北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定示范课课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
矩形的判定定理.（1）对角线 的平行四边形是矩形；（2）有 个角是直角的四边形是矩形.
如图，在▱ ABC D中，添加下列条件后，不能得出四边形 ABC D 是矩形的是（　D　）
【思路导航】利用矩形的判定定理进行推理，即可求解.
【解析】 A . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ DAB ＝∠ DCB . ∵∠ DAB ＋∠ DCB ＝180°，∴∠ DAB ＝90°.∴▱ ABCD 是 矩形.选项 A 正确. B . ∵ AB2＋ BC2＝ AC2，∴∠ ABC ＝90°.∴▱ ABCD 是矩形.选项 B 正确. C . ∵ AC ＝ BD ，∴▱ ABCD 是矩形.选 项 C 正确.D. ∵ AC ⊥ BD ，∴▱ ABCD 是菱形.选项D错误.故选D.
【点拨】矩形是特殊的平行四边形，特殊在：①四个角都为 直角；②对角线相等.在平行四边形的基础上满足其中一条即 为矩形.
1. 如图，在△ ABC 中，已知点D，E，F分别在 BC ， AB ， AC 上，且DE∥ AC ，DF∥ AB . 连接 A D. （1）若∠ BAC ＝90°，则四边形 A EDF是 形；
（2）若 A D是△ ABC 的角平分线，则四边形 A EDF是 形.
2. 如图，在矩形 ABC D中，点 M 为 A D边的中点，点 P 为 BC 上 一点， P E⊥ MC ， P F⊥ MB . 当 AB ， BC 满足条件 时，则四边形 P E M F为矩形.
（2022·巴中）如图，在▱ ABC D中，点E为 BC 边的中点，连接 A E并延长交D C 的延长线于点F，延长E C 至点G，使 C G＝ C E，连接DG，DE，FG.
（1）求证：△ AB E≌△F C E；（2）若 A D＝2 AB ，求证：四边形DEFG是矩形.
【思路导航】（1）推出 AB ∥ C D，从而得出∠E AB ＝∠EF C ，利用“AAS”即可判定△ AB E≌△F C E；（2）先证明四边 形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG即可得到结论.
（2）∵△ ABE ≌△ FCE ，∴ AB ＝ CF . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ DC . ∴ DC ＝ CF . 又∵ CE ＝ CG ，∴四边形 DEFG 是平行四边形.∵点 E 为 BC 的中点， CG ＝ CE ，∴ BC ＝ EG . 又∵ AD ＝ BC ＝ EG ＝2 AB ，且 DF ＝ CD ＋ CF ＝2 CD ＝2 AB ，∴ DF ＝ EG . ∴▱ DEFG 是矩形.
【点拨】矩形判定的常见思路有两种：（1）利用角证明：平行 四边形＋一个内角是直角（定义）；三个角是直角；（2）利用 对角线证明：平行四边形＋对角线相等.
（2022·十堰）如图，在▱ ABC D中， AC ， B D相交于点O，点 E，F分别是O A ，O C 的中点.
（1）求证： B E＝DF；
如图，在△ ABC 中，已知点O是 AC 边上一点，过点O作 BC 的平 行线，交∠ BCA 的平分线于点E，交外角∠ AC D的平分线于点F.
（1）求证：EO＝FO；（2）连接 A E， A F. 当点O沿 AC 移动时，四边形 A E C F是否能 成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.
【思路导航】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠O C E＝∠OE C ，∠O C F＝∠OF C ，从而得出EO＝ C O，FO＝ C O，即可得出结论；（2）先证明四边形 A E C F是平行四边形， 再由对角线相等，即可得出结论.
（1）证明：∵ EF ∥ BC ，∴∠ OEC ＝∠ BCE ，∠ OFC ＝∠ DCF . 又∵ CE 平分∠ BCO ， CF 平分∠ DCO ，∴∠ OCE ＝∠ BCE ，∠ OCF ＝∠ DCF . ∴∠ OCE ＝∠ OEC ，∠ OCF ＝∠ OFC . ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO . ∴ EO ＝ FO .
（2）解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.理 由如下：当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO . 又∵ EO ＝ FO ，∴四边形 AECF 是平行四边形.∵ FO ＝ CO ，∴ AO ＝ CO ＝ EO ＝ FO . ∴ AO ＋ CO ＝ EO ＋ FO ，即 AC ＝ EF . ∴▱ AECF 是矩形.
【点拨】（2）小题也可根据互为邻补角的角平分线所成的角为 直角，结合角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，易得△ ECF 恒为直角三角形，在此基础上，得到平行四边形特征即可.
如图，在▱ ABC D中，点E，F分别在边 A D和 BC 上，且 A E＝F C ，连接 A F， C E并延长，分别交D C ， BA 的延长线于点H，G.
（1）求证：△ AB F≌△ C DE；
（2）当△ AB F满足什么条件时，四边形 A H C G是矩形？请说 明理由.
（2）解：当△ ABF 满足∠ BAF ＝90°时，四 边形 AHCG 是矩形.理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD . ∴∠ DEC ＝∠ ECB . ∵△ ABF ≌△ CDE ，∴∠ DEC ＝∠ BFA . ∴∠ BFA ＝∠ ECB . ∴ AH ∥ CG . 又∵ AB ∥ CD ，即 AG ∥ CH ，∴四边形 AHCG 是平行四边形.∵∠ BAF ＝90°，∴∠ GAH ＝90°.∴▱ AHCG 是矩形.