初中4 探索三角形相似的条件教学课件ppt

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数学 九年级上册 BS版
1. 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图），如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比，这个比值为 ，约为0.618.
注意：一条线段有两个黄金分割点.
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.
一个五角星如下图所示.问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？
解：由 ，得 AC² = AB·BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x² = 1 ×(1 - x)，即 x² + x – 1 = 0.解方程得：x1= (不合题意，舍去)，x2= .黄金比
思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗?
∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点.
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么？
点 E 是 AB 的黄金分割点
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
（1）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP ＞ PB ，则有（　B　）
【点拨】在黄金分割线段中，较长线段的平方等于较短线段与原线段的乘积，一定要分清长线段和短线段.
【点拨】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段中只要知道其中一条线段的长，就可以求出另外两条线段的长，其计算过程就是多次运用黄金比.
1. 下列说法正确的是（　B　）
2. 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AC ＞ BC ， BC ＝2，则 AC ＝ ⁠.
第一步：作一个正方形 ABCD ；
第二步：分别取 AD ， BC 的中点 M ， N ，连接 MN ；
第三步：以点 N 为圆心， ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E ；第四步：过点 E 作 EF ⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 F . 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形.
【点拨】解答本题的关键是掌握正方形的性质和黄金比的定义.求线段比例问题中，常先设出基本线段的长（如设 BC ＝ CD ＝2 a ），再用其表示其他线段.
如图，以定线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连接 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使 PF ＝ PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在线段 AD 上（ AM ＞ MD ）.
（1）求证：点 M 是线段 AD 的黄金分割点.（2）作 PN ⊥ PD 交 BC 于点 N ，连接 ND . △ PDN 与△ BPN 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
（2）解：△ PDN ∽△ BPN . 证明如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ DAP ＝∠ PBN ＝90°.
∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°.
∵ PN ⊥ PD ，
∴∠ DPN ＝90°.
∴∠ APD ＋∠ BPN ＝90°.
∴∠ ADP ＝∠ BPN .
∴△ DAP ∽△ PBN .
∵点 P 是 AB 的中点，
∴ AP ＝ PB .
又∵∠ DPN ＝∠ PBN ＝90°，
∴△ PDN ∽△ BPN .
如图，用边长为 a 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABDE 得折痕 MN ，连接 EN ，把边 AE 折到线段 EN 上，即使点 A 的对应点 H 落在 EN 上，得折痕 EC ，请证明：点 C 是线段 AB 的黄金分割点.