初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定图文课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
矩形的判定定理.（1）对角线 的平行四边形是矩形；（2）有 个角是直角的四边形是矩形.
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
对角线相等的平行四边形是矩形
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，∴平行四边形 ABCD 是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图,在▱ABCD中,添加下列条件后,不能得出四边形 ABCD是矩形的是（　D　）
【解析】 A . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ DAB ＝∠ DCB . ∵∠ DAB ＋∠ DCB ＝180°，∴∠ DAB ＝90°.∴▱ ABCD 是矩形.选项 A 正确. B . ∵ AB2＋ BC2＝ AC2，∴∠ ABC ＝90°.∴▱ ABCD 是矩形.选项 B 正确. C . ∵ AC ＝ BD ，∴▱ ABCD 是矩形.选项 C 正确. D. ∵ AC ⊥ BD ，∴▱ ABCD 是菱形.选项D错误.故选D.
【点拨】矩形是特殊的平行四边形，特殊在：①四个角都为直角；②对角线相等.在平行四边形的基础上满足其中一条即为矩形.
1. 如图，在△ ABC 中，已知点D,E,F分别在 BC ,AB , AC 上，且DE∥AC ,DF∥AB . 连接 A D. （1）若∠ BAC ＝90°，则四边形 AEDF是 形；
（2）若 AD是△ ABC 的角平分线，则四边形 AEDF是 形.
2. 如图,在矩形 ABCD中,点 M 为 AD边的中点,点 P 为 BC 上一点,PE⊥MC , PF⊥ MB . 当 AB ,BC 满足条件 时，则四边形 PEMF为矩形.
（2022·巴中）如图，在▱ ABCD中，点E为 BC 边的中点，连接 A E并延长交DC 的延长线于点F，延长EC 至点G，使 CG＝ CE，连接DG，DE，FG.
（1）求证：△ ABE≌△FCE；（2）若 AD＝2AB ，求证:四边形DEFG是矩形.
（2）∵△ ABE ≌△ FCE ，∴ AB ＝ CF . ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ DC . ∴ DC ＝ CF . 又∵ CE ＝ CG ，∴四边形 DEFG 是平行四边形.∵点 E 为 BC 的中点， CG ＝ CE ，∴ BC ＝ EG . 又∵ AD ＝ BC ＝ EG ＝2 AB ，且 DF ＝ CD ＋ CF ＝2 CD ＝2 AB ，∴ DF ＝ EG . ∴▱ DEFG 是矩形.
【点拨】矩形判定的常见思路有两种：（1）利用角证明：平行四边形＋一个内角是直角（定义）；三个角是直角；（2）利用对角线证明：平行四边形＋对角线相等.
（2）若 AD＝2AB ，求证:四边形DEFG是矩形.
如图，在△ ABC 中，已知点O是 AC 边上一点，过点O作 BC 的平行线，交∠BCA 的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.
（1）求证：EO＝FO；（2）连接 AE， AF. 当点O沿 AC 移动时，四边形 AECF是否能成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.
（1）证明：∵ EF ∥ BC ，∴∠ OEC ＝∠ BCE ，∠ OFC ＝∠ DCF . 又∵ CE 平分∠ BCO ， CF 平分∠ DCO ，∴∠ OCE ＝∠ BCE ，∠ OCF ＝∠ DCF . ∴∠ OCE ＝∠ OEC ，∠ OCF ＝∠ OFC . ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO . ∴ EO ＝ FO .
（2）连接 AE， AF. 当点O沿 AC 移动时，四边形 AECF是否能成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.（2）解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.理由如下：当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO . 又∵ EO ＝ FO ，∴四边形 AECF 是平行四边形.∵ FO ＝ CO ，∴ AO ＝ CO ＝ EO ＝ FO . ∴ AO ＋ CO ＝ EO ＋ FO ，即 AC ＝ EF . ∴▱ AECF 是矩形.
【点拨】（2）小题也可根据互为邻补角的角平分线所成的角为直角，结合角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，易得△ ECF 恒为直角三角形，在此基础上，得到平行四边形特征即可.
如图，在▱ ABCD中，点E，F分别在边 AD和 BC 上，且 AE＝FC ，连接 AF, CE并延长，分别交DC ， BA 的延长线于点H,G.
（1）求证：△ ABF≌△ CDE；（2）当△ ABF满足什么条件时，四边形 AHCG是矩形？请说明理由.
（2）当△ ABF满足什么条件时，四边形 AHCG是矩形？请说 明理由.
（2）解：当△ ABF 满足∠ BAF ＝90°时，四边形 AHCG 是矩形.理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD . ∴∠ DEC ＝∠ ECB . ∵△ ABF ≌△ CDE ，∴∠ DEC ＝∠ BFA . ∴∠ BFA ＝∠ ECB . ∴ AH ∥ CG . 又∵ AB ∥ CD ，即 AG ∥ CH ，∴四边形 AHCG 是平行四边形.∵∠ BAF ＝90°，∴∠ GAH ＝90°.∴▱ AHCG 是矩形.