4x2＋2xy＋y2)＝8x3＋4x2y＋2xy2－4x2y－2xy2－y3＝8x3－y3
(3) (3a＋2b)2＝(3a＋2b)(3a＋2b)＝9a2＋6ab＋6ab＋4b2
(4) (x－1)(2x－3)(3x＋1)＝[(x－1)(2x－3)](3x＋1)
＝(2x2－3x－2x＋3)(3x＋1)
＝(2x2－5x＋3)(3x＋1)＝6x3＋2x2－15x2－5x＋9x＋3＝6x3－13x2＋4x＋3
例9、已知(a2＋pa＋8)与(a2－3a＋q)的乘积中不含a3和a2项，求p、q的值.
分析：不含有这个项，即为此项的系数为零，又(a2＋pa＋8)与(a2－3a＋q)的乘积中的a3项是－3a3＋pa3＝(－3＋p)a3， a2项是qa2－3pa2＋8a2＝(q－3 p＋8)a2
由题意得： 得：
例10、下列计算是否正确？为什么
(1) (5x＋2y)(5x－2y)＝(5x)2－(2y)2＝25x2－4y2
(2) (－1＋3a)(－1－3a)＝(－1)2＋(3a)2＝1＋9a2
(3) (－2x－3y)(3y－2x)＝(3y)2－(2x)2＝9y2－4x2
解：第(1)题，符合两数和乘以它们的差公式的特征，且两数分别是5x与2y，可直接运用公式计算，运算结果正确.
第(2)题也符合两数和乘以它们的差公式的特征，可用公式计算，但右边的结果应是平方差，故(2)错
第(3)题(－2x－3y)(3y－2x)＝－(2x＋3y)(3y－2x)＝－(9y2－4x2)，所以(3)错.
例11、计算：
(1) (3＋x)(3－x)(2) (x2－y3)(x2＋y3)(3) (a3b5＋c3d4)(c3d4－a3b5)
(4) (－a－3ab)(－3ab＋a)(5) (1－2x)(1＋2x)(1＋4x2)(1＋16x4)(6) 98×102
(7) (x＋y)2(x－y)2－(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(8) (3＋9a)(a－)－3(a－2)(3a＋6)
(9) x(x2＋2x)(x－2)
解：(1) (3＋x)(3－x)＝32－x2＝9－x2
(2) (x2－y3)(x2＋y3)＝(x2)2－(y3)2＝x4－y6
(3) (a3b5＋c3d4)(c3d4－a3b5)＝(c3d4)2－(a3b5)2＝c6d8－a6b10
(4) (－a－3ab)(－3ab＋a)＝(－3ab)2－a2＝9a2b2－a2
(5) (1－2x)(1＋2x)(1＋4x2)(1＋16x4)＝[12－(2x)2](1＋4x2)(1＋16x4)
＝(1－4x2)(1＋4x2)(1＋16x4)＝[1－(4x2)2](1＋16x4)＝(1－16x4)(1＋16x4)
＝1－256x8
(6) 98×102＝(100－2)(100＋2)＝1002－22＝9996
(7) (x＋y)2(x－y)2－(x－y)(x＋y)(x2＋y2)＝[(x＋y)(x－y)]2－(x2－y2)(x2＋y2)
＝(x2－y2)2－ (x4－y4)＝(x2－y2)( x2－y2)－(x4－y4)
＝x4－x2y2－x2y2＋y4－x4＋y4＝2y4－2x2y2
(8) (3＋9a)(a－)－3(a－2)(3a＋6)＝3 (1＋3a)(a－)－(3a－6)(3a＋6)
＝(3a＋1)(3a－1)－(3a－6)(3a＋6)＝9a2－1－9a2＋36＝35
例12、计算：
(1) (－0.5a－0.2)2(2) ()2(3) (am－bn)2(4) 982
(5) (1－y)2－(1＋y)(－1－y)(6) (x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2
(7) (m＋2)2(m－2)2(8) (a＋b－c)(a－b＋c)(9) (2x＋3y－z)2
解：(1) (－0.5a－0.2)2＝0.25a2＋0.2a＋0.04(2) ()2＝
(3) (am－bn)2＝a2m－2ambn＋b2n(4) 982＝(100－2)2＝1002－400＋4＝9604
(5) (1－y)2－(1＋y)(－1－y)＝1－2y＋y2＋(1＋y)2
＝1－2y＋y2＋1＋2y＋y2＝2＋2y2
(6) (x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2＝x2－4y2－x2－4xy－4y2＝－4xy－8y2
(7) (m＋2)2(m－2)2＝[(m＋2)(m－2)]2＝(m2－4)2＝m4－8m2＋16
(8) (a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－c)][a－(b－c)]
＝a2－(b－c)2＝a2－b2＋2bc－c2
(9) (2x＋3y－z)2＝[(2x＋3y)－z]2＝(2x＋3y)2－2 z (2x＋3y)＋z2
＝4x2＋12xy＋9y2－4xz－6yz＋z2
例13、已知 a＋b＝2，a b＝1 求a2＋b2、(a－b)2的值
解：由完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2得
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝22－2×1＝2
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝2－2×1＝0
例14、先化简，再求值
，其中a=-5
思路点拨：对于这个混合运算，先算乘方，再算除，后算加减，有括号的先算括号里的
原式=
=
=
=
把a=-5代入得，原式=-25+25=0
例15、对下列多项式进行因式分解：
（1）4x3y＋4x2y2＋xy3；
（2）3x3－12xy2
解：⑴原式＝＝
⑵原式＝＝3x（x+2y）（x－2y）
例16、把下列各式分解因式:
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
解：⑴原式＝＝
⑵原式＝＝
⑶原式＝
⑷原式＝＝
＝
⑸原式＝＝
＝
例17、把下列各式分解因式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴原式＝
⑵原式＝＝
⑶原式＝
＝ ＝
⑷原式＝＝＝
例18、已知:a,b,c 分别为△ABC的三条边长.求证:
证明：∵＝＝
又∵a,b,c 分别为△ABC的三条边长∴
例19、 已知：n为正整数，求证：能被30整除.
证明：＝＝15×
∵n为正整数， ＝30×，∴能被30整除.
例20、分解下列因式：
⑴ ⑵（3） （4）
解: ⑴ ∵42＝（－6）×（－7），（－6）＋（－7）＝－13，
原式＝
⑵ ∵3＝（－1）×（－3），（－1）＋（－3）＝－4
原式＝（a＋b－1）（a＋b－4）
（3）原式＝＝
（4）原式＝＝