初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件背景图ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
相似三角形的判定定理二.两边 且夹角 的两个三角形相似.注意：运用该定理证明相似时，一定要区分边与角的关系，角 一定是两组对应边的夹角，边一定是对应角的两组边，类似于 判定三角形全等的“ SAS ”方法.全等三角形是相似比为1的特殊 相似三角形.
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
对于 △ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
【解析】∵ CM ＝ CN ，∴∠ CNM ＝∠ CMN . ∵∠ CNA ＝180°－∠ CNM ，∠ AMB ＝180°－∠ CMN ，∴∠ CNA ＝∠ AMB . 又∵ AM ∶ AN ＝ BM ∶ CN ，∴△ ANC ∽△ AMB . 故选B.
【点拨】利用“两边对应成比例且夹角相等”证明两个三角形相似，关键在于找两个三角形中相等的角，再去找这对等角的两组对应边.此题有一个技巧，根据题干的比例式，可知对应角的顶点为点 M ， N .
1. 在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上.若 AD ＝1， BD ＝3，则由下列条件能够判断 DE ∥ BC 的是（　D　）
如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 D 为 CB 延长线上一点，点 E 为 BC 延长线上一点，且满足 AB2＝ DB · CE .
（1）求证：△ ADB ∽△ EAC ；（2）若∠ BAC ＝40°，求∠ DAE 的度数.
（2）解：∵△ ADB ∽△ EAC ，∴∠ BAD ＝∠ E ，∠ D ＝∠ CAE . ∵∠ DAE ＝∠ BAD ＋∠ BAC ＋∠ CAE ，∴∠ DAE ＝∠ D ＋∠ BAD ＋∠ BAC . ∵∠ BAC ＝40°， AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝70°.∴∠ D ＋∠ BAD ＝70°.∴∠ DAE ＝∠ D ＋∠ BAD ＋∠ BAC ＝70°＋40°＝110°.
【点拨】找三角形相似的条件，一般先观察是否可以得到一组角相等，再寻求另一组角相等或等角的两边成比例.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，要找准相等的角一定是成比例两边的“夹角”，否则结论不成立.为了方便，常在图中用相同记号或字母表示相等的边或角.
2. 如图，在4×4的正方形方格中，已知△ ABC 和△ DEF 的顶点 都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ ABC ＝ ， BC ＝ ⁠；
（2）判断△ ABC 与△ DEF 是否相似，并证明你的结论.
如图，在△ ABC 中， AB ＝8 cm， BC ＝16 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动，速度为2 cm/ S ；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为4 cm/ S . 若 P ， Q 两动点同时运动，当△ QBP 与△ ABC 相似时，则运动的时间为 s.
【点拨】“相似于（∽）”与“谁和谁相似”的区别：前者的对应关系固定，后者的对应关系不固定.如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从对应关系入手，相等的角或公共角为对应角，则对应角的两边成比例，再根据对应关系分情况讨论.
如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝90°， AB ＝8， AD ＝3， BC ＝4，点 P 为 AB 边上一动点，当△PA D 与△ PBC 是相似三角形时，求出此时 AP 的长.
解：易得∠PA D ＝∠ PBC ＝90°.设 AP 的长为 x ，则 BP 的长为8－ x .
△PA D 与△ PBC 相似，则分两种情况：
②若△ APD ∽△ BCP ，则 AP ∶ BC ＝ AD ∶ BP ，即 x ∶4＝3∶（8－ x ），