初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件课文配套ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
1. 相似三角形的定义. 分别相等、 ⁠成比例的两个三角形叫做相似三角形.2. 相似三角形的性质.相似三角形的对应角 ，对应边 ⁠.3. 相似三角形的判定定理一. 角分别相等的两个三角形相似.
问题1 这两个三角形有什么关系？
相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
问题1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
两角分别相等的两个三角形相似
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，∠B =∠B′，探究下列问题：
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE//BC，交 AC 于点 E，则有 △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.∵∠B =∠B′，∴∠ADE =∠B′.又∵ AD = A′B′，∠A =∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′.∴△A′B′C′ ∽△ABC.
问题2 试证明 △A′B′C′∽△ABC.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
（1）如图，在△ ABC 中， CE ⊥ AB ，垂足为 E ， BD ⊥ AC ，垂足为 D ， CE 与 BD 交于点 F ，则图中与△ ABD 相似的三角形有 ⁠.
△ FBE ，△ ACE ，△ FCD 　
【解析】∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ，∴∠ AEC ＝∠ ADB ＝90°，∠ BEF ＝∠ CDF ＝90°.∵∠ ABD ＝∠ FBE ，∠ ADB ＝∠ FEB ，∴△ ABD ∽△ FBE . ∵∠ A ＝∠ A ，∠ ADB ＝∠ AEC ，∴△ ABD ∽△ ACE . ∵∠ ACE ＝∠ FCD ，∠ AEC ＝∠ FDC ，
∴△ ACE ∽△ FCD . ∴△ ABD ∽△ FBE ∽△ ACE ∽△ FCD . 故答案为△ FBE ，△ ACE ， △ FCD .
【点拨】利用两角判定两个三角形相似时，关键是在图中找相 等的角.同时，需要注意公共角这一隐含的条件，如此题中∠ ABD ＝∠ FBE . 常见的隐含条件还有直角相等，对顶角相等.
（2）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件： ⁠（填一个即可），使△ ABC ∽△ ADE 成立.
∠ B ＝∠ D （或
∠ C ＝∠ AED ）　
【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ BAE ＝∠2＋∠ BAE ，即∠ BAC ＝∠ DAE . 由∠ B ＝∠ D ，∠ BAC ＝∠ DAE 可得，△ ABC ∽△ ADE . 同理，由∠ C ＝∠ AED ，∠ BAC ＝∠ DAE ，可得△ ABC ∽△ ADE . 故答案为∠ B ＝∠ D （或∠ C ＝∠ AED ）.
【点拨】对于此类开放性问题，先看结论，再找条件，关键是根据结论去找两对等角.找相等角的技巧是“对应顶点的对应角相等”，如：根据△ ABC ∽△ ADE ，“A”与“A”对应，那么一定有∠ BAC ＝∠ DAE .
1. 如图，点 E 是▱ ABCD 的边 BC 的延长线上一点，连接 AE 交 CD 于点 F ，则图中共有相似三角形（　B　）
2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 AC 上（点 D 不与 A ， C 两点重合）.再添加一个条件： ⁠（填一个即可），就可证出△ ABD ∽△ ACB .
∠ ABD ＝∠ C （或∠ ADB ＝
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 M 为 BC 上一点，点 F 是 AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于点 E ，交 DC 于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；（2）若 AB ＝12， BM ＝5，求 DE 的长.
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ B ＝90°， AD ∥ BC . ∴∠ AMB ＝∠ EAF . ∵ EF ⊥ AM ，∴∠ AFE ＝90°.∴∠ B ＝∠ AFE ＝90°.∴△ ABM ∽△ EFA .
解得 AE ＝16.9.∴ DE ＝ AE － AD ＝4.9.
【点拨】在两个三角形中找两组相等的角，是证明两个三角形相似的基本方法.
（1）∠ EAF ＝∠ B ；
如图，已知 AB ∥ CD ， AD ， BC 相交于点 E ，点 F 为 EC 上一点，且∠ EAF ＝∠ C . 求证：
证明：（1）∵ AB ∥ CD ，∴∠ B ＝∠ C . 又∵∠ EAF ＝∠ C ，∴∠ EAF ＝∠ B .
（2） AF2＝ EF · FB .
如图， 在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D .
（1）求证： AD2＝ BD · CD ；
（2）若 BD ＝30， CD ＝20，求 AB 与 AC 的长.
（2）由本题的图形结构可以得到三个重要等积式（俗称射影定理）：① AD2＝ BD · CD ；② AB2＝ BD · BC ；③ AC2＝ CD · BC . 在该图形中，只要知道其中两条线段的长度，就可以求出其他线段的长度.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，点 P ， D 分别是 BC ， AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B .
（1）求证： AC · CD ＝ CP · BP ；
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . ∵∠ APD ＝∠ B ，∴∠ APD ＝∠ B ＝∠ C . ∵∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ B ，∠ APC ＝∠ APD ＋∠ DPC ，∴∠ BAP ＝∠ DPC . ∴△ ABP ∽△ PCD .
（2）若 AB ＝10， BC ＝12，当 PD ∥ AB 时，求 BP 的长.