专题7.18 平面图形的认识（二）章末十四大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（学生版）

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专题7.18 平面图形的认识（二）章末十四大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1434" 【题型1 平行线在三角板中的运用】  PAGEREF _Toc1434 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2145" 【题型2 平行线在折叠中的运用】  PAGEREF _Toc2145 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29193" 【题型3 旋转使平行】  PAGEREF _Toc29193 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc10893" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】  PAGEREF _Toc10893 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32318" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】  PAGEREF _Toc32318 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12899" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc12899 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc21370" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】  PAGEREF _Toc21370 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc5653" 【题型8 平行线与动点的综合应用】  PAGEREF _Toc5653 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc335" 【题型9 利用三角形的中线求面积】  PAGEREF _Toc335 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc30831" 【题型10 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】  PAGEREF _Toc30831 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc13015" 【题型11 利用三角形的三边关系化简或证明】  PAGEREF _Toc13015 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc1460" 【题型12 与角平分线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc1460 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc8850" 【题型13 与平行线有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc8850 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc30853" 【题型14 与折叠有关的三角形角的计算问题】  PAGEREF _Toc30853 \h 22【题型1 平行线在三角板中的运用】【例1】（2023下·浙江温州·七年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．  (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．【变式1-1】（2023下·河南安阳·七年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【变式1-2】（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①∠CPD∠BPN为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．【变式1-3】（2023上·福建泉州·七年级统考期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转．(1)如图2，当边AC落在∠DAE内，①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系？试说明理由；②过点A作射线AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=14∠EAG，求∠FAG的度数；(2)设△ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与△ABC的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．【题型2 平行线在折叠中的运用】【例2】（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（　　）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【变式2-1】（2023下·福建宁德·七年级统考期末）如图，将一条长方形彩带ABCD进行两次折叠，先沿折痕MN向上折叠，再沿折痕AM向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角∠2=26°，则第一次折叠时∠1应等于 °．  【变式2-2】（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM>DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1=∠2，则∠CPM的度数为（    ）  A．74° B．72° C．70° D．68°【变式2-3】（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，△BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置．  (1)观察发现：如图①所示：∠C=60°，∠FED=45°，则∠ABF=______．(2)拓展探究：如图②，点F落在四边形ABCD的内部，探究∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并证明；(3)迁移应用：如图③，点F落在边CD的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【题型3 旋转使平行】【例3】（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．【变式3-1】（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（    ）  A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130°【变式3-2】（2023下·安徽六安·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．  【变式3-3】（2023下·河北唐山·七年级统考期中）如图（1），在三角形ABC中，，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2），使，则（ ）A． B． C．或 D．或【题型4 利用平行线求角度之间的关系】【例4】（2023下·广东广州·七年级统考期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．【变式4-1】（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）【变式4-2】（2023下·安徽·七年级统考期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线m相交于D、E两点，边BC、AB与直线n交于F、G两点． (1)将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE=46°，则∠CFG=______；(2)将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG=180°，请写出∠HFG与∠ADE之间的数量关系，并说明理由；(3)将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC=140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．【变式4-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）【问题情境】如图1，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．直接写出∠E,∠EFH,∠EGD之间的数量关系为 ．  【实践运用】如图2，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点F在直线AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求∠FMG的度数．  【拓广探索】如图3，AB∥CD，直线EG交AB于点H，交CD于点G，点P为平面内不在直线AB，CD，EG上的一点，若∠BHP=x，∠DGP=y，则∠HPG= （直接写出答案，用x，y表示）．  【题型5 利用平行线解决角度定值问题】【例5】（2023下·河南商丘·七年级统考期末）已知 AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD，AB分别交于E，F．  (1)如图（1），P在AB、CD之间，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数；(2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则∠Q∠DPB是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，∠Q∠DPB的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．【变式5-1】（2023下·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．  　　  (1)求证：AE⊥ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【变式5-2】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB-∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．【变式5-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED=60°．(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1-∠2=16°，求∠ADC的度数；②当k=________时，k∠1+∠2为定值，此时定值为________．【题型6 平行线的阅读理解类问题】【例6】（2023下·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）【注重阅读理解】阅读以下材料：已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．(1)如图1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，则∠ABE的度数为______；(2)如图2，BG平分∠ABE，GB延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【变式6-1】（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）[课题学习]：平行线的“等角转化”功能．  [阅读理解]：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B=_________，∠C=__________， 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°所以∠B+∠BAC+∠C=180°．[解题反思]：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C “凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决．[方法运用]：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图3，若∠ABC=60°，则∠BED=__________°；②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC=n°，则∠BED=________°．（用含n的代数式表示）【变式6-2】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．  解：过点A作ED∥BC，所以∠B=　　，∠C=　　，又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°．  解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知AB∥CD，求∠B+∠BPD+∠D的度数；(3)深化拓展：已知直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接PA、PD．①如图2，已知∠A=50°，∠D=140°，请直接写出∠APD的度数；②如图3，请判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由．  【变式6-3】（2023下·河南商丘·七年级永城市实验中学校考期末）阅读材料：如图1，若AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．理由：如图，过点E作EF//AB，则∠B=∠BEF．因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠D=∠DEF，所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．交流：（1）若将点E移至图2所示的位置，AB//CD，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请说明理由．探究：（2）在图3中，AB//CD，∠E+∠G、∠B+∠F+∠D又有何关系？应用：（3）在图4中，若AB//CD，又得到什么结论？请直接写出该结论．【题型7 平行线的性质在生活中的应用】【例7】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．  (1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．【变式7-1】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，则∠2= ．  【变式7-2】（2023下·七年级单元测试）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，在B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE//AB，求∠ECB的度数.【变式7-3】（2023下·广东广州·七年级统考期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，则∠BOC的度数是 °【题型8 平行线与动点的综合应用】【例8】（2023下·北京通州·七年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；(2)当时，过点G作EG的垂线．①请在图2中补全图形；②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．【变式8-1】（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；(2)如图2，求∠BCD的度数；(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．【变式8-2】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．(1)如图1，求证：；(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．【变式8-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．(1)如图，当点在右侧时，求证：；(2)如图，当点在左侧时，求证：；(3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少．【题型9 利用三角形的中线求面积】【例9】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（    ）  A．60 B．56 C．70 D．48【变式9-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式9-2】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 ．  【变式9-3】（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．  【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB=S△APC；②若BD=3DC，则S△APB:S△APC=______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；②若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=______．【题型10 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】【例10】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图，∠AOB<90°，点M在OB上，且OM=6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP=x．若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ）  A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【变式10-1】（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【变式10-2】（2023秋·安徽·七年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（    ）A．x>5 B．x<7 C．212AB+BC+AC.（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10 km，要在ΔABC内建造供水站O向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【变式11-1】（2023春·七年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【变式11-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于点D．(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系；(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系；(3)如图2，点D，E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系．【变式11-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【题型12 与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例12】（2023春·江苏苏州·七年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；(2)若∠A=α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．【变式12-1】（2023秋·河南漯河·七年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．【变式12-2】（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB= °；(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．【变式12-3】（2023秋·安徽宣城·七年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO=60°，则∠D=______°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，则∠D=______°；(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m