初中北师大版1 菱形的性质与判定同步测试题

这是一份初中北师大版1 菱形的性质与判定同步测试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．假定AB=5，AD=7，BF=6，那么四边形ABEF的面积为〔 〕
A. 48 B. 35 C. 30 D. 24
2.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，失掉△A'E'F'．设 P、P'区分是 EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为〔 〕
A. B. C. D. ﹣8
3.假定菱形 的周长是16， ∠A=60° ，那么对角线 的长度为〔 〕
A. 2 B. C. 4 D.
4.以下说法中，错误的选项是( )
A.平行四边形的对角线相互平分
B.对角线相互垂直的四边形是菱形
C.菱形的对角线相互垂直
D.对角线相互平分的四边形是平行四边形
5.如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，区分作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，那么PE＋PF等于( )
A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 0.75
6.菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，假定BE=EC，那么∠EAF=〔 〕
A. 75° B. 60° C. 50° D. 45°
7.己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描画y与x关系的图像是：( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，假定BF=12，AB=10，那么AE的长为〔 〕
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C动身沿 CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之中止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，衔接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为〔 〕
A. 20秒 B. 18秒 C. 12秒 D. 6秒
10.如图在坐标系中放置一菱形OABC，∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，延续翻转2021次，点B的落点依次为B1 ， B2 ， B3 ， …，那么B2021的坐标为〔 〕
A. 〔1345，0〕 B. 〔1345.5， 〕 C. 〔1345， 〕 D. 〔1345.5，0〕
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，假定∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，那么EF能够的整数值是________．
12.如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，假定AE=BE=2，AD=3，那么CE=________．
13.如图，在 中， ，BD为AC的中线，过点C作 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延伸线于点F，在AF的延伸线上截取FG=BD，衔接 BG，DF．假定AF=8，CF=6，那么四边形BDFG的周长为________．
14.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F区分在线段AD及其延伸线上，且DE=DF，给出以下条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你以为这个条件是________〔只填写序号〕．
15.如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠ABC＝120°.衔接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.衔接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使 ∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是 ________．
16.如图，菱形 中， =2， =5， P 是 上一动点〔 P 不与 重合〕， ∥ 交 于 E ， ∥ 交 于 F ，那么图中阴影局部的面积为________。
三、解答题
17.如图，在四边形 中， ，点 E 是 边的中点．点 F 恰是点 E 关于 所在直线的对称点．
〔1〕证明：四边形 为菱形；
〔2〕衔接 交 于点 O ．假定 ，求线段 的长．
18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F区分是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
〔1〕求证：四边形DBEC是菱形；
〔2〕假定AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．
19.如图，在平行四边形 中，∠BAD的平分线交 于E，点 F 在 上，且 ，衔接 ．
〔1〕判别四边形 的外形并证明；
〔2〕假定 、 相交于点 O ，且四边形 的周长为 ， ，求 的长度及四边形 的面积.
20.如图，菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延伸AB至点E，使BE=AB，衔接CE．
〔1〕求证：四边形BECD是平行四边形；
〔2〕假定∠E=60°，AC= ,求菱形ABCD的面积．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点区分为AB，AC的中点．
〔1〕求证：四边形AEDF是菱形；
〔2〕求菱形AEDF的面积；
〔3〕假定H从F点动身，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点动身，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
22.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
〔1〕证明：BE=CF．
〔2〕当点E，F区分在边BC，CD上移动时〔△AEF坚持为正三角形〕，请探求四边形AECF的面积能否发作变化？假定不变，求出这个定值；假设变化，求出其最大值．
〔3〕在〔2〕的状况下，请探求△CEF的面积能否发作变化？假定不变，求出这个定值；假设变化，求出其最大值．
答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BF平分∠ABC，
∴四边形ABEF为菱形， 衔接AE交BF于点O， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，那么四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故答案为：D
【剖析】衔接AE交BF于点O，依据两组对边区分平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由对角线平分一组对角的四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形，由菱形的性质可得三角形BOE是直角三角形，用勾股定理可求得OE的长，那么AE=2OE，所以菱形ABEF的面积=AEBF即可求解。
2.【答案】A
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，衔接BD，DF，DF交PP′于H．
由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF=FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2 ，∴PE=PF= ，在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF= ，∴HF= PF= ，∵DF= ，∴DH= ﹣ = ，∴平行四边形PP′CD的面积= ×8= ．故答案为：A．
【剖析】衔接BD，DF，DF交PP′于H．由平移的性质易证PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，由两组对边区分平行的四边形是平行四边形可得四边形PP′CD是平行四边形，由菱形的性质易证△ABD是等边三角形，依据所得的结论解Rt△PHF可求得HF的长，那么DH的长可求，所以平行四边形PP′CD的面积=DHPP′=DHAD即可求解。
3.【答案】C
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4.
∴对角线BD的长度为4.
故答案为：C.
【剖析】依据菱形的性质易证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解。
4.【答案】B
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.依据平行四边形的性质：平行四边形的对角线相互平分，故不契合题意；
B.依据菱形的判定，对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故契合题意；
C.依据菱形的性质，菱形的对角线相互垂直，故不契合题意；
D.依据平行四边形的判定，对角线相互平分的四边形是平行四边形，故不契合题意.
故答案为：B.
【剖析】应用平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理和性质对各选项逐一判别。
5.【答案】B
【考点】菱形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】解： 菱形ABCD的周长为16, 4, 菱形面积为12，BC边上的高为3，
∠ABD=∠CBD,P到BC距离等于h=PE, PE＋PF=h+PF=3.所以选B.
【剖析】依据菱形的性质和周长可求得边长为4，由菱形的面积可求得三角形ABD的面积=菱形的面积=ABPE+ADPF，代入即可求解。
6.【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质，多边形内角与外角，菱形的性质
【解析】【解答】解：衔接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AE垂直平分边BC，AF垂直平分边CD，
∴AB=AC，AC=AD
∴△ABC，△ACD均是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DCA=60°
∴∠BCD=120°
∴在四边形AECF中，
∠EAF=360°-180°-120°=60°．
故答案为：B
【剖析】连结AC，由菱形的性质和条件得出△ABC，△ACD均是等边三角形，得出∠BCA=60°，∠DCA=60°，∠BCD=120°，由四边形内角和定理求出∠EAF的度数即可。
7.【答案】A
【考点】依据实践效果列二次函数关系式，菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= 〔1-x〕，BG= ,
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【剖析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，依据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判别正确的图像。
8.【答案】A
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.
∴∠BEA=∠BAE.
∴AB=BE.
同理可得AB=AF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.
∴四边形ABEF为菱形
∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.
∴BO=6，A0=8.
∴AE=16.
应选：A
【剖析】依据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后依据菱形的对角线相互垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.
9.【答案】A
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意CD=4t，AE=2t， ∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC=90°
在Rt△DFC中，∵∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE，
∵∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥CE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF=AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t=2t，
∴t=20s，
∴t=20s时，四边形DFEA是菱形．
应选A．
【剖析】首先证明四边形DFEA是平行四边形，再依据AD=DF，列出方程求出t即可处置效果．
10.【答案】B
【考点】菱形的性质，探求图形规律
【解析】【解答】解：衔接AC，如下图． ∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如下图．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2021=336×6+1，
∴点B1向右平移1344〔即336×4〕到点B2021 ．
∵B1的坐标为〔1.5， 〕，
∴B2021的坐标为〔1.5+1344， 〕，
∴B2021的坐标为〔1345.5， 〕．
故答案为：〔1345.5， 〕．
【剖析】衔接AC，依据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2021=336×6+1，因此点B1向右平移1344〔即336×4〕即可抵达点B2021 ， 依据点B5的坐标就可求出点B2021的坐标．
二、填空题
11.【答案】2，3，4
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4 ，
当点E和点B重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，那么EF=4；
当点E和点O重合时，∠DEF=30°，那么△EFD为等腰三角形，那么EF=FD=2，
∴EF能够的整数值为2、3、4．
【剖析】依据菱形的性质可得，当点E和点B重合时，易求得EF=4；当点E和点O重合时，易求得EF=FD=2，即2EF4，所以EF能够的整数值为2、3、4．
12.【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：衔接BD，交AC于O点，设EO=x，
由于菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，依据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣〔2+x〕2=2×2﹣x2
解得x= ，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x= ，
∴CE= ．
【剖析】衔接BD，交AC于O点，设EO=x，由菱形的性质可知△ABO和△EBO是直角三角形，依据勾股定理可得，，将条件代入即可求得EO的值，那么CE=OC+EO=OA+EO即可求解。
13.【答案】20
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF= AC=5，
∴四边形BGFD是菱形，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
【剖析】依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BGFD是平行四边形，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=DF=AC，依据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BGFD是菱形，所以四边形BDFG的周长=4GF。
14.【答案】②
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=CD，DE=DF， ∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，那么BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
【剖析】依据点D是BC的中点，点E、F区分是线段AD及其延伸线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后依据菱形的判定定理即可作出判别．
15.【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：衔接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2 ， AG= AE=3 =( )3 ，
按此规律所作的第n个菱形的边长为( )n−1 ，
故答案为( )n−1.
【剖析】衔接DB交AC于点M，由菱形的性质易证△ADB是等边三角形，依据等边三角形的性质易求得AM=，那么AC=2AM=，同理可得AE= AC=，依次类推可得第n个菱形的边长=。
16.【答案】2.5
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,BO=OD= 12BD=2.5，
∴△ABC的面积是 ×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC,AB∥DC，
又∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PF∥AB,PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影局部的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
【剖析】依据有两组对边区分平行的四边形是平行四边形可得四边形AEPF是平行四边形，由平行四边形的性质可得△AEF的面积=△PEF的面积，那么阴影局部的面积=△ABC的面积即可求解。
三、解答题
18.【答案】〔1〕证明： ，点E是AB变的中点
点F恰是点E关于AC所在直线的对称点
四边形 为菱形
〔2〕解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【剖析】〔1〕由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和对称点的性质易证CE=EA=AF=CF，依据四条边都相等的四边形是菱形可得 四边形CFAE为菱形；
〔2〕由菱形的性质可得OE=OF=EF=BC即可求解。
19.【答案】〔1〕证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD= AC，
∴平行四边形DBEC是菱形
〔2〕解：∵点D，F区分是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD= S△ABC
∴BC=2DF=2．
又∵∠ABC=90°，
∴AB= = =4 ．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC= AB•BC= ×4 ×2=4 ．
【考点】平行四边形的判定，菱形的性质
【解析】【剖析】〔1〕依据两组对边区分平行的四边形是平行四边形可得四边形DBEC为平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD= AC，依据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形DBEC是菱形；
〔2〕依据等底同高的两个三角形的面积相等可得三角形ABD的面积=三角形CBD的面积，所以S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC可求解。
20.【答案】〔1〕解：∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形
〔2〕解：∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO= =4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积= AE×BF= ×8×6=24
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定与性质
【解析】【剖析】〔1〕由平行四边形的性质易证BE=FA，AD∥BC，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由题意依据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形；
〔2〕①由菱形的性质，在直角三角形AOB中，用勾股定理可求得AO的长，依据AE=2AO可求解；
②依据菱形ABEF面积=AE×BF可求解。
21.【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD.；
又∵BE=AB，
∴BE=CD.
∵BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形
〔2〕解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC丄BD,OA=OC.
∴∠BOA=90°，
∴∠BAO=30°.
∵AC= ,
∴OA=OC= .
∴OB=OD=2.
∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
【考点】平行四边形的判定，菱形的性质
【解析】【剖析】〔1〕由菱形的性质易证BE=CD，BE∥CD，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形；
〔2〕由菱形的性质和直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半易求得OA=OC=AC，由勾股定理可求得OB=OD的值，那么菱形ABCD的面积=×AC×BD可求解。
22.【答案】〔1〕证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
∵E、F区分为AB、AC的中点，
∴DE和DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F区分为AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形
〔2〕解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF= BC=5．
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF= AD•EF= ×8×5=20
〔3〕解：∵EF∥BC，
∴EH∥BP．
假定四边形BPHE为平行四边形，那么须EH=BP，
∴5﹣2t=3t，
解得：t=1，
∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．
∵EF∥BC，
∴FH∥PC．
假定四边形PCFH为平行四边形，那么须FH=PC，
∴2t=10﹣3t，
解得：t=2，
∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【剖析】〔1〕由三角形的中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，依据两组对边区分平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和条件易证AE=AF，依据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形；
〔2〕依据菱形AEDF的面积=AD•EF可求解；
〔3〕①假定四边形BPHE为平行四边形，由平行四边形的性质可得EH=BP列方程求解；
②假定四边形PCFH为平行四边形，由平行四边形的性质可得FH=PC列方程求解。
23.【答案】〔1〕证明：衔接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF．〔ASA〕
∴BE=CF
〔2〕解：由〔1〕得△ABE≌△ACF，
那么S△ABE=S△ACF ．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC ，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
那么BH=2，
S四边形AECF=S△ABC
=
=
=
〔3〕解：由〝垂线段最短〞可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF ， 那么△CEF的面积就会最大．
由〔2〕得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF
= ﹣ = ．
【考点】菱形的性质
【解析】【剖析】〔1〕衔接AC，由菱形的性质和条件用角边角易证△ABE≌△ACF，那么BE=CF；
〔2〕作AH⊥BC于H点，依据全等三角形的面积相等可得S△ABE=S△ACF，那么S四边形AECF=S△ABC ， 而三角形ABC的面积是定值，且三角形ABC的面积=BCAH，所以四边形AECF的面积即可求解；
〔3〕由〝垂线段最短〞可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，依据〔2〕中的结论即可求解。